第72讲、垂直弦问题（学生版）

第72讲垂直弦问题知识梳理1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点必考题型全归纳题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点例1．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点，动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.例2．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程及离心率；(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值.例3．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.变式1．（2024·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．变式2．（2024·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.(1)求椭圆的离心率；(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.变式3．（2024·全国·高二专题练习）设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为(1)求椭圆C的离心率.(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.变式4．（2024·云南昆明·高二统考期中）已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点例4．（2024·高二课时练习）已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．例5．（2024·江苏南京·高二校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.例6．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.(1)求双曲线的方程；(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点例7．（2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，．(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点（异于点P），证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．例8．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上．(1)求抛物线的方程；(2)是抛物线上横坐标为的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点，证明直线恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．变式5．（2024·浙江·高三专题练习）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，如图，过点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，，，四点，，分别为，的中点.(1)求的值；(2)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；(3)设直线交抛物线于，两点，试求的最小值.变式6．（2024·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．变式8．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知点与点的距离比它的直线的距离小2．(1)求点的轨迹方程；(2)是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点例10．（2024·福建龙岩·统考一模）双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.例11．（2024·全国·高二期末）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．(1)求椭圆的方程；(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．例12．（2024·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4．(1)求动点的轨迹方程；(2)过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；(3)在（2）的条件下，求四边形面积的最小值．变式9．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、．(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；(3)求四边形面积的最小值．变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点例13．（2024·高二课时练习）已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.例14．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．例15．（2024·山西大同·高三统考阶段练习）已知双曲线：的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，.（1）求双曲线的标准方程；（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.变式11．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点例16．（2024·全国·高二专题练习）已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.(1)求的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.例17．（2024·全国·高三专题练习）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．例18．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．变式12．（2024·山西·高二校联考期末）已知抛物线C：（），过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线C于A，B两点，交抛物线C于D，E两点，抛物线C上一点到焦点F的距离为3．(1)求抛物线C的方程；(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．变式13．（2024·全国·高三专题练习）动圆P与直线相切，点在动圆上．(1)求圆心P的轨迹Q的方程；(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点．变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，是以为底边的等腰三角形，且的面积为．(1)求抛物线C的方程．(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，试判断直线是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．变式15．（2024·安徽滁州·高二校考开学考试）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，．(1)求动点Q的轨迹的方程E；(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标．变式16．（2024·福建福州·高二校考期中）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点，P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；(3)过点任作两条互相垂直的直线，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.变式17．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标.变式18．（2024·湖南·高三阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与轴的交点为．过点作圆的两条切线，两切点分别为，，且．（1）求抛物线的标准方程；（2）如图，过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，两点和，两点，，分别为线段和的中点，求面积的最小值．题型七：内接直角三角形范围与最值问题例19．（2024·江西·高二校联考开学考试）设椭圆的两焦点为，，为椭圆上任意一点，点到原点最大距离为2，若到椭圆右顶点距