第61讲、圆中的范围与最值（学生版）

第61讲圆中的范围与最值知识梳理1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题必考题型全归纳题型一：斜率型例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点在圆上运动，则下列选项正确的是（

）A．的最大值为，最小值为B．的最大值为，最小值为；C．的最大值为，最小值为；D．的最大值为，最小值为；例3．（2024·全国·高三专题练习）已知为圆：上任意一点，则的最大值为.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知为圆C：上任意一点，且点．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．题型二：直线型例4．（2024·全国·高三专题练习）点是圆上的动点，则的最大值是.例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．5例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（

）A．4 B． C． D．题型三：距离型例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知为圆上任意一点，且．(1)求的最大值和最小值；(2)若，求的最大值和最小值；(3)若，求的最大值和最小值．例9．（2024·高一课时练习）已知点在直线上运动，求的最小值及取得最小值时点的坐标．变式2．（2024·高二课时练习）已知点在直线上运动，则取得最小值时点的坐标为．变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知为圆上任意一点．则的最大值为变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点，点在圆上运动，则的最大值为（

）A．22 B．26 C．30 D．32题型四：周长面积型例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最大值为，最小值为.例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（

）A．8 B． C． D．例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线：与圆：相交于不同两点，，位于直线异侧两点，都在圆上运动，则四边形面积的最大值为（

）A． B． C． D．变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为变式7．（2024·高二课时练习）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（

）A．5 B． C． D．题型五：数量积型例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，是圆上两点，且，则的最大值是.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为．例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点，点为圆上的动点，则的最大值为.变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（

）A．. B． C． D．变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．题型六：坐标与角度型例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P在圆M：上，点，，则最小和最大时分别为（

）A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°例17．（2024·高二单元测试）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是.例18．（2024·全国·高三专题练习）已知，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（

）A． B． C． D．变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆，圆是以圆上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆与圆交于，两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型七：长度型例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为.例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为.例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最大值为.变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数满足，，则的最大值为.变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知，是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（

）A． B． C． D．变式18．（2024·全国·高三专题练习）在中，，，点在内部，，则的最小值为．变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9题型八：方程中的参数例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．例23．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．例24．（2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（

）