北京市房山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 含解析

房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研（二）高二数学本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知数列满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比数列概念及通项可得结果.【详解】由可得为定值，又，所以是以为首项，公比的等比数列，∴=4，故选：B2.函数的图象如图所示，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象结合导数的几何意义判断即可【详解】根据函数的图象，应用导数的几何意义是函数的切线斜率，在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率，所以，A,B选项错误；又因为，所以，D选项错误.故选：C.3.如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由散点图图形趋势可判断大小关系.【详解】因③图形比较分散，则；因①②④相较③接近于一条直线附近，则，又②为下降趋势，则，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，则.综上，最大故选：A4.设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（）A.4 B.5 C.6 D.4或5【答案】D【解析】【分析】设公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.【详解】设公差为，由，，所以，解得，所以，令，解得，则数列单调递增，且，所以当或时取得最小值.故选：D5.要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】A【解析】【分析】先将甲同学排列在中间3个位置，再将其余节目全排列即可.【详解】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有种排法，第二步：将剩余得4个节目全排列，共有种排法，所以共有种，故选：6.在的展开式中，的系数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项，利用赋值法可得特定项系数.【详解】由已知可得展开式的通项，令，解得，所以，系数为，故选：B.7.某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为.则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式直接可得解.【详解】设事件为当天下雨，事件为当天刮风，则，，则已知刮风的条件下，也下雨的概率，故选：D.8.为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示.编号1234567891011121314父亲身高174170173169182172180172168166182173164180儿子身高176176170170185176178174170168178172165182父亲身高的平均数记为，儿子身高的平均数记为，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为.则下列结论中正确的是（）A.与正相关，且相关系数为B.点不在回归直线上C.每增大一个单位，增大个单位D.当时，.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm【答案】C【解析】【分析】由回归方程意义及性质可判断选项正误.【详解】A选项，因，则与正相关，但相关系数不是，故A错误；B选项，回归方程过定点，故B错误；C选项，由回归方程可知每增大一个单位，增大个单位，故C正确；D选项，回归方程得到的为预测值，不一定满足实际情况，故D错误.故选：C9.设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（）A.B.随机变量的数学期望可以等于C.当时，D.数列的通项公式可以为【答案】D【解析】【分析】根据概率和为可判断A选项；当时，期望为，可判断B选项；根据等比数列求和公式化简可判断C选项；D选项，利用裂项相消法可得的前项和，进而可判断D选项.【详解】A选项：由已知，则，A选项正确；B选项：当时，期望为，B选项正确；C选项：由，则，C选项正确；D选项：由，则其前项和为，D选项错误；故选：D.10.已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.是数列的前项和，若，则的值可以等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，……，第组：，根据等比例数列前项和公式对选项逐一验证即可.【详解】将数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：第二组：第三组：……第组：根据等比例数列前项公式，得每组和分别为：，每组含有的项数分别为.所以若，即，将选项A代入，若，则，即为前5组与第6组的第1个数的和，此时，无解；同理若，则，此时，即，符合题意；同理若，则，此时，无解；同理若，则，此时，无解；综上可知，，故选：【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出数列的规律，对该数列进行分组，利用等比数列前项和公式构造方程，即可求解.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若，则____.【答案】##【解析】【分析】求导代入计算可得结果.【详解】由可得，∴，故答案为：12.若，则____；____.【答案】①.1②.-8【解析】【分析】利用赋值法，令可得，由通项分别求出可得结果.【详解】由题意知，令可得，即，由二项展开式的通项可得，，即，，即，即，故答案为：13.为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答个问题，记分规则是：每答对一题得分，答错一题扣分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取名，设其答对的问题数量为，最后得分为分．当时，的值为____；若，则____.【答案】①.20②.0.3##【解析】【分析】易知当时，答错道题，因此得分为；根据题意得出随机变量与的关系式，再由对立事件概率可求结果.【详解】由题意知，说明答对道题，答错道题，又答对得分，答错得分，所以最后得分,即当时，;若，即,可得,∴，∴，故答案为：；14.设无穷数列的通项公式为.若是单调递减数列，则的一个取值为____.【答案】（答案不唯一，即可）【解析】【分析】根据数列的函数特性，可得，解不等式可得的取值范围.【详解】由可得，又是单调递减数列，可得，即，整理得恒成立，即恒成立，∴，又因为，所以，即取值范围为，故答案为：（答案不唯一，即可）15.已知函数，给出下列四个结论：①当时，在定义域上单调递增；②对任意，存在极值；③对任意，存在最值；④设有个零点，则的取值构成的集合是.其中所有正确结论的序号是____.【答案】②③④【解析】【分析】取值计算判断①；函数的极值点情况判断②，分别求出两段的最大值判断③；分段探讨零点个数判断④即得答案.【详解】对于①，当时，f(x)=−x2−1,x≤0对于②，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，因此对任意，存在极值，②正确；对于③，当时，，，，当时，，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，此时，因此，，③正确；对于④，当时，函数在上单调递增，，在上无零点，在上单调递增，，，在有一个零点，；当时，，在上单调递增，同理得，当时，，在上单调递增，，；当时，，在上有两个零点，当时，，，当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，即在上有两个零点，；当时，，在上有两个零点，，；当时，，在上有两个零点，，，因此的取值构成的集合是，④正确，所以所有正确结论的序号是②③④.故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知是等差数列，是等比数列，且，，，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由是等差数列求出，即可求出；（2）找出，由分组求和得解.【小问1详解】设等差数列的公差为d，，所以因为，所以，即等比数列的公比.所以，.所以.【小问2详解】由（Ⅰ）知，，，因此从而数列的前n项和.17.已知函数（1）求函数的极值点；（2）若的极小值为，求函数在上的最大值．【答案】（1）是函数的极小值点；是函数的极大值点.（2）最大值.【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；（2）先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可.【小问1详解】，令，得或.，的情况如下：00递减a递增递减所以是函数的极小值点；是函数的极大值点.【小问2详解】因为的极小值为，即解得，又，.所以当时，取得最大值.18.袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球.（1）求第一次摸到白球的概率；（2）求第二次摸到白球概率；（3）求两次摸到的小球颜色不同的概率.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）由古典概型计算可得结果；（2）由全概率公式计算可得；（3）根据条件概率公式计算可得.【小问1详解】设第一次摸到白球的事件为，则，即第一次摸到白球的概率为.【小问2详解】设第二次摸到白球的事件为，则，即第二次摸到白球的概率.【小问3详解】设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则，即两次摸到的小球颜色不同的概率为.19.人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.（1）从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；（3）从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）有古典概型计算可得结果；（2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用超几何分布计算可得结果）；（3）由（2）可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得.【小问1详解】设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，则【小问2详解】因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，所以的所有可能取值为，所以的分布列为：（或则）【小问3详解】由（2）可得；由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得.因此.20.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于任意的，有，求的取值范围.【答案】（1）（2）当时，在和上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在和上递减，在上递增.（3）【解析】【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可；（2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间；（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.小问1详解】由，知.所以当时，有，.故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.【小问2详解】当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；当时，对有，故在上递增；当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.综上，当时，在和上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在和上递减，在上递增.【小问3详解】我们有.当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.故对任意的，都有，满足条件；当时，由于，故.所以原结论对不成立，不满足条件.综上，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果.21.若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．（1）若，，判断，是否是“数列”；（2）已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；（3）已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．【答案】（1）数列是“数列”；数列不是“数列”；（2）（3）或【解析】【分析】（1）直接根据