专题29 半角模型-备战2022年中考数学母题题源解密（解析版）

专题29半角模型考向1正方形中的半角模型【母题来源】2021年中考黑龙江省齐齐哈尔卷【母题题文】综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF＝45°，写出图中两个等腰三角形：△AEF，△CEF，△ABC，△ADC（不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为PQ＝BP+DQ；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM=2剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：BM2+DN2＝MN2．【答案】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF=1∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，∴PQ＝BP+DQ．故答案为：PQ＝BP+DQ．（3）解：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC=2∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴CQBM故答案为：2．（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2．【试题解析】（1）利用翻折变换的性质可得∠EAF＝45°，证明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，可得结论．（2）结论：PQ＝BP+DQ．如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．证明△PAT≌△PAQ（SAS），可得结论．（3）证明△CAQ∽△BAM，可得CQBM（4）如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．证明△AMR≌△AMN（SAS），∠RBM＝90°，可得结论．【命题意图】几何综合题；推理能力．【命题方向】一般设置为压轴题型，考查学生的综合探究与推理能力【得分要点】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连结EF，则：

（1）EF＝BE＋DF;

（2）如图2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;

（3）如图3，连结BD交AE于点H，连结FH．则FH⊥AE．

（1）如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADI证明．则∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE，

所以△AEF∽△AIF（SAS），

所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．

（2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，所以AG＝AD．

（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H

四点共圆，

从而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°，即FH⊥AE．1．（2021•湖北襄樊模拟）如图1和图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°．（1）观察猜想：如图1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式EF＝AE+CF；（2）类比探究：如图2，若∠A、∠C都不是直角，则当∠A与∠C满足数量关系∠A+∠DCF＝180°时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC=22解：（1）如图1，∵把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，∴DE＝DG，∠DAE＝∠CDG，AE＝CG，∠A＝∠DCG＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCB+∠DCG＝180°∴B、C、G共线，∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠FDC+∠CDG＝45°，即∠EDF＝∠GDF＝45°，在△EDF和△GDF中，DF=∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝GF，∵AE＝CG，∴EF＝GF＝CF+CG＝AE+CF，故答案为：EF＝AE+CF；（2）当∠A+∠DCF＝180°时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系．理由：如图2，把△ADE绕D点旋转到△DCG，使AD和DC重合，则DE＝DG，∠A＝∠DCG，∠ADE＝∠CDG，∵∠A+∠DCF＝180°，∴∠DCF+∠DCG＝180°，∴B、C、G在一条直线上，与（1）同理得，∠EDF＝∠GDF＝45°，在△EDF和△GDF中，DF=∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝GF，∵AE＝CG，∴EF＝GF＝AE+CF；故答案为：∠A+∠DCF＝180°；（3）∵△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC=A如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，AD=∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x=53，即DE2．（2021•山东临沂模拟）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2+CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠DAE＝∠DAM+∠MAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM．∴∠MAE＝∠EAC．∴AE平分∠MAC．（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∠AFD＝∠B＝45°，∠BAD＝∠FAD．又∵AC＝AB，∴AF＝AC，在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）．∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45°．∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝90°．在Rt△DEF中，DF2+FE2＝DE2，∴BD2+CE2＝DE2．证明小亮的方法：由旋转知，△ABD≌△ACG，∴BD＝CG，AD＝AG，∠ABC＝∠ACG，∠BAD＝∠CAG，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠CAE＝45°，∴∠EAG＝∠CAE+∠CAG＝∠CAE+∠BAD＝45°＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE（SAS），∴DE＝EG，在Rt△BAC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°，根据勾股定理得，EG2＝CE2+CG2，∴BD2+CE2＝DE2．（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2＝DE2仍然成立．证明如下：如图，将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF．∴BD＝DF，AF＝AB，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°，∠BAD＝∠FAD．又∵AC＝AB，∴AF＝AC，又∵∠CAE＝90°﹣∠BAE＝900﹣（45°﹣∠BAD）＝45°+∠BAD＝45°+∠FAD＝∠FAE，在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）．∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45°．∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°．在Rt△DEF中，DF2+FE2＝DE2，∴BD2+CE2＝DE2．3．（2021•山东日照三模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝2AD，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，求sin∠DEC的值．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）证明：延长AD到F，使得DF＝BE，连接CF．∵∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝45°，∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠DCF+∠GCD＝45°，即∠GCF＝45°，∴∠GCE＝∠GCF，且GC＝GC，CE＝CF，∴△GCE≌△GCF（SAS），∴GE＝GF，∴GE＝GD+DF＝BE+GD；（3）解：如图：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于