人教版九年级数学上册教案第22章

人教版九年级数学上册教案第22章一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“二次函数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题,二次函数是初中阶段内容最丰富的函数,也是今后进一步学习的重要基础.二次函数的学习要将数形结合的思想贯穿始终,从画函数图象开始,研究最简单的二次函数y=x2,通过观察函数图象得出函数性质;然后通过特殊二次y=12x2,y=2x2,y=x2的图象归纳得到二次函数y=ax2(a>0)的性质;最后通过研究不同类型的二次函数y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k(a≠0)的相互关系,归纳出一般二次函数的性质.对二次函数的研究展示了从解析式到图象,从图象到性质的研究过程,突显了数形结合思想;同时也体现了从特殊到一般、从简单到复杂、类比、归纳等思想.但还要清楚,函数的性质是函数表达式反映出的特征,因此可以适当引导学生借助表达式阐释性质,进而发展学生的代数推理能力.用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,能更清楚地体现二次函数中“数”与“形”的相互联系和相互转换,也能让学生更清楚地理解和求解函数的最大值或最小值.待定系数法和配方法是研究二次函数的两种重要的方法,既有基本技能的特征,又有基本方法的特征,充分体现了“四基”的理念和要求,对提升数学能力有着重要的作用,应充分重视本单元教学内容分析人教版教材九年级上册第二十二章“二次函数”,本章包含三个小节:22.1二次函数的图象和性质;22.2二次函数与一元二次方程;22.3实际问题与二次函数.函数主题通过:函数的概念——一次函数——二次函数——反比例函数.在第三、第四学段中均设定了与函数关联的内容.第三学段通过一些具体实例,让学生感受变量的变化过程,以及变化过程中变量之间的对应关系,探索其中的变化规律及基本性质,尝试根据变量的对应关系作出预测.获得与函数相关的感性认识.第四学段要求学生在感性认识的基础上,归纳概括出函数的定义,并研究具体的函数及其性质,了解研究函数的基本方法,借助函数的知识和方法解决问题,在操作层面认识和理解函数.了解函数与其他相关数学内容之间的联系,如函数与方程、不等式的联系.函数与方程、不等式有着密切的联系,方程、不等式是函数的特殊情形.到高中、大学还将继续学习函数.三、单元学情分析本单元内容是人教版数学九年级上册第22章二次函数,从知识技能基础来看,学生在前面已学习了变量、函数、一次函数等概念,对一次函数也有所理解.这些基础对于学习二次函数都是很好的铺垫性知识;从学生活动经验基础来看,学生已经具有解决一些实际问题的能力,感受到了函数反映的是变化的过程,对函数的表达方式特点也有所了解.获得了探究新的函数知识的基础方法,同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,已经具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作交流能力.学生有较强的好奇心,在学习上有较强的求知欲望,但注意力不容易集中;有较强的动手能力,愿意主动去设计方案,但往往还停留在“想当然”的水平;在数学问题的提出和解决上有一定的方法,但不够深入和全面,需要教师的引导和帮助;学生具有一定的探究精神和合作意识,能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识,但对于数学思想的感悟能力还不够强,对于数学的说理还不规范,几何演绎推理能力也有待加强.四、单元学习目标1.通过对实际问题情境剖析,让学生经历探索、分析和建立二次函数的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的概念,培养和发展学生的抽象能力.2.运用类比的方法,学会用描点法画出二次函数图象,根据数形结合,从图象上认识二次函数性质,形成空间观念和几何直观.3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向与对称轴(公式不要求记忆与推导),并能解决简单实际问题,培养学生的应用意识和模型观念.4.利用数形结合,根据二次函数图象求一元二次方程的近似解,培养学生的创新意识.5.引导学生养成全面看待问题、分类讨论问题的学习习惯;通过类比,能对旧知识进行有效迁移,培养良好的数学素养.五、单元学习内容及学习方法概览

六、单元评价与作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:层次性原则:教师注意将作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力,自主选择每课时留下拓展性练习或自主编写的易错题.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展课后性作业.22.1.1二次函数课时目标1.从实际情景中让学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式.2.通过回顾函数的相关知识,结合实际问题,观察二次函数关系式特点,从而引出二次函数的概念,本节课要求学生掌握二次函数的判断方法及注意事项.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.学习重点二次函数的概念和解析式.学习难点用数学的方法描述变量之间的数量关系.课时活动设计知识回顾多媒体展示:请同学们回顾函数的相关知识,回答下面问题.1.什么叫函数?答:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.2.目前,我们已经学习了哪些类型的函数?答:我们已经学过正比例函数和一次函数,其中正比例函数是一次函数的特殊形式.设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示问题:如图,从喷头喷出的水珠,在空中划过一条曲线后落到水池中央,在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系?上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系呢?(引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.)我们这一节课就来研究这一类问题.设计意图:从学生熟悉的生活事物中提出问题、设置悬疑,激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见,体验如何用数学来解决生活中的实际问题.探究新知多媒体展示:问题1正方体六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积为y,则y关于x的关系式为y=6x2.①

问题2n个球队参加比赛,每两个队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系?解:每队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数m=12n(n-1),即m=12n2-1问题3某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系怎样表示?解:这种产品的原产量是20t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20.③结合一次函数的定义,观察函数①②③你发现它们的结构有什么相同点?答:等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.设计意图:通过实际问题,让学生列二次函数关系式,观察关系式的结构,引导学生归纳二次函数的特征,进而引出本节所学内容.新知讲解师生活动:先由学生尝试归纳总结二次函数的概念,再由教师用多媒体展示.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的特殊形式:(1)当b=0时,y=ax2+c.(2)当c=0时,y=ax2+bx.(3)当b=0,c=0时,y=ax2.请同学们谈谈对二次函数的理解以及需要注意的内容,教师总结:(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式.(2)a,b,c为常数,且a不等于0.(3)等式的右边自变量x的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.(4)一般情况下,自变量x的取值范围是任意实数.设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,结合一次函数的概念概括二次函数的概念,培养学生抽象概括的能力.再通过提问环节,引导学生初步思考、回顾已有的知识,主动参与到本节的学习中来.典例精讲例1下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?请说明理由.(1)y=3(x-1)2+1;(2)y=x+1x;(3)s=3-2t2;(4)y=1(5)y=(x+3)2-x2;(6)v=10πr2;(7)y=x2+x3+25;(8)y=22+2x.答:(1)是.(2)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(3)是.(4)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(5)不是,整理后为一次函数.(6)是.(7)不是,自变量最高次数为3.(8)不是,自变量最高次数为1.例2关于x的函数y=(m+1)xm2-m是二次函数,解:由二次函数的定义,得m2-m=2,m+1≠0.解得m=2.因此当m=2时,函数y=(m+1)xm2注意:二次函数的二次项系数不能为0.师生活动:学生积极回答,然后师生共同纠错,使学生明确自己的错误与薄弱环节,在后续的解题过程中做到有的放矢,对症下药.设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性,加深学生对二次函数的理解与掌握.拓展应用1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是(C)A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+12.一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为y=x(15-x).

3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,求m的值.解:(1)根据一次函数的定义,得m2-m=0,解得m=0或m=1,又∵m-1≠0即m≠1,∴当m=0时,这个函数是一次函数;(2)根据二次函数的定义,得m2-m≠0,解得m1≠0,m2≠1,∴当m≠0或m≠1时,这个函数是二次函数.设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,将知识灵活应用,提高自身解题能力.巩固训练1.下列函数中(x是自变量),是二次函数的为(C)A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1C.y=x2 D.y=22+x+12.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是(C)A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数3.一个圆柱的高等于它的底面半径,它的表面积S与半径r之间的关系式为S=4πr2.

4.多边形的对角线总条数d与边数n的关系式为d=12n2-32n5.当m为何值时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+解:由二次函数的概念,得m解得m=1.∴当m=1时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+设计意图:通过配套练习,加深学生对二次函数的理解.课堂小结1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项.2.二次函数的判别:①含未知数的代数式为整式;②未知数最高次数为2;③二次项系数不为0.设计意图:通过小结让学生复述本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容.课堂8分钟.1.教材第29页练习第1,2题.2.七彩作业.22.1.1二次函数一般地,形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.教学反思

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课时目标1.通过回顾描点法画函数图象的方法,尝试用描点法画二次函数图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数的性质.2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质,会利用其解决相关问题.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.学习重点利用描点法画出y=ax2的图象.学习难点理解并掌握二次函数的性质.课时活动设计知识回顾多媒体展示问题:1.函数有哪几种表示方式?图象法有什么特点?解:图象法,列表法,解析式法,图象法能直观表示函数的变化情况.2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤?解:列表-描点-连线.3.简述描点法作图的一般步骤:解:(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;(2)描点:在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线依次连接所描的点,并向两端无限延伸.设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示图片和问题:(1)你们喜欢打篮球吗?(2)你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么曲线吗?怎样计算篮球达到最高点时的高度?设计意图:以学生热爱的篮球运动导入本节课,既能激起学生的兴趣,更好地调动学生的积极性,又能通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望;用类比的学习方法降低本节的难度.探究新知师生活动:学生尝试用描点法画y=x2的图象,教师用多媒体展示画图过程.尝试用描点法画y=x2的图象.【列表】在y=x2中,自变量x可以取任意实数,列表取几组对应值:x…-2-1012…y…41014…【描点】根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=x2的图象.师生活动:教师通过提问总结y=x2图象的特征.y=x2的图象是一条开口向上的曲线,经过原点,对称轴是y轴,抛物线y=x2与它的对称轴的交点坐标(0,0),观察图象,当二次函数的x=0时,y有最小值为0;当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.多媒体展示,作出函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象通过对比函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象,发现(1)开口都向上(a>0),对称轴都是y轴;(2)当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大;(3)顶点是原点(最小值);(4)a的值越大,抛物线开口越小.多媒体展示,作出函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象通过对比函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象,发现(1)开口都向下(a<0),对称轴都是y轴;(2)当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小;(3)顶点是原点(最大值);(4)a的值越大,抛物线开口越大.设计意图:通过学生操作,教师引导的方式使学生掌握二次函数y=x2的画图方法,初步认识二次函数的图象,体现以“学生为主体,教师为引导者”的课堂理念;通过多媒体展示描点法画二次函数的具体过程,比较函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象,函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象,引导学生总结二次函数图象的特征.培养学生的动手操作能力,观察分析能力新知讲解多媒体展示二次函数y=ax2的性质.一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是(0,0).

(1)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,

当x<0时,y随x的增大而减小;

当x>0时,y随x的增大而增大;

当x=0时,y有最小值为0.

(2)当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,

当x<0时,y随x的增大而增大;

当x>0时,y随x的增大而减小;

当x=0时,y有最大值为0.

(3)|a|越大,抛物线的开口越小.

(4)y=ax2与y=-ax2关于x轴对称.

设计意图:归纳二次函数y=ax2的图象特征和性质,帮助学生梳理知识脉络.典例精讲典例1已知点(-1,2)在二次函数y=ax2的图象上,那么a的值是(B)A.1 B.2 C.12 D.-变式1-1如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是(A)A.m>1 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1变式1-2已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则(C)A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3变式1-3如果抛物线y=(m-1)x2有最低点,那么m的取值范围为m>1.

变式1-4如图所示,四个二次函数的图象分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.则a,b,c,d的大小关系为a>b>d>c.

设计意图:通过配套例题,举一反三,进而消化本节所学内容.拓展应用1.已知抛物线y=ax2(a>0)过点A(-2,y1),B(1,y2),则下列关系式一定正确的是(C)A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>02.已知二次函数y=x2,当x≥m时,y最小值为0,求实数m的取值范围.解:在二次函数y=x2中,a=1>0因此当x=0时,y有最小值.∵当x≥m时,y最小值=0,∴m≤0.3.已知y=(m+1)xm2+m是二次函数,且其图象开口向上,解:依题意,有m解②,得m1=-2,m2=1.由①,得m>-1.因此m=1.此时,二次函数解析式为y=2x2.4.已知二次函数y=2x2.(1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y1<y2;(填“>”“=”或“<”)

(2)如图,此二次函数的图象经过点(0,0),长方形ABCD的顶点A,B在x轴上,C,D恰好在二次函数的图象上,B点的横坐标为2,求图中阴影部分的面积之和.解:∵二次函数y=2x2的图象经过点C,∴当x=2时,y=2×22=8.∴点C坐标为(2,8).∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它们的对称轴,∴OA=OB=2,∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边对应空白部分面积,∴S阴影=2×8=16.设计意图:本环节主要是对本节所学知识展开变式练习,检查学生上课掌握的情况.对课内所学知识进行巩固,增强学生的应变能力.

课堂小结设计意图:通过小结回顾本节学习的内容,帮助学生归纳、巩固所学知识.随堂小测1.函数y=2x2的图象开口向上,对称轴是y轴,顶点是(0,0);

在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.

2.函数y=-3x2的图象开口向下,对称轴是y轴,顶点是(0,0);

在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.

3.如右图,观察函数y=(k-1)x2的图象,则k的取值范围是k>1.

设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,突出本节的重点,对知识点查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第32页练习.2.七彩作业.

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质抛物线y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)顶点坐标(0,0)(0,0)对称轴y轴y轴位置在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)开口方向向上向下增减性当x<0时,y随着x的增大而减小;当x>0时,y随着x的增大而增大当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小最值当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0教学反思

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质课时目标1.尝试用描点法画二次函数y=ax2+k图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=ax2+k的性质.2.知道抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+k之间的区别与联系,掌握抛物线y=ax2平移到y=ax2+k的过程.3.应用函数y=ax2+k的图象和性质解决问题.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.学习重点掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图象之间的区别与联系.学习难点理解并掌握抛物线y=ax2+k的性质,并且运用性质解决问题.课时活动设计知识回顾多媒体展示问题一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是(0,0).

(1)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,

当x<0时,y随x的增大而减小;

当x>0时,y随x的增大而增大;

当x=0时,y有最小值为0.

(2)当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,

当x<0时,y随x的增大而增大;

当x>0时,y随x的增大而减小;

当x=0时,y有最大值为0.

(3)|a|越大,抛物线的开口越小.

(4)y=ax2与y=-ax2关于x轴对称.

设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示图片,思考函数的图象如何画出来.设计意图:以人们常见的拱桥导入,激起学生的兴趣,调动学生的积极性.让学生亲身体会到现实生活中的数学知识,理解数学起源于生活.通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望.探究新知师生活动:学生尝试用描点法画出y=2x2+1和y=2x2-1的图象,教师用多媒体展示画图过程.通过描点法画出y=2x2+1和y=2x2-1的图象.先列表:x…-2-1012…y=2x2+1…93139…y=2x2-1…71-117…根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点.用平滑曲线顺次连接各点,得到y=2x2+1和y=2x2-1的图象.师生活动:教师通过提问,总结y=2x2+1和y=2x2-1图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上y轴(0,1)y=2x2-1向上y轴(0,-1)学生尝试说明抛物线y=2x2+1和y=2x2-1与抛物线y=2x2之间的关系.教师用多媒体展示结果.设计意图:让学生合作探究,通过观察,发现,归纳,总结出抛物线y=2x2+1和y=2x2-1与抛物线y=2x2的关系,培养学生抽象概括的能力.再通过提问,让学生积极参与到本节的学习中来.新知讲解多媒体展示抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2,教师引导学生进行总结.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系?解:若k>0,抛物线y=ax2向上平移k个单位就得到抛物线y=ax2+k;若k<0,抛物线y=ax2向下平移|k|个单位就得到抛物线y=ax2+k.学生尝试总结y=ax2+k的性质,教师用多媒体展示.设计意图:通过归纳总结,让学生理解知识,使学生明确本节的内容,进而达到教学目标.典例精讲例1已知二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数的值相等,则当x=x1+x2时,其函数值为c.

例2抛物线y=-2x2+3的顶点坐标是(0,3),对称轴是y轴,在对称轴左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴右侧,y随着x的增大而减小.

设计意图:通过例题,加深学生对新知识的理解和掌握,让学生感受数学的严谨性.拓展应用1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大,则m=2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为(0,2),则a=-2.

3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A,B两点,A(-2,0),与y轴交于点C(0,-4),则三角形ABC的面积是8.

4.将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象的函数表达式是y=x2+2.

设计意图:体会知识的不同考法.灵活应用所学知识,提高解题能力.课堂小结设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路,加深对知识的记忆.随堂小测1.抛物线y=2x2向下平移4个单位,得到抛物线y=2x2-4.

2.填表:函数开口方向顶点对称轴有最高(低)点y=3x2向上

(0,0)

y轴

有最低点

y=3x2+1向上

(0,1)

y轴

有最低点

y=-4x2-5向下

(0,-5)

y轴

有最高点

3.已知点(m,n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上,点(-m,n)在(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上.

4.若y=x2+(k-2)的顶点是原点,则k=2;若顶点位于x轴上方,则k>2;若顶点位于x轴下方,则k<2.

5.回答下面的问题:(1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移能得到抛物线y=-x2.(2)函数y=-x2+1,当x时,y随x的增大而减小;当x时,函数y有最大值,最大值y是,其图象与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是.

(3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向,对称轴和顶点坐标.解:(1)向下平移1个单位.(2)>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)(3)开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-3).设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第33页练习.2.七彩作业.22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质1.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系2.二次函数y=ax2+k的图象和性质教学反思

第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课时目标1.尝试用描点法画二次函数y=a(x-h)2图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=a(x-h)2的性质.2.理解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的区别与联系,掌握抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的平移规律.3.应用函数y=a(x-h)2的图象和性质解决问题,培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.学习重点掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象之间的区别与联系.学习难点理解并掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质,并运用性质解决问题.课时活动设计知识回顾多媒体展示:问题1说出二次函数y=ax2+k图象的特征.多媒体展示答案.a,k的符号a>0,k>0a>0,k<0a<0,k>0a<0,k<0图象开口方向向上向下对称轴y轴(直线x=0)y轴(直线x=0)顶点坐标(0,k)(0,k)增减性当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小最值x=0时,y最小值=kx=0时,y最大值=k问题2二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有什么关系?答:二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到.当k>0时,向上平移|k|个单位长度得到;当k<0时,向下平移|k|个单位长度得到.设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节的学习内容作铺垫.导入新课多媒体展示问题:函数y=-12(x+1)2的图象,能否也可以由函数y=12x2设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点.探究新知学生尝试用描点法画出y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2的图象,通过描点法画出y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2【列表】x…-4-3-2-1012…y=-12(x+1)…-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…y=-12(x-1)…-12.5-8-4.5-2-0.50-0.5…【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2学生尝试总结y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,开口方向对称轴顶点坐标y=-12(x+1)向下x=-1(-1,0)y=-12x向下x=0(0,0)y=-12(x-1)向下x=1(1,0)学生讨论抛物线y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2与抛物线y=-12x2的关系抛物线y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2与抛物线y=-12x设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察,发现,归纳,总结抛物线y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2与抛物线y=-12x2的关系,培养学生的概括能力.再通过提问环节,新知讲解学生讨论后尝试总结抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的关系,教师通过多媒体展示.抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系?(1)若h>0,可以看做由函数y=ax2的图象向右平移h个单位得到抛物线y=a(x-h)2;(2)若h<0,可以看做由函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2;(3)抛物线y=a(x-h)2相当于把抛物线y=ax2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位.

学生尝试总结y=a(x-h)2的性质,教师通过多媒体展示.设计意图:归纳总结,梳理所学知识,使学生明确本节的内容,进而达成教学目标.典例精讲例1若抛物线y=3(x+2)2上的三个点为A(-32,y1),B(-1,y2),C(0,y3),则y1,y2,y3的大小关系为.(用“<”号连接)

解:∵抛物线y=3(x+2)2的对称轴为x=-2,a=3>0,开口向上,∴当x<-2时,即在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;当x>-2时,即在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.∵点A的坐标为(-32,y1),∴点A在抛物线上关于x=-2的对称点A'的坐标为(32,y1).又∵-1<0<2,∴y2<y3<y1.例2抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后的函数解析式.解:二次函数y=ax2的图象向右平移3个单位长度后的二次函数解析式可表示为y=a(x-3)2,把(-1,4)代入y=a(x-3)2,得4=a(-1-3)2,解得a=14因此平移后的抛物线解析式为y=14(x-3)2设计意图:通过例题讲解,加深学生对新知识的理解和掌握,让学生感受数学的严谨性.拓展应用1.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h的值为(B)A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或62.若-134,y1,-54,y2,14,y3为二次函数y=(x-2)2图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为y3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.开口方向对称轴顶点坐标y=2(x-3)2向上

直线x=3

(3,0)

y=2(x-2)2向上

直线x=2

(2,0)

y=-34(x-1)向下

直线x=1

(1,0)

设计意图:本环节是对所学知识点的应用,训练学生的逆向思维和发散思维,提高学生的应变能力.

课堂小结抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系?(1)若h>0,抛物线y=ax2向右平移h个单位长度得到抛物线y=a(x-h)2;(2)若h<0,抛物线y=ax2向左平移|h|个单位长度得到抛物线y=a(x-h)2.抛物线y=a(x-h)2相当于把抛物线y=ax2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位.

二次函数y=a(x-h)2(a>0)的图象性质抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性y=a(x-h)2(a>0)向上x=h(h,0)当x=h时,y最小值=0当x>h时,y随x的增大面增大;当x<h时,y随x的增大而减小设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路,加深对知识的记忆.随堂小测1.已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>-3时,y随x的增大而减小,当x=0时,y的值是(B)A.-1 B.-9 C.1 D.92.将二次函数y=-2x2的图象平移后,可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象,平移的方法是(C)A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度3.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度,那么平移后抛物线的解析式是y=-(x+3)2或y=-(x-3)2.

4.二次函数y=2x-322图象的对称轴是直线x=32,5.在同一坐标系中,画出函数y=2x2与y=2(x-2)2的图象,指出两个图象之间的关系.解:如图所示.函数y=2(x-2)2的图象是由函数y=2x2的图象向右平移2个单位长度得到.设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,以突出本节的重点,达到查漏补缺的目的.课堂8分钟.1.教材第35页练习.2.七彩作业.第2课时二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的关系抛物线y=a(x-h)2的图象和性质教学反思

第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课时目标1.尝试用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=a(x-h)2+k的性质,通过二次函数图象整理平移规律.2.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系,掌握抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的平移规律.3.应用函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解决问题.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.学习重点二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.学习难点抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的平移规律.课时活动设计知识回顾多媒体展示问题:抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2怎样平移得到的呢?抛物线y=a(x-h)2又是由抛物线y=ax2怎样平移得到的呢?多媒体展示答案.y=ax2k>0上移y=ax2+k顶点在y轴上,(0,k)对称轴为y轴k<0下移y=ax2h<0左移y=a(x-h)2顶点在x轴上,(h,0)对称轴为直线x=hh>0右移设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节的内容作铺垫.导入新课多媒体展示问题:函数y=a(x-h)2+k的图象,能否也可以由函数y=ax2的图象平移得到?设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点.探究新知教师引导学生尝试用描点法画出y=-12(x+1)2-1的图象,然后通过多媒体展示画图过程【列表】x…-4-3-2-1012…y=-12(x+1)2…-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5…【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=-12(x+1)2-1图象学生通过观察上述抛物线,指出它的开口方向,对称轴和顶点坐标.教师通过多媒体展示答案.开口方向对称轴顶点坐标y=-12(x+1)2向下x=-1(-1,-1)师生活动:教师提问抛物线y=-12(x+1)2-1如何由抛物线y=-12x2平移得到,第一种方法:将抛物线y=-12x2向左平移一个单位得到y=-12(x+1)2,再向下平移一个单位得到y=-12(x+1)第二种方法:将抛物线y=-12x2向下平移一个单位得到y=-12x2-1,再向左平移一个单位得到y=-12(x+1)练习:抛物线y=-12x2如何通过平移得到以下4个抛物线多媒体展示解:将抛物线y=-12x2向上平移一个单位,得到y=-12x将抛物线y=-12x2向左平移一个单位,得到y=-12(x+1)将抛物线y=-12x2向右平移一个单位,得到y=-12(x-1)将抛物线y=-12x2向下平移一个单位,得到y=-12x2设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,总结抛物线y=-12(x±1)2和y=-12x2±1与抛物线y=-12x2的关系,培养学生概括的能力.再通过提问环节,新知讲解师生总结抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的关系:两者可以左右互相平移|h|个单位,上下互相平移|k|个单位得到.多媒体展示过程.师生总结抛物线的平移步骤,通过多媒体展示答案.平移步骤:(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标(h,k);(2)保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处.具体平移方法如下:教师引导学生尝试总结y=a(x-h)2+k的性质,并通过多媒体展示答案.设计意图:归纳总结,让学生梳理知识,使学生明确本节的内容,进而达成教学目标.典例精讲典例1填表.

抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5上

x=-3

(-3,5)

y=-3(x-1)2-2下

x=1

(1,-2)

y=4x2+7上

x=0(y轴)

(0,7)

y=-5(x+2)2下

x=-2

(-2,0)

典例2已知y=a(x-h)2+k是由抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的,则a=-2,h=1,k=3.

设计意图:通过例题讲解,让学生感受数学知识间的关联性,加深学生对新学知识的理解与掌握.拓展应用1.抛物线y=3(x-1)2+1的顶点坐标是(A)A.(1,1)B.(-1,1)C.(-1,-1)D.(1,-1)2.在同一坐标系内,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是(C)3.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为y=-5(x+1)2-1.

设计意图:让学生体会知识的不同考法.对知识灵活应用,提高解题能力.课堂小结(1)本节主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法?(2)本节还有哪些疑惑?设计意图:通过小结,学生总结本节所学知识,巩固本节所学内容.随堂小测1.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是(A)2.完成下表.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上

直线x=-3

(-3,5)

y=-3(x-1)2-2向下

直线x=1

(1,-2)

y=4(x-3)2+7向上

直线x=3

(3,7)

y=-5(2-x)2-6向下

直线x=2

(2,-6)

3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线为y=-3(x-2)2+3.

4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到抛物线y=-3x2.

5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由抛物线y=5x2平移得到,请直接写出该二次函数的解析式.解:该二次函数的解析式为y=5(x+1)2+3.设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,突出本节的重点,达到查漏补缺的目的.课堂8分钟.1.教材第37页练习.2.七彩作业.

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2有什么关系抛物线y=a(x-h)2+k的图象和性质教学反思

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课时目标1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质.根据二次函数的图象和性质,进而总结二次函数图象与各项系数之间的关系.2.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.学习重点通过图象,观察抛物线y=ax2+bx+c的图象与性质.学习难点通过图象,观察抛物线y=ax2+bx+c的图象与性质.课时活动设计知识回顾多媒体展示问题:1.二次函数y=2(x+5)2-3的图象是抛物线,它的开口向上,顶点坐标是(-5,-3);对称轴是x=-5,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,x=-5时,取最小值,其最小值是-3.

2.回顾完全平方公式和配方的步骤.解:(1)“提”:提出二次项系数;(2)“配”:括号内配成完全平方;(3)“化”:化成顶点式.设计意图:学生回顾二次函数的顶点式,为本节学习降低难度.导入新课对于前面学习的函数,从解析式中可以直接看出其顶点坐标.我们把形如y=a(x-h)2+k的解析式称为顶点式.对于y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0),我们称为一般式.今天我们就来研究一般式的图象和性质.设计意图:让学生清楚二次函数顶点式的形式和利用二次函数顶点式的便捷性,同时了解一般式,比较两种解析式形式的差别.经过此环节,激发学生参与课堂教学的热情,使学生进入问题情境.探索新知师生尝试总结抛物线y=12x2是如何通过平移得到抛物线y=12x2-6x+21的,并用多媒体展示如何画出抛物线y=12x2-6x通过描点法画出y=12x2-6x+21的图象【列表】x…45678…y=12x2-6x+21=12(x-6)…53.533.55…【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=12x2-6x+21的图象教师总结画y=ax2+bx+c图象的基本步骤:(1)利用配方法或公式法把y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式.(2)确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.(3)在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图.学生讨论二次函数y=-2x2-4x+1有什么样的性质.先将y=-2x2-4x+1化为y=a(x-h)2+k的形式得y=-2(x+1)2+3,则开口向下,对称轴x=-1,顶点坐标(-1,3).当x<-1,y随x的增大而增大,当x>-1,y随x的增大而减小,当x=-1,y有最大值为3.教师通过多媒体展示如何求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.y=ax2+bx+c=ax2+bax+ca

=ax2二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-b2a,

设计意图:将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,利用二次函数各项系数表示二次函数的对称轴和顶点坐标,让学生动笔尝试,合作交流,展示成果,既学习了知识,又激发了学生学习的积极性.新知讲解教师引导学生总结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质,然后利用多媒体进行展示.设计意图:根据二次函数的图象,引导学生归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质.通过多媒体将抽象的内容形象化,加深学生对其性质的理解与掌握.典例精讲例二次函数y=x2+2x-3的开口方向,顶点坐标分别是(A)A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4)B.开口向下,顶点坐标为(1,4)C.开口向上,顶点坐标为(1,4)D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4)方法点拨:把函数的一般式化为顶点式,再由顶点式确定开口方向,对称轴,顶点等.设计意图:通过例题讲解,加深学生对新知识的理解与掌握.拓展应用1.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,则(B)A.b=2,c=6 B.b=-6,c=6C.b=-8,c=18 D.b=-8,c=182.已知二次函数y=-x2+2mx,以下点可能成为二次函数顶点的是(A).A.(-2,4) B.(1,2) C.(-1,-1) D.(2,-4)3.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是(C)4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有结论:①abc>0;②2a-b<0;③4a-2b+c<0;④(a+c)2<b2.其中正确的个数是(D)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.当x取何值时,二次函数y=2x2-8x+1有最大值或最小值,最大值或最小值是多少?解:∵a=2>0,∴二次函数y=2x2-8x+1有最小值.当x=-b2a=84=2时,y设计意图:让学生体会知识的不同考法.灵活运用新知,提高解题能力.课堂小结你掌握了哪些知识,学会了哪些方法,还有什么困惑?二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2的关系相同点形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同)都是轴对称图形都有最大(小)值a>0时,开口向上在对称轴左侧,y都随x的增大而减小;在对称轴右侧,y都随x的增大而增大a<0时,开口向下在对称轴左侧,y都随x的增大而增大;在对称轴右侧,y都随x的增大而减小不同点顶点不同,分别是-b2a对称轴不同,分别是直线x=-b2a和y最值不同,分别是4ac-b2设计意图:学生总结,自由发表学习心得,培养学生的语言表达能力和归纳概括能力.巩固训练1.已知二次函数y=x2-2x+1,那么它的图象大致为(B)2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),32,y2是抛物线上两点,则y1>y2.其中正确的是(A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④3.已知函数y=-2x2+x-4,当x=

14时,y有最大值-3184.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当x=-1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的是②.

5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.(1)y=2x2-12x+13;(2)y=-5x2+80x-319;(3)y=2x-(4)y=x+1解:(1)直线x=3,(3,-5).(2)直线x=8,(8,1).(3)直线x=1.25,54(4)直线x=0.5,12设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第39页练习.2.七彩作业.教学反思

*第2课时用待定系数法求二次函数的解析式课时目标1.会用待定系数法求二次函数的解析式,能灵活的根据条件选择解析式形式.2.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.学习重点用待定系数法求二次函数解析式.学习难点根据条件选择解析式形式,体会二次函数不同形式解析式之间的转化.课时活动设计知识回顾多媒体展示.函数开口方向对称轴顶点坐标最值y=ax2(a≠0)a>0,开口向上;a<0,开口向下直线x=0(y轴)(0,0)a>0最小值0a<0最大值0y=ax2+k(a≠0)直线x=0(y轴)(0,k)a>0最小值ka<0最大值ky=a(x-h)2(a≠0)直线x=h(h,0)a>0最小值0a<0最大值0y=a(x-h)2+k(a≠0)直线x=h(h,k)a>0最小值ka<0最大值ky=ax2+bx+c(a≠0)直线x=-b-b2a,4ac-ba>0最小值4ac-a<0最大值4ac-设计意图:学生回顾之前所学知识,巩固旧知识,引出新知识.

导入新课我们用待定系数法可以确定一次函数的解析式,那么对于二次函数,可以用待定系数法吗?设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点.探究新知教师引导学生回顾求一次函数解析式的步骤.(1)设解析式.(2)将坐标代入解析式,解二元一次方程组,得出系数.(3)将系数反代回所设的解析式中,写出解析式.多媒体展示问题:已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),求这个一次函数的解析式.师生活动:学生演算,教师通过多媒体展示解题过程.解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),∴k+b∴一次函数的解析式为y=5x-2.教师通过用待定系数法求一次函数解析式,引导学生发现用待定系数法求二次函数解析式的关键是确定系数a,b,c的值.教师:我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数,由几个点的坐标可以确定二次函数?下面我们尝试求一下二次函数的解析式.多媒体展示问题已知一个二次函数的图象过点(-1,10),(1,4),求这个函数的解析式.教师引导学生回答解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,得a师生活动:尝试求一下二次函数的解析式,教师用多媒体展示.已知一个二次函数的图象过点(-1,10),(1,4),(2,7),求这个函数的解析式.解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,得a该如何解这个方程组呢?教师引导学生独立解答,再用多媒体展示解题过程.由已知,得a由②-①,可得2b=-6⇨b=-3.由③-①,可得3a+3b=-3⇨a+b=-1⇨a=2.将a=2,b=-3代入①,可得2+3+c=10⇨c=5.∴解方程组得a=2,b=-3,c=5.∴二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.总结:知道三个点的坐标可以将解析式设为一般式,然后将坐标代入一般式组成三元一次方程组从而求出系数,得到函数解析式.设计意图:运用类比的思想方法,让学生经历合作探究过程,通过观察,发现,归纳,理解本节学习的知识.典例精讲例1已知二次函数的图象经过原点,且当x=1时,y有最小值-1,求这个二次函数的解析式.解:∵由已知得二次函数顶点坐标为(1,-1),∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-1.∵二次函数的图象经过原点(0,0)∴0=a-1,解得a=1,∴二次函数解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x.例2已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3,x2=1,且与y轴交点为(0,-3),求这个二次函数解析式.解:(方法1)设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c.∵图象经过点(-3,0),(1,0),(0,-3).∴9解得a=1,b=2,c=-3.∴这个二次函数解析式为y=x2+2x-3.(方法2)∵图象与x轴交于点(1,0),(-3,0),∴设函数解析式为y=a(x-1)(x+3).∵图象过点(0,-3),∴-3=a(0-1)(0+3),解得a=1.∴这个二次函数解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.教师:两种方法的结果一样吗?两种方法哪一个更简便?师生活动,学生通过计算对比,发现方法1更简便,得出用交点式求函数表达式的一般方法.设计意图:通过例题讲解,拓展顶点式和交点式,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.巩固训练1.已知一个二次函数的图象过A(-1,0),B(4,5),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.解:设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c.∵图象经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).∴a解得a=1,b=-2,c=-3.∴这个二次函数解析式为y=x2-2x-3.2.已知抛物线顶点为(1,-4),且过点(2,-3),求其解析式.解:∵抛物线顶点为(1,-4),∴设其解析式为y=a(x-1)2-4.又∵抛物线过点(2,-3),则-3=a(2-1)2-4,则a=1.∴其解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0),与y轴交于点C(0,3),求这个二次函数的解析式.解:∵图象与x轴交于A(1,0),B(3,0),∴设函数解析式为y=a(x-1)(x-3).∵图象过点C(0,3),∴3=a(0-1)(0-3),解得a=1.∴这个二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.设计意图:通过对应练习题,巩固新学知识,根据学生做题的熟练程度检查学生的掌握情况.课堂小结设计意图:通过小结让学生进一步熟悉求二次函数解析式的方法,让学生通过回顾总结,巩固新知.随堂小测1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为(D)A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-22.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为y=-7x2+42x-59.

3.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A,C的坐标分别是(8,0),(0,4),求这个抛物线的解析式.解:由抛物线过A(8,0)及对称轴为直线x=3,知抛物线一定过点(-2,0).设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),∵抛物线过点(0,4),∴4=-16a,a=-14∴这个抛物线的解析式为y=-14(x+2)(x-8)∴抛物线解析式为y=-14x2+32x4.已知抛物线顶点(1,16),且抛物线与x轴的两交点间的距离为8,求其解析式.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0),(-3,0),设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点(1,16),∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第40页练习第1,2题.2.七彩作业.※第2课时用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式.(2)顶点式.(3)两根式.教学反思

课时目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系.掌握二次函数的图象与x轴的三种位置关系.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.2.通过解决实际问题,培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.学习重点理解并掌握二次函数图象与一元二次方程(不等式)之间的联系.学习难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.课时活动设计知识回顾根据上节课所学二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,回答问题,多媒体展示.设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节课的内容学习做铺垫.探究新知探究1二次函数的图象与x轴交点情况多媒体展示问题:观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?教师利用多媒体展示二次函数的图象,学生观察图象,展开讨论,回答问题.解:(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标分别是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根是3.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.探究2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解多媒体展示问题如何求一元二次方程x2-2x-1=0根的近似值(精确到0.1)?解:画出函数y=x2-2x-1的图象(如下图),由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是在-0.5左右,利用计算器进行计算,见下表:x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现,当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.设计意图:让学生进行合作探究,通过解决问题,了解本节所学内容,培养学生的探究能力.新知讲解从上面的探究,我们发现,二次函数与一元二次方程联系紧密.已知二次函数y的值,求自变量x的值.可以看作解一元二次方程.反过来,解一元二次方程,就是已知二次函数y的值,求自变量x的值.多媒体展示二次函数与一元二次方程的关系.由探究可知,方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.多媒体展示二次函数的图象与x轴交点情况.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2-4ac≥0.由探究容易得出利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的基本步骤:1.画出函数的图象;2.根据图象确定抛物线与x轴的交点;3.利用计算器探索交点横坐标,从而确定方程的近似根.设计意图:知识梳理,让学生了解知识脉落,促进教学目标达成.典例精讲例1根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是(C)x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26例2已知二次函数y=2x2-3x-4的函数值为1,则自变量x的值为-1或2.5,一元二次方程2x2-3x-5=0的解为x1=-1,x2=2.5,则抛物线2x2-3x-5=0与x轴的交点坐标为(-1,0)和(2.5,0).

例3已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是k>-1且k≠0.

设计意图:通过例题讲解,加深学生对新学知识的理解与掌握.巩固训练1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y=0;当y=0时,x=1或2.

2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为(0,-1);与x轴的交点坐标为(0.5,0)和(-0.5,0).

3.已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).(1)求证:此抛物线与x轴总有交点;(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.(1)证明:∵m≠0,a=m,b=-(m+2),c-2.∴Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴Δ≥0,因此抛物线与x轴总有交点.(2)解:令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=2m.当m为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时,Δ=0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为14.如图,同学在扔铅球时,铅球沿抛物线y=-x210+610x+85运行,其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离,(1)当铅球离地面的高度为2.1m时,它离初始位置的水平距离是多少?(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少?(3)铅球离地面的高度能否达到3m?为什么?(1)解:由题意,得2.1=-x210+610x即x2-6x+5=0,解得x1=1,x2=5.即当铅球离地面的高度为2.1m时,它离初始位置的水平距离是1m或5m.(2)解:由题意,得2.5=-x210+610x即x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m时,它离初始位置的水平距离是3m.(3)解:由题意,得3=-x210+610x即x2-6x+14=0,因为Δ=(-6)