专题19 对角互补模型-备战2022年中考数学母题题源解密（解析版）

专题19对角互补模型考向相似形对角互补模型【母题来源】2021年中考北京朝阳卷【母题题文】如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且CMAC＜3k的式子表示）．【答案】（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，OD＝OA．sin∠A＝OA．sin45°=2同理：OE=2∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM+∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON+∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，∠MDO∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．（2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD=22OA，OE∴ODOE由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴OMON∴ON＝k•OM．（3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB=2∴OB=2•kk+1a，OA=∴OE=22OB∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN=OEtan∠N=∵CE＝OD=22OA∴NC＝CE+EN=1k+1a+由（2）知：OMON∴∠M＝∠N，∵AMPN∴OMON∴∠P＝∠A＝45°，∠AMO＝∠N＝30°，∴PE＝OE=k∴PN＝PE+EN=kk+1a+设AD＝OD＝x，∴DM=3由AD+DM＝AC+CM得，（3+1∴x=3−12（AC+CM）＜3−1∴k＞1∴NCPN∴NCPC【试题解析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；（3）解Rt△EON和斜△AOM．【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【命题方向】一般设置为解答题，设置为压轴题.【得分要点】如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，则CE＝CD·tan方法：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N易证△MCD∽△NCE，∴，即CE＝CD·tan1．（2021•浙江稠州二模）特例感知（1）如图1，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证BE＝AF；探索发现（2）如图2，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；类比迁移（3）如图3，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∴BD＝CD＝AD=12BC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，在△BDE和△ADF中，∠BDE∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，在△BDE和△ADF中，∠BDE∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；（3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=1∴BD＝CD＝AB•sin60°＝23，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴BECD∴4−4m23解得m=5−212经检验，m=5−当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得BECD∴4−4m解得，m=−3+132经检验，m=−3+当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴BECD=解得，m=3+132经检验，m=3+综上所述，满足条件的AF的值为5−212或−3+1322．（2021•安徽模拟）（1）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求证：DF•DA＝DB•DE；②求EF的最小值．（1）证明：如图1，连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAE＝45°，∵∠ADB＝∠EDF＝90°，∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠ADE＝∠BDF，在△BDF和△ADE中，∠B∴△BDF≌△ADE（ASA），∴DE＝DF；（2）①证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠EDF，∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠BDF＝∠ADE，∵∠BAD+∠DAE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAE，∴△BDF∽△ADE，∴BDAD∴DF•DA＝DB•DE；②解：如图2，连接EF，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，则BC=A∴AD=AB由勾股定理得：DC=A∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB，∴△ADB∽△CAB，∴BDAD由①可知，BDAD∴DFDE∵∠EDF＝∠CAB＝90°，∴△EDF∽△CAB，∴EFBC=DE∴EF=5当DE最小时，EF取最小值，当DE⊥AC时，DE最小，此时，DE=AD∴EF的最小值为：5×483．（2021•四川成都模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为线段AD上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE，交射线CD于点F，垂足为P．（1）求证：△CED∽△BCF；（2）当F为CD的中点时，求tan∠BAP的值；（3）若△ABP为等腰三角形时，直接写出DE的长．（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BPC＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠BCP＝∠CBF，∴△CED∽△BCF．（2）如图1，过点P作GH⊥CD于点G，交AB于点H，∵CD＝AB＝4，∴CF=1∵BC＝6，∴BF2＝22+62＝40，∴BF=40=2∵BPBC∴BF•BP＝BC2，∴210BP＝62，解得BP=9∵∠HBC＝∠BCG＝∠CGH＝90°，∴四边形BCGH是矩形，∴∠PHA＝∠PHB＝90°，GH∥BC，∴∠BPH＝∠FBC，∴PHBP∴BF•PH＝BP•BC，∴210PH=9解得PH=27∵BHBP∴BF•BH＝BP•CF，∴210BH=解得BH=9∴AH＝4−9∴tan∠BAP=PH（3）当PA＝PB时，如图2，作PH⊥AB于点H，则AH＝BH，∵∠BHP＝∠BAC＝90°，AD∥BC，∴PH∥AD∥BC，∴EPCP∴EP＝CP，∵BF⊥CE，∴BE＝BC＝6，∴AE=6∴DE＝6−2当PA＝AB时，如图3，作AM⊥BP于点M，则BM＝PM=1∵BPBC∴BP=B∴BM=12BP∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠F，∴BMAB∴18BF∴整理得CF=9∵∠DCE＝90°﹣∠BCP＝∠CBF，∴DECD∴DE=CD当BP＝AB＝4时，如图4，则PC=62−∵∠DEC＝∠PCB，∠EDC＝∠CPB＝90°，CD＝AB＝BP，∴△CDE≌△BPC（AAS），∴DE＝PC＝25．综上所述，DE的长为6−25或3或4．（2021•山东济宁三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解：（1）矩形或正方形是一个等邻角四边形．故答案为：矩形，正方形；（2）结论：AC＝BD，理由：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA＝PD，PC＝PB，∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC，即∠PAD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴D'FAC解得：D′F=36