专题17 四边形与平行四边形（讲义）（解析版）

专题17四边形与平行四边形核心知识点精讲理解掌握四边形的相关概念，包括对角线、不稳定性等；理解掌握四边形的内角和定理以及外角和定理，并能进行以上定理的运用；理解掌握多边形的对角线条数的计算方法；理解掌握平行四边形的概念与性质；能够进行平行四边形的判定；掌握两条平行线距离的计算方法、面积计算方法。考点1四边形的相关概念1.四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2.凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。3.对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4.四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。5.四边形的内角和定理及外角和定理：四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。6.多边形的对角线条数的计算公式：设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。考点2平行四边形的概念和性质1.平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。2.平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。考点3平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形考点4平行四边形的判定与性质（1）平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．（2）两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。（3）平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah【题型1：四边形的相关概念】【典例1】（2023•南海区一模）一个n边形从一个顶点出发最多引出7条对角线，则n的值为10．【答案】10．【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，列方程求解．【解答】解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，∴n﹣3＝7，解得n＝10．故答案为：10．1．（2023•荔湾区校级二模）如果多边形的每一个内角都是150°，那么这个多边形的边数是（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可．【解答】解：∵多边形的各个内角都等于150°，∴每个外角为30°，设这个多边形的边数为n，则30°n＝360°，解得n＝12．故选：C．2．（2023•鹤山市校级二模）若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形【答案】C【分析】由多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数），可求多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得：（n﹣2）•180°＝1080°，∴n＝8，即这个多边形是八边形．故选：C．3．（2023•雷州市一模）若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°列出方程，从而解决此题．【解答】解：设这个多边形的边数为x．由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3．∴x＝8．故选：C．【题型2：平行四边形的概念和性质】【典例2】（2023•新会区一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（）A．2 B．1 C．3 D．3.5【答案】A【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3；同理可得：AE＝AB＝3，∴AF＝DE，∵AD＝4，∴AF＝4﹣3＝1，∴EF＝4﹣1﹣1＝2．故选：A．1．（2023•南海区校级三模）如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（）A．110° B．35° C．70° D．55°【答案】C【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，∴∠BCD＝∠A＝110°，∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．故选：C．2．（2023•佛山模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】由平行四边形的性质得OA=12AC=2，OB=12BD＝3，由OB﹣OA＜AB＜OB+OA【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∴OA＝OC=12AC=12×4＝2，OB∴OB﹣OA＝3﹣2＝1，OB+OA＝3+2＝5，∵OB﹣OA＜AB＜OB+OA，∴1＜AB＜5，∵在4，5，6，7四个数中，1＜4＜5，∴A符合题意，故选：A．3．（2023•蓬江区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝120°，则∠D的度数为（）A．120° B．60° C．30° D．150°【答案】A【分析】根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝120°，∴∠A＝60°，∴∠D＝180°﹣∠A＝120°．故选：A．【题型3：平行四边形的判定】【典例3】（2022•海珠区校级模拟）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．【答案】证明见解析．【分析】证出△ABC≌△DEF（ASA），得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEFBC=EF∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．1．（2023•香洲区校级一模）下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD【答案】D【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一验证即可得出结论．【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有D正确．故选：D．2．（2023•中山市模拟）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明见解析部分．【分析】根据平行线的性质得到∠DFE＝∠BEF，再利用全等三角形的判定与性质得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE即可解答．【解答】证明：∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEC，∴在△ADF和△CBE中，DF=BE∠DFA=∠BEC∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．3．（2023•丰顺县一模）如图，点E，A，C，F在同一直线上，ED∥BF，AE＝CF，∠EDA＝∠FBC．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）四边形ABCD是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由平行线的性质得∠E＝∠F，再由AAS证△ADE≌△CBF即可；（2）由全等三角形的性质得AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，再证AD∥CB，然后由平行四边形的判定即可得出结论．【解答】证明：（1）∵ED∥BF，∴∠E＝∠F，在△ADE和△CBF中，∠EDA=∠FBC∠E=∠F∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）由（1）可知，△ADE≌△CBF，∴AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，∴∠DAC＝∠BCA，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．【题型4：平行四边形的性质与判定】【典例4】（2023•榕城区一模）如图，将▱ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．【答案】证明过程见解答．【分析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证得OE＝OF，即可得出结论．【解答】证明：连接BD，与AC交于点O．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AE＝CF，∴OA+AE＝OC+CF，即OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形．1．（2023•阳山县二模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（）A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误【答案】B【分析】根据作图过程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题．【解答】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，∵l1∥l2，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CB，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD对角线互相垂直．∴①错误，②正确．故选B．2．（2023•丰顺县一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形AFCE是平行四边形的是（）①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCEA．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，进而利用平行四边形的判定解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，故②正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAF+∠AFC＝180°，∵∠AFC＝∠AEC，∴∠EAF+∠AEC＝180°，∴AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠DCB，∵∠BAF＝∠DCE，∴∠EAF＝∠FCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠AFB，∵∠EAF＝∠FCE，∴∠AFB＝∠FCE，∴AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形，故④正确；①AF＝CE，不能得出边形AFCE是平行四边形，故选：A．3．（2023•东莞市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．（1）证明：四边形DECF是平行四边形；（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）25．【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，由平行四边形的判定即可得出结论；（2）先由勾股定理得BC＝12，再由三角形中位线定理得DE=12BC＝6，然后由平行四边形的性质得DE＝CF＝6，DF＝CE，再由勾股定理得DF【解答】（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴DE∥CF，∵DF∥CE，∴四边形DECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=A∵DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC∵四边形DECF是平行四边形，∴DE＝CF＝6，DF＝CE，∵D是边AC的中点，∴CD=12AC=1∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线，∴∠DCF＝90°，在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF=C∴四边形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6+134．（2023•封开县二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB＝8，求四边形ABCD的周长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝CD即可解决问题．（2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×AB＝32一．选择题（共8小题）1．在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C的大小是（）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】D【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．【解答】解：在▱ABCD中，∠A＝100°，且∠A＝∠C，∴∠C＝∠A＝100°．故选：D．2．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（）A．100° B．80° C．60° D．40°【答案】D【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质求解．【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAB＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°．∵AE平分∠DAB，∴∠AED=12∠故选：D．3．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（）A．18 B．93 C．6 D．条件不够，不能确定【答案】C【分析】因为要求证明PD+PE+PF的值，而PD、PE、PF并不在同一直线上，构造平行四边形，求出等于AB，根据三角形的周长求出AB即可．【解答】解：延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H，∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形，∴PD＝BG，PH＝AF．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPE也是等边三角形，∴PE＝PH＝AF，PF＝GF，∴PE+PD+PF＝AF+BG+FG＝AB=18故选：C．4．如图，已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（）A．144° B．72° C．36° D．18°【答案】C【分析】由在▱ABCD中，可得∠A+∠B＝180°，又由∠B＝4∠A，即可求得∠A的度数，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠C＝∠A=1故选：C．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝7：2，则∠A的度数是（）A．110° B．140° C．120° D．160°【答案】B【分析】根据平行四边形邻角互补以及∠A：∠B＝7：2，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A：∠B＝7：2，∴∠B=27∠∴∠A+2∴∠A＝140°，故选：B．6．在学习“四边形”的知识时，小明的书上有一个图因不小心被滴上了墨水（如图），请问被墨迹遮盖了的文字是（）A．四边形 B．等腰梯形 C．等边三角形 D．菱形【答案】D【分析】根据特殊四边形的关系，结合图形进行解答．【解答】解：根据特殊四边形的关系，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，结合图形可知，被墨迹遮盖了的文字是：菱形．故选：D．7．在▱ABCD中，∠A＝50°，则∠C的度数是（）A．40° B．50° C．100° D．130°【答案】B【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解．【解答】解：∵平行四边形ABCD中对角相等，∴∠C＝∠A＝50°，故选：B．8．如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（）A．30° B．35° C．36° D．45°【答案】C【分析】根据正多边形的每个内角相等以及多边形的内角和公式可得∠E＝∠CDE＝108°，再根据正多边形的各边相等可得△ADE是等腰三角形，据此可得∠1的度数，再根据角的和差关系求解即可．【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠E＝∠CDE=180°×(5−2)5=108°，AE所以∠1=∠3=180°−108°所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故选：C．二．填空题（共4小题）9．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为3．【答案】3．【分析】如图所示，连接EF、AF，先证明四边形ABFE，CDEF是平行四边形，进而得到AE＝EF＝AB＝ME＝2，再证明△AEF是等边三角形，进一步证明△ABN≌△EMN，得到AN＝NE，则NE=12AE=1，FN⊥AE【解答】解：如图所示，连接EF、AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC∵点E，F分别是AD，BC边的中点，∴AE＝DE＝BF＝CF，∴四边形ABFE，CDEF是平行四边形，∵DG＝DE＝2，DG＝DC，四边形DGME是平行四边形，∴AE＝EF＝AB＝ME＝2，∵EF∥CD，∴∠AEF＝∠ADC＝60°，∴△AEF是等边三角形，∵ME∥CD，EF∥CD，∴M、E、F三点共线，∴MF∥AB，∴∠MEN＝∠BAN，在△EMN和△ABN中∠MNE=∠ANB∠MEN=∠BAN∴△ABN≌△EMN（AAS），∴AN＝NE，∴NE=12AE=1，FN∴FN=E故答案为：3．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D在BC边上，以BD，BA为边作▱BAED，则DE的长度为22【答案】22【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据平行四边形对边相等即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB=A∵四边形BAED是平行四边形，∴DE=AB=22故答案为：2211．如图，E是直线CD上的一点．已知▱ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为26cm2．【答案】见试题解答内容【分析】根据平行四边形面积的表示形式及三角形的面积表达式可得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半．【解答】解：根据图形可得：△ABE的面积为平行四边形的面积的一半，又∵▱ABCD的面积为52cm2，∴△ABE的面积为26cm2．故答案为：26．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，2），B（1，0），C（3，2），点D在第一象限内，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是（2，4）．【答案】D（2，4）．【分析】根据题意，画出图形，即可得出结论．【解答】解：由题意，画出平行四边形ABCD，如图所示：由图可知：D（2，4）．故答案为：D（2，4）．三．解答题（共3小题）13．如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：四边形BEDF是平行四边形．【答案】证明见解答过程．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，∠ABC＝∠ADF，又由BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，可证得∠CBE＝∠CFD，即可证得BE∥DF，则可判定四边形BEDF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠EDF＝∠CFD，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CBE=12∠ABC∴∠CBE＝∠EDF，∴∠CBE＝∠CFD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．14．如图，已知E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得DC与AB的关系，∠FDC与∠EBA的关系，根据补角的性质，可得∠AEB与∠CFD的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据全等三角形的性质，可得AE与CF的大小关系，根据平行线的性质，AE与CF的位置关系，可得根据平行四边形的判定，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠FDC＝∠EBA．∵∠1＝∠2，∴∠AEB与∠CFD．在△ABE和△CDF中∠ABE=∠CDF∠AEB=∠DFC∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）证明：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF．∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．15．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF．【答案】见试题解答内容【分析】由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可得证．【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB＝180°，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，则四边形BFDE为矩形，∴BE＝DF．一．选择题（共7小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝8，∠BAD＝120°，则GH的长度为（）A．52 B．372 C．34【答案】B【分析】连接CH并延长交AD于M，过E作EN⊥DA交DA延长线于N，由中点定义求出AE=12AB＝3，由直角三角形的性质求出AN=12AE=32，EN=3AN=332，由AAS证明△DMH≌△CFH，得到DM＝FC，CH＝MH，求出CF=12BC＝4，得到DM＝4，求出MN＝AM+【解答】解：连接CH并延长交AD于M，过E作EN⊥DA交DA延长线于N，∵E是边AB的中点，AB＝6，∴AE=12∵∠BAD＝120°，∴∠EAN＝180°﹣∠BAD＝60°，∴AN=12AE∴EN=3AN=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝BC＝8，∴∠MDH＝∠CFH，∠DMH＝∠FCH，∵FH＝DH，∴△DMH≌△CFH（AAS），∴DM＝FC，CH＝MH，∵F是BC中点，BC＝8，∴CF=12∴DM＝4，∴AM＝AD﹣DM＝8﹣4＝4，∴MN＝AM+AN＝4+3∴ME=M∵CH＝MH，CG＝EG，∴GH是△CEM的中位线，∴GH=12EM故选：B．2．如图，在△ABC中，以各边为边分别作三个等边三角形BCF，ABD，ACE，若AB＝3，AC＝4，BC＝5，则下列结论：①AB⊥AC；②四边形ADFE是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形ADFE＝5．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB＝∠EAC＝60°，则∠DAE＝150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③正确；∠FDA＝180°﹣∠DFE＝30°，过点A作AM⊥DF于点M，S▱AEFD=DF⋅AM=1【解答】解：∵32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，又∴∠BAC＝90°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，BD=BA∠DBF=∠ABC∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，过点A作AM⊥DF于点M，∴S四边形ADFE＝DF•AM=1故④不正确；∴正确的个数是3个，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝76°，∠ACB＝36°，则∠D的度数为（）A．68° B．72° C．76° D．104°【答案】A【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D，再由三角形内角和定理得∠B＝76°，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠BAC＝76°，∠ACB＝36°，∴∠B＝180°﹣76°﹣36°＝68°，∴∠D＝∠B＝68°，故选：A．4．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠C的度数为（）A．70° B．40° C．110° D．140°【答案】A【分析】由平行四边形的性质得∠A＝∠C，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝140°，∴∠A＝∠C＝70°，故选：A．5．平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列说法正确的是（）A．AB＝OB B．AB＝OA C．AC＝BD D．AC⊥BD【答案】C【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAO＝∠OBA，即可得OA＝OB，几何平行四边形的性质可证明AC＝BD，进而可求解．【解答】解：∵∠AOB+∠BAO+∠OBA＝180°，∠AOB＝180°﹣2∠BAO，∴∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC＝BD，故选：C．6．要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（）A．OC＝5 B．OC＝3 C．CD＝3 D．CD＝9【答案】B【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可求解．【解答】解：∵AD＝BC＝9，AB＝CD＝5，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OB＝OD＝7，OA＝OC＝3，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：B．7．如图，在▱ABCD中，AD＝6，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据平行四边形的性质可得BC＝AD＝6，根据中位线的性质即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，AD＝6，∴BC＝AD＝6，∵点E，F分别是BD，CD的中点，∴EF=1故选：A．二．填空题（共5小题）8．如图，圆的周长是18.84cm，则平行四边形的面积是24cm2．【答案】24．【分析】先确定圆的直径是平行四边形的高，设圆的直径为dcm，当π取3.14时，则3.14d＝18.84，求得d＝6，即可求得平行四边形的面积为24cm2，于是得到问题的答案．【解答】解：由图形可知，圆的直径为两条平行线之间的距离，也是平行四边形的高，设圆的直径为dcm，∵圆的周长是18.84cm，∴当π取3.14时，则3.14d＝18.84，解得d＝6，S平行四边形＝4×6＝24（cm2），故答案为：24．9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为9.6．【答案】9.6．【分析】当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，作BH⊥AC于H，连接AM，由勾股定理．三角形的面积公式求出BH的长，即可解决问题．【解答】解：当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM，在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC，∴MB=12∴AM=A∵△ABC的面积=12AC•BH=12∴10BH＝12×8，∴BH＝9.6，∵四边形BEDH是矩形，∴DE＝BH＝9.6．∴DE长的最小值是9.6．故答案为：9.6．10．如图，将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中有3个平行四边形．【答案】3．【分析】由平移得AD∥BE，AD＝BE；AD∥CF，AD＝CF；BE∥CF，BE＝CF，则四边形ABED、四边形ACFD、四边形BCFE都是平行四边形，于是得到问题的答案．【解答】解：∵将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF，∴AD∥BE，AD＝BE＝4；AD∥CF，AD＝CF＝4；BE∥CF，BE＝CF＝4，∴四边形ABED、四边形ACFD、四边形BCFE都是平行四边形，∴图中有三个平行四边形，故答案为：3．11．如图，在四边形ABDE中，AB＝AD＝AE，若AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DBA＝60度．【答案】60．【分析】由平行线的性质得到∠E+∠EAB＝180°，求出∠E＝60°，推出△ADE是等边三角形，从而得到AB＝DE，即可证明四边形ABDE是平行四边形，得到∠DBA＝∠E＝60°．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠E+∠EAB＝180°，∵∠EAB＝120°，∴∠E＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∵AD＝AB，∴AB＝DE，∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴∠DBA＝∠E＝60°．故答案为：60．12．如图所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积为24．【答案】见试题解答内容【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，得出△CON≌△AOM，现在可以求出S△AOD，再根据O是DB中点就可以求出S△AOB．即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴四边形ABCD是中心对称图形，∴△CON≌△AOM，∴S△AOD＝4+2＝6，又∵OB＝OD，∴S△AOB＝S△AOD＝6；∴▱ABCD的面积＝4×6＝24．故答案为：24．三．解答题（共3小题）13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一点，CD＝BC，过点D作DF⊥AC于点F，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形．（2）若BD＝6，sinA=13，求【答案】（1）见解析；（2）9．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DFA＝90°，根据平行线的判定定理得到BC∥DF根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠A＝∠ACE根据平行四边形的性质得到CE＝BD＝6根据三角函数的定义得到EF＝2，设BC＝x，DF＝x﹣2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠C＝90o，∴∠DFA＝∠C，∴BC∥DF，∵CE∥AB，∴四边形BDCE是平行四边形；（2）解：∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE，∵四边形BDCE是平行四边形，∴CE＝BD＝6，∵sinA=1∴sin∠ACE=EF∴EF＝2，设CD＝DE＝BC＝x，则DF＝x﹣2，∵CD2﹣DF2＝CE2﹣EF2，∴x2﹣（x﹣2）2＝32，解得x＝9，∴DE＝9．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．（1）求证：AC⊥BD；（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）92【分析】（1）证AB＝CB，得▱ABCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；（2）由菱形的性质得OA＝OC=12AC＝8，AC⊥BD，再由勾股定理得OB＝6，然后证△BOE∽△AOB，得【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形，∴OA＝OC=12AC＝8，AC⊥∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∴OB=A∵BE⊥AB，∴∠EBA＝90°，∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BEO＝∠ABO，∴△BOE∽△AOB，∴OEOB即OE6解得：OE=9即OE的长为9215．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；（2）连接AD，若AD=52，CB【答案】（1）见解析；（2）32．【分析】（1）小星：连接BE，根据平行四边的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE＝BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据矩形性质得到BE⊥CD；小红：连接BE，CE，根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质定理即可得到论；（2）连接AD，设CB＝2k，AC＝3k，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：小星：连接BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴∠EBC＝90°，∴BE⊥CD；小红：连接CE，BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AB＝DE，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴AB＝CE，∴DE＝CE；（2）∵CBAC∴设CB＝2k，AC＝3k，∴CD＝4k，∵AC2+DC2＝AD2，∴（3k）2+（4k）2＝（52）2，∴k=2∴AC＝32．一．选择题（共3小题）1．（2020•广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据多边形的内角和公