人教版八年级数学上册教案第十五章分式

人教版八年级数学上册教案第十五章分式一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“分式”.1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,“数与式”是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,现阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.“数与式”的教学:教师应该把握“数与式”的整体性,一方面,通过负数、有理数和实数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表述,进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义,会进行实数的运算;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十五章“分式”,本章包括三个小节:15.1分式;15.2分式的运算;15.3分式方程.“数与式”主题通过从计算物体个数的活动中抽象出整数的概念,从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念,这是一种从实物到数的抽象;为更好地反映这个一般规律,在研究整数和分数的过程中,又抽象出整式和分式的概念,这是一种从数到式的抽象.分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系,即相对于分式而言,分数是具体的、特殊的对象,分式是把具体的分数一般化后的抽象形式.本单元强调的是“从具体到抽象,从特殊到一般”的认识事物的一般规律,处处突出类比在本单元学习中的重要作用,在概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等方面,分数与分式均相对应,两者具有一致性,也可以说是数式通性.本单元自始至终重视分式与实际的联系,选择一些适合分式内容又接近学生生活的实际问题展开编写.一方面要体现与研究分数类似,研究分式同样也是实际需要;另一方面以分式为工具,分析、解决实际问题,提高学生把实际问题转化为数学问题的能力,让学生认识到代数式(包含分式)、分式方程是解决现实问题的数学模型,体会数学中的建模思想,进一步培养学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识,这将有助于培养学生的创新精神.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十五章分式,它是“数与代数”中重要的一部分,学生在前面已经学习了整数与整式、一元一次方程、二元一次方程组等知识,初步积累了一定的用字母表示数以及四则混合运算的数学学习经验,特别是对一元一次方程的解法及基本思路已经比较熟悉,因此本单元运用类比的数学思想来展开分式教学,大大降低了学生学习的难度,同时这种“从具体到抽象、由特殊到一般”的认识事物的基本方法,会潜移默化地引导学生养成良好的学习习惯.建立分式方程的模型来解决实际问题是本单元的一个重要任务,能否以分式方程为工具,分析和解决问题是对学生应用意识和模型观念的一个重要考量,也是教学的关键.虽然分式整章的学习接近学生的最近发展区,但利用分式方程解决问题的特殊性,对学生来说仍是一个难点,分式方程化整式方程的基本思路是基础,对解出的未知数进行检验确认是必不可少的步骤,所以在此体会解分式方程的基本思路是非常自然、合理的,这对学生认识水平的提高,知识体系的构建是不可缺少的.四、单元学习目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基础上发展学生的抽象能力.2.能通过类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,并利用分式的基本性质进行约分和通分,提高学生的知识类比和迁移能力,发展学生的推理能力.3.通过类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算法则,能进行简单的分式加、减、乘、除运算,逐步提高学生的运算能力.4.结合分式的运算,将指数的范围从正整数扩大到全体整数,了解整数指数幂的运算性质;能用科学记数法表示小于1的正数,发展学生的抽象能力、运算能力和模型观念.5.掌握可化分式方程为一元一次方程的解法,体会解分式方程过程中的化归思想,发展学生的运算能力和推理能力.6.经历利用分式方程解决实际问题的过程,进一步体会方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要模型,培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.15.1.1从分数到分式课时目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基础上发展学生的抽象能力.2.借助从特殊到一般的的研究思路,类比分数,讨论要使分式有意义时分母应满足的条件,发展学生的推理能力.3.通过经历类比分数学习分式的过程,培养学生与人合作的意识,进一步体会类比转化、合情推理、抽象概括等学习方式,发展学生的抽象能力和推理意识.学习重点理解分式的概念,分式有意义的条件.学习难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.课时活动设计回顾引入根据问题,填空:(1)长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽为

107cm;长方形的面积为S,长为a,宽为

Sa(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中,水面高度为

20033cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为

VS设计意图:以学生学过的分数引入分式,有利于体现知识的必然联系和循序渐进的原则;通过类比让学生解决实际问题,为新知的构建奠定基础.

探究新知探究1分式的概念问题1:请同学们看一下这四个式子,它们有什么相同点和不同点?107,Sa,20033学生先思考,再小组交流,教师请两个学生分别说出相同点和不同点.解:相同点:这些式子有同样的形式,都是AB(即A÷B)的形式不同点:107,20033分子和分母为整数,Sa,追问:Sa,VS和9030+v学生小组交流、讨论得出结论.解:相同点为这些式子有同样的形式,都是AB(即A÷B)的形式,且分母都含有字母不同点为9030+v,6030-v分子不含字母,S教师说明这四个式子均为分式,并引导学生类比分数得到分式的概念:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.分式AB中,A叫做分子,B问题2:下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?5x-7,3x2-1,b-32a+1,m(n+p)7,-5,x2解:整式:5x-7,3x2-1,-5;分式:b-32a+1,m(n+p)7,x2设计意图:通过分析问题加深学生对分式的概念的理解,从而揭示分式的概念的本质.让学生在众多的代数式中区分出整式与分式,意在加深学生对分式的概念的本质的理解,进一步巩固分式的概念.

探究新知探究2分式有意义和值为0的条件问题1:我们知道,要使分数有意义,分数中的分母不能为0,那么要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件?学生先思考,再小组交流,类比分数有意义的条件得到分式有意义的条件.结论:分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式AB才有意义问题2:计算:03,05,解:000追问:通过上述计算,你发现了什么?解:当分子为0,分母不为0时,分数的值为0.问题3:计算:0x2+1,0x+1(x≠-1),解:000追问:通过上述计算,你发现了什么?解:当分子为0,分母不为0时,分式的值为0.结论:分子为0,分母不为0,分式值为0.设计意图:掌握使分式有意义和值为0的条件,有利于学生更好地了解分式的概念.典例精讲例下列分式中的字母满足什么条件时,分式有意义?(1)23x;(2)1x-1;(3)15-3解:(1)x≠0.(2)x≠1.(3)b≠53.(4)x≠设计意图:让学生通过类比分数有意义的条件是分母不能为0,得到分式有意义的条件,自己发现问题、解决问题并找到关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能让学生有效地认识新知,消化新知.巩固训练1.当x为何值时,下列分式的值为0?(1)2x2x解:(1)x=0.(2)x=-4.2.当x为何值时下列分式无意义?(1)x-5x+5解:(1)x=-5.(2)x=-3或1.设计意图:通过巩固训练,加深学生对分式有意义的条件的理解,并能正确地求出分式有意义的条件;同时让学生明白分式的值为0、有意义、无意义时必须同时满足的条件,区别“或”与“且”的用法.另外,设计“分式有意义”的变式题,意在让学生在题目具有挑战性的情况下,通过小组研究、讨论得出答案,培养学生小组合作、探究的意识以及应用所学知识解决问题的能力,在获得正确结果的情况下,增强学生学习数学知识的信心.课堂小结1.分式的概念:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.分式AB中,A叫做分子,B2.分母不为0,分式有意义;分母为0,分式无意义.3.分子为0,分母不为0,分式值为0.4.谈谈今天的收获?设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第128,129页练习第1,2,3题.2.七彩作业.

15.1.1从分数到分式一、分式的定义.二、分式有意义的条件:三、例题讲解.四、课堂评价.教学反思

15.1.2分式的基本性质第1课时分式的基本性质与约分课时目标1.通过类比分数的基本性质归纳得出分式的基本性质,体验类比转化的思想方法,发展学生的推理能力.2.通过类比分数的约分得出分式的约分,从中体会“数式通性”和类比的思想方法,发展学生的抽象能力.3.经历运用分式的基本性质进行约分的过程,体会运算的原理以及最简分式的内涵,培养学生的运算意识,发展学生的运算能力.学习重点理解并掌握分式的基本性质.学习难点能运用分式的基本性质进行分式的约分.课时活动设计情境引入有位老爷爷把一块地分给三个儿子,老大分到了这块地的13,老二分到了这块地的26,老三分到了这块地的412.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就争吵起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他们讲了几句话,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗?13,2设计意图:创设故事情境导入新课,激发了学生学习本课的好奇心,同时运用分数的基本性质进行分数变形,复习分数的基本性质,为类比学习分式的基本性质作铺垫.探究新知探究1分式的基本性质师生活动:以提问的方式回顾分数的基本性质,教师黑板上板书.由分数的基本性质可知,如果数c≠0,那么23=2c3c,一般地,对于任意一个分数ab,有ab=a·cb·c,ab=a÷cb问题1:类比分数的基本性质,你能猜想分式有什么性质吗?学生独立思考,小组讨论,教师引导学生进行归纳总结:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为AB=A·CB·C,AB=A÷CB÷探究2分式的约分与最简分式问题2:联想分数的约分,你能想出如何对分式进行约分吗?师生活动:教师在黑板上板书:4c5c=4教师引导学生归纳出约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.教师在黑板上板书:4c5bc=4教师引导学生得出结论:这次约分后是分式的形式,且分子与分母没有公因式.教师归纳出最简分式的概念:分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.设计意图:给学生独立思考、自主探究的机会,并在研究思路上加以引导,同时渗透类比的思想方法.这样做一方面可以提高学生对分式基本性质的认识,另一方面可通过师生归纳,进一步加深学生对分式基本性质的理解.典例精讲例约分:(1)-25a2bc315ab2解:(1)原式=-25a2b(2)原式=(x+3)(x(3)原式=6(x-y)设计意图:通过例题,进一步巩固分式的基本性质的应用条件、基本方法和需要注意的问题,使学生明确:1.找出分子和分母的公因式是约分的第一步,同时公因式应找全,约分要彻底;2.分子与分母没有公因式的分式是最简分式,使学生加深对最简分式的理解.巩固训练1.下列各式中哪一个是最简分式(D)A.x2-y2x2+y22.填空:(1)x-yx(2)c-ba=((3)x3xy=(x2(4)1ab=(a)a2b3.约分:(1)a2bab2;(2)x解:(1)原式=a2b÷((2)原式=(x+4)(x(3)原式=5(x-y)设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学知识,进一步加深学生对分式基本性质的理解.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.3.把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.4.分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第132页练习第1题,第133页习题15.1第3,5,6题.2.七彩作业.

第1课时分式的基本性质与约分一、分式的基本性质.二、分式的变号法则.三、分式的约分→最简分式.四、例题讲解.五、课堂评价.教学反思

第2课时分式的通分课时目标1.通过类比分数的通分得出分式的通分,从中体会“数式通性”和类比的思想方法,发展学生的抽象能力.2.经历用观察、类比、联想的方法探索分式通分方法的过程,体会分式通分运算的原理,培养学生的运算意识.3.理解最简公分母的内涵,能准确确定分式的最简公分母,熟练进行分式的通分.学习重点能运用分式的基本性质进行分式的通分.学习难点分式通分时最简公分母的确定.课时活动设计

回顾引入问题:1.把分数78和512通分:78=

2124,5122.利用分式的基本性质,把12ab和2-b3a2化成分母都是解:12ab=1·(3a)2ab设计意图:让学生回忆分数的通分和分式的基本性质,并利用它解决问题,唤醒学生的知识储备,为分式通分的概念的自然引入作好铺垫.同时教学中要贯彻以学生为本的指导思想,通过具体问题,引导学生采用类比推理、合作探究等方法来探究分式通分的概念.探究新知问题:联想分数的通分,由此你能想出如何对分式进行通分吗?师生活动:通过教学活动1中具体的例子,教师引导学生回忆前面学过的分数的通分,再利用类比的方法得出分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.为通分,要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.在教学过程中,教师要引导学生通过观察、思考、类比等方法来总结归纳确定最简公分母的一般步骤:(1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最小公倍数;(2)找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式都要选取;(3)找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式中指数最大的,这样取出的因式的积,就是最简公分母.设计意图:以此活动激活学生原有的知识体系,充分体现学生的学习是在原有知识的基础上自我生成的一个过程,有利于让学生更好地掌握类比的学习方法.

典例精讲例找出下列各组分式的最简公分母并通分:(1)32a2b与a-ba解:(1)最简公分母是2a2b2c,32a2b=a-bab2(2)最简公分母是(x-5)(x+5),2xx-5=23xx+5=3设计意图:通过例题,使学生能够准确确定分式的最简公分母,熟练进行分式的通分,提高学生的教学应用能力.巩固训练指出下列分式的最简公分母并通分:(1)26a3bc与a-215a2b2d;解:(1)最简公分母:15a3b2cd,26a3bc=13a-215a2b2d(2)最简公分母:x(x+2)2,x-2x2+2x=x-2x(x-1(x+2)2(3)最简公分母:(a+1)2(a-1),a-1a2+2a+1=a-1(a6a2-1=6·(a设计意图:通过巩固训练,一是使学生注意当分母是多项式时,把分母分解因式后,再确定最简公分母;二是通过解决题目的过程,让学生反思解决问题的方法和结论,形成批判性思维和发散性思维,提高学生的总结概括能力和运算能力.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.3.最简公分母的确定:①找系数;②找字母;③找指数.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第132页练习第2题,第133页习题15.1第7题.2.七彩作业.第2课时分式的通分一、分式的通分.二、最简公分母的确定:最简公分母1.三、例题讲解.四、课堂评价.

教学反思

15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除课时目标1.通过类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则,从中体会“数式通性”和类比转化的思想方法,发展学生的抽象能力.2.使学生经历分式的乘除运算规律的发现过程,培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的意识,进一步提高学生的运算能力.3.通过运用分式的乘除法法则进行运算,解决一些与分式乘除法有关的实际问题,使学生养成理论联系实际的习惯,发展实践能力,培养应用意识.学习重点运用分式的乘除法法则进行运算.学习难点分子、分母为多项式的分式的乘除运算.课时活动设计回顾引入大家之前学习过分数的乘除法法则,现在是否还有印象?师生活动:教师在黑板列出2道分数乘除法的题目,并请两位学生上台板书.计算:(1)23×56;(2)23解:(1)23×56=2×53×6=(2)23÷56=23×65=2×63×5设计意图:通过回顾分数的乘除法法则引入新课,为学习分式的乘除法法则作铺垫.

探究新知问题1:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,高为h,当容器内的水占容积的mn时,水高多少解:水高=h×mn=Vab×mn问题2:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?解:倍数=大拖拉机的工作效率小拖拉机的工作效率=am÷bn=am×问题3:观察下列运算.23×45=2×43×5;57×29=5×27×9;23÷45=23×5猜一猜:ab×dc=?ba解:ab×dc=a×db×c,ba÷类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则吗?师生活动:通过教学活动1中的具体例子,引导学生回忆前面学过的分数的乘除法法则,利用类比的方法得出分式的乘除法法则.乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示为:ab·cd=a·cb·d,ab÷设计意图:以此活动激活学生原有的知识体系,充分体现学生的学习是在原有知识的基础上自我生成的一个过程,有利于让学生更好地掌握类比的学习方法.

典例精讲例1计算:(1)4x3y·y2x3;解:(1)原式=4xy6x3(2)原式=ab32c2·4例2计算:(1)a2-4a+4a2-2a+1解:(1)原式=(a-2=(=a-2(2)原式=1(7+m)(7-m)例3如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2,单位面积产量是500a2-1“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2,单位面积产量是500(a-1∵a>1,∴(a-1)2>0,a2-1>0.∵(a-1)2-(a2-1)=2-2a<0,∴(a-1)2<a2-1.∴500a2-1所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高.(2)500(a-1)2÷500a2-1=所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a+1a设计意图:通过例题,使学生掌握分式的乘除法法则,引导学生用分式的乘除法解决生活中的实际问题,提高“用数学”的意识,让学生感受到学以致用,体会到能够完整解决问题的喜悦,同时训练学生的书面表达能力,培养学生解决问题的能力.巩固训练1.计算:(1)3a5b·2b6a2解:(1)原式=3a·2b(2)原式=2x5mn×4xy=2.计算:(1)a-b2ab·3a2b解:(1)原式=(a-b(2)原式=9y2-x2x2+2x设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学知识,帮助学生熟练掌握分式的乘除法法则.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的乘法法则:ab·cd=3.分式的除法法则:ab÷cd=ab·d设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第138页练习第2,3题,第146页习题15.2第1,2题.2.七彩作业.第1课时分式的乘除一、分式的乘除法法则:分式的乘除乘法法则二、例题讲解.注意:1.运用法则时注意符号的变化;2.因式分解在分式乘除法中的应用;3.结果要化成最简分式或整式.三、课堂评价.教学反思

第2课时分式的乘方及乘除混合运算课时目标1.让学生经历分式的乘方法则的生成过程,培养学生自主探索、自主学习、交流合作的意识,提高学生的总结归纳能力.2.运用分式的乘除法法则、分式的乘方法则解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的运算能力.3.类比分数的乘除法、乘方混合运算,进行分式的乘除法、乘方混合运算,让学生体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力.学习重点会进行分式的乘方运算,分式的乘除法、乘方混合运算.学习难点分式的乘除法、乘方混合运算以及运算中符号的确定.课时活动设计回顾引入引导学生用自己的语言描述分式的乘除法法则.教师在黑板上列出分式的乘除法法则:分式的乘法法则:ab·cd=分式的除法法则:ab÷cd=设计意图:通过回顾分式的乘除法法则,来确认学生是否掌握了分式的乘法、除法运算,为本节课的学习打好基础.探究新知问题1:计算:2x5x-3÷解:原式=2x5x-3·25x问题2:计算下列各题:(1)ab2;(2)ab3;(3)ab4;(4)解:(1)原式=ab·ab=a·(2)原式=ab·ab·ab=a(3)原式=ab·ab·ab·ab=师生活动:教师引导学生观察前三个小问中等式两边有怎样的联系,再根据乘方的意义和分式乘法的法则推导出分式乘方的运算法则:abn=ab×ab×…×abn个=a×教师引导学生用文字描述分式乘方的运算法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.设计意图:先引导学生观察若干特例,再归纳出分式乘方的运算法则.在这个过程中学生可以通过比较、联想、探索,从直观中归纳出理性的规律,促使学生学习从特殊到一般的认识事物的思维方法.典例精讲例计算:(1)-2a2b3c2;(2)解:(1)原式=(-2a2b)2(2)原式=a6b3-c3d9÷2ad3·c24设计意图:引导学生回忆前面学过的分数的乘除法、乘方混合运算,利用类比的方法进行分式的乘除法、乘方混合运算,体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,提高学生的运算能力.巩固训练1.计算:(1)2x2-3y2·-5y6x÷10y(3)-x2y2·解:(1)原式=2x2-3y2·-5(2)原式=(a+1)(a-1)(a-2(3)原式=x4y2·-y6x2.先化简,再求值:a-1a+2·a2-4a2-2a+1÷1解:原式=a-1a+2·(a+2)(a-2)(a-1)2·(a+1)(设计意图:通过巩固训练,让学生自主探索、充分交流,在运算的过程中使学生掌握基础知识、基本的运算方法,体会运算法则和运算顺序,内化自身的运算认知,在循序渐进的运算中,提高自己的运算能力,同时通过具体的解题步骤,让学生感受到数学的严谨性,规范解题步骤和书写格式.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式乘方的运算法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.3.分式的乘除混合运算.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第139页练习第1,2题,第146页习题15.2第3题.2.七彩作业.第2课时分式的乘方及乘除混合运算一、分式的乘除法运算.分式的乘除法运算归根结底是乘法运算.二、分式的乘方:abn=an三、例题讲解.四、课堂评价.教学反思

15.2.2分式的加减第1课时分式的加减课时目标1.让学生经历分式的加减法法则的生成过程,培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的意识,提高学生知识的类比迁移能力.2.运用分式的加减法法则解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的运算能力.3.类比分数的加减法运算,进行分式的加减法运算,让学生体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力.学习重点运用分式的加减运算法则进行运算.学习难点异分母分式的加减运算.课时活动设计情境引入甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?教师引导分析,学生思考、交流.解:甲工程队一天完成这项工程的1n,乙工程队一天完成这项工程的1n+3,设计意图:通过具体问题情境导入新课,让学生感受到分式的加减运算是由实际需要产生的,激发学生的学习兴趣,提高学生的学习效率.探究新知问题1:2009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位:km2)分别是S1,S2,S3,2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了多少?学生小组讨论,选取两名学生分别列出2010年、2011年的森林面积增长率:解:2010年的森林面积增长率是S2-S1根据2010年、2011年的森林面积增长率,得出结论:解:2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了S3-S教学中讨论这两个问题时,重点放在列出算式,为引出分式的加减法法则做准备.问题2:请同学们先填空,再观察下列分数加减运算的过程:15+25=35,15-2512+13=36+26=56,12-13追问:你能根据上面的式子,类比分数加减法法则,得出分式的加减法法则吗?师生活动:学生先观察分数加减运算的过程,然后选一名学生用符号总结前两个分数加减运算的规律:ac±bc=a±bc;再选一名学生用符号总结后两个分数加减运算的规律:ab±cd=教师引导学生用文字表述分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.设计意图:从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.类比同分母与异分母分数的加减,学生很容易归纳出同分母分式与异分母分式加减的方法,培养学生交流合作能力和创新实践能力.

典例精讲例计算:(1)m+nn+m-nn;(2)a2a-解:(1)原式=(m+n(2)原式=a2-b2a-(3)原式=3x+3yx2设计意图:设置一组同分母分式的加减法运算,目的是让学生掌握同分母分式加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,同时内化运算法则,提升运算能力.巩固训练1.计算:(1)a2b2ab-ab-b2ab-a2;(2)a解:(1)原式=ab-b(a-b)a((2)原式=a2+b(3)原式=2p-3q2.观察下列分式的加减的运算过程是否正确,如果不正确,请把正确的运算过程写下来.(1)a2+b2ab(2)x2x-1-x-1=x2x-1-解:(1)不正确,a2+b2ab-a2-(2)不正确,x2x-1-x-1=x2x-1-x+1设计意图:通过设置巩固训练,巩固本节课所学知识,及时查漏补缺.

课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第141页练习第1,2题,第146页习题15.2第4,5题.2.七彩作业.第1课时分式的加减一、分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,用式子表示为ac±bc=异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减,用式子表示为ab±cd=adbd±bc二、例题讲解:(1)分式加减运算的结果要化成最简分式或整式;(2)同分母分式相加减时要注意:“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减,在这里要注意分数线的括号作用;(3)异分母分式加减法的一般步骤:①通分;②加减;③合并;④约分;(4)整式可以看成是分母为1的分式.三、课堂评价.教学反思

第2课时分式的混合运算课时目标1.通过类比分数的混合运算顺序,归纳得出分式的混合运算顺序,体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则和运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力.2.通过运用分式的混合运算解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的实践能力.3.通过使学生经历分式混合运算的过程,培养学生积极思考、自主探索、合作交流和辨析提高的学习意识,提高学生的运算能力.学习重点熟练地进行分式的混合运算.学习难点熟练地进行分式的混合运算及化简求值问题.课时活动设计情境引入有一财主死后,他的两个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图,看到上面有一段文字记录:计算x2-2x+1x2-1÷老大拿出纸笔一算,一气之下将藏宝图一把扔了,老二连忙捡起,经过仔细思考算出后,生气地一把火烧掉了它.财主忘记了写x的值,两个儿子是怎么计算出宝物的情况的呢?财主到底留下了多少宝物呢?通过本节课的学习,你就会明白其中的道理了.设计意图:设置故事情境引入新课,让枯燥的计算问题变得更具吸引力,调动起学生学习的积极性,激发他们的求知欲.探究新知问题1:计算:x2-4x解:原式=(x-2)2(x-2)(x+2)教师引导学生类比分数的混合运算顺序,总结分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的.教师针对这类题目给学生提供以下建议:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算更简便;(2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解;(3)注意括号的“添”或“去”;(4)结果要化为最简分式或整式.设计意图:从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.学生通过类比、思考,激活原有知识,让学生感悟自己的学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.典例精讲例计算:(1)2ab2·1a-b-ab÷b(3)x+2x2解:(1)原式=4a2b2·1a-b-ab·4=4a2-4a2(2)原式=m+2+52-m·2=(3-m)(3+=-2(m+3)=-2m-6.(3)原式=x+2x=(x+2)(=x2-4-x设计意图:设置这一组分式的混合运算的例题,目的是让学生进一步掌握分式混合运算时的运算顺序,培养学生良好的运算习惯,让学生在运算的过程中体会运算顺序和各项法则,内化自身的运算认知,在循序渐进的运算中,提高自己的运算能力.巩固训练1.计算:(1)x2x-1(2)1-2x+1(3)2ab(a(4)1x-y解:(1)原式=x2x-1-(x+1)((2)原式=x+1x+1-2x+1·(3)原式=2ab-2bc(a(4)原式=x+y=2x(x+y2.先化简再求值:1x+1-1x2-1·x2-2解:原式=1x+1-1=1x+1-x-1(x当x=2-1时,原式=2(2-1+1)2=设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学知识,帮助学生更好地掌握分式的乘除法法则,熟练地进行分式的混合运算.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的.3.进行分式的混合运算时注意的问题:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算更简便;(2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解;(3)注意括号的“添”或“去”;(4)结果要化为最简分式或整式.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第142页练习第2题,第146页习题15.2第6题.2.七彩作业.第2课时分式的混合运算一、分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的.二、例题讲解:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算简便;(2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解;(3)注意括号的“添”或“去”;(4)结果要化为最简分式或整式.三、课堂评价.教学反思

15.2.3整数指数幂第1课时整数指数幂的运算性质课时目标1.让学生经历负整数指数幂运算性质的得出过程,提高学生归纳、类比和抽象的能力,培养学生的创新意识.2.通过经历整数指数幂的获得过程,让学生感受到数学知识间合理的内在逻辑,培养学生的合情推理,提高学生的推理能力.3.让学生在运用整数指数幂的运算性质进行计算的过程中逐步内化自身的认知,提高学生的运算能力.学习重点掌握整数指数幂的运算性质.学习难点负整数指数的性质的理解和应用.课时活动设计复习回顾我们知道,当n是正整数时,an=a·回忆正整数指数幂的运算性质:(1)am·an=am+n(m,n是正整数);

(2)am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,并且m>n);

(3)(am)n=amn(m,n是正整数);

(4)(ab)n=anbn(n是正整数);

(5)abn=

anbn(6)a0=1(a≠0).

am中的指数m可以是负整数吗?如果可以,那么负整数指数幂am表示什么?设计意图:引导学生回忆正整数指数幂的运算性质,温故而知新,唤醒学生已有的知识体系,通过复习正整数指数幂和0指数幂的性质,引入负整数指数幂,为新知识的合理介入指明了方向,有利于学生知识的完整构建,为本节课的学习作铺垫.探究新知用正整数指数幂的运算性质(2)(将m>n这一条件去掉)和分式的约分两种方式计算52÷55,并观察两种方式的计算结果,你能有什么发现?学生自己独立完成计算,分小组交流讨论,教师给出完整的计算过程并总结.52÷55=52-5=5-3,52÷55=5255=153.观察这两个式子可以发现学生通过上面的内容可以得到am÷an=am-n这条性质也适用于像52÷55这样的情形.一般地,当n是正整数时,a-n=1an(a≠0).这就是说,a-n(a≠0)是an引入负整数指数和0指数后,am·an=am+n(m,n是正整数)这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形?教师通过以下计算过程引导学生发现规律,并进行总结.a3·a-5=a3a5=1a2=a-2=a3+(-5),即a3·aa-3·a-5=1a3·1a5=1a8=a-8=a(-3)+(-5),即a-3·a0·a-5=1·1a5=1a5=a-5=a0+(-5),即a0·a-5归纳:1.am·an=am+n这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用;2.随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数,前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.设计意图:按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程,让学生类比发现,自己总结结论,实现学生主动参与、探究新知识的目的,从而培养学生归纳、类比和抽象的能力.典例精讲例计算:(1)a-2÷a5;(2)b3a2-2;(3)(a-1b2)3;(4)a-2b2·(a2b解:(1)a-2÷a5=a-2-5=a-7=1a(2)b3a2-2=b-6a-4=(3)(a-1b2)3=a-3b6=b6(4)a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8=b8提醒:(1)解题时应直接运用这些性质,而不要急于转化为分式形式;(2)整数指数幂的运算性质也可以逆向进行;(3)通常计算的最后结果要写成分式的形式.设计意图:这是一组直接运用整数指数幂的运算性质进行计算的题目,通过例题使学生掌握指数由正整数拓展到整数后的新情形,熟练使用运算方法,掌握运算技能,提高运算能力.归纳总结根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,am÷an=am-n,am·a-n=am+(-n)=am-n,因此am÷an=am·a-n,即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法am·a-n,特别地,ab=a÷b=a·b-1,所以abn=(a·b-1)n,即商的乘方abn可以转化为积的乘方(a·b-1)n(1)am÷an=am+n(m,n是整数);(2)(am)n=amn(m,n是整数);(3)(ab)n=anbn(n是整数).设计意图:类比负数的引入可以使减法转化为加法,得到负指数幂的引入可以使幂的除法转化为幂的乘法、商可以转化为积这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来,将整数指数幂的运算性质进行总结.课堂8分钟.1.教材第145页练习第1,2题,第147页习题15.2第7题.2.七彩作业.第1课时整数指数幂的运算性质一、正整数指数幂的运算性质.二、负整数指数幂的运算性质.三、例题讲解.四、整数指数幂的运算性质.教学反思

第2课时科学记数法课时目标1.让学生经历小于1的正数的科学记数的获得过程,感受数学知识之间的内在联系,提高学生的归纳、类比和抽象能力.2.通过对小于1的正数的科学记数的过程,让学生感受到数学知识的本质所在,培养学生观察、分析和总结的能力.学习重点会用科学记数法表示小于1的正数.学习难点知道用科学记数法表示小于1的正数时,a×10-n形式中n的取值与小数中左起第一个非0数字前0的个数的关系.课时活动设计回顾引入1.用科学记数法表示745000,2930000.2.大于10的数用a×10n表示时,a,n应满足什么条件?3.负整数指数幂的公式是什么?学生自主交流,讨论.思考:我们已经学会了用科学记数法表示一些较大的数,你能用科学记数法表示较小的数吗?设计意图:引导学生完成上述问题,温故而知新,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.同时,提出新的问题,为新知识的学习明确了方向.探究新知1.填空:10-1=110=0.1;10-2=1102=0.01;10-3=110310-n=

110n=

反过来:0.1=110=1×10-1;0.01=1102=1×10-2;0.001=110=110n=1×10-n2.解决问题:(1)0.000025=2.5×

1105=2.5×10(2)0.0000000257=2.57×

1108=2.57×10运用由特殊到一般和类比的数学思想归纳出=10-n,让学生看到可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些小于1的正数,即将它们表示成a×10-n的形式,其中n是正整数,1≤a<10.设计意图:让学生通过这种亲自参与、探索研究数学知识获得的过程,感受数学知识之间的密切联系,深化自己的认知,从而构建科学记数法的完整知识体系.

典例精讲例纳米(nm)是非常小的长度单位,1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?解:1mm=10-3m,1nm=10-9m.(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018.所以1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.1018是一个非常大的数,它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍.设计意图:运用数学知识解决实际问题是学习数学的重要目标,让学生在学习知识的过程中解决实际问题,体会数学的“学以致用”.巩固训练计算(结果用科学记数法表示):(1)(3×10-5)×(5×10-3);(2)(3×10-15)÷(5×10-4);(3)(1.5×10-16)×(-1.2×10-3); (4)(-1.8×10-10)÷(9×108).解:(1)1.5×10-7;(2)6×10-12;(3)-1.8×10-19;(4)-2×10-19.设计意图:设置这类计算题,不仅是为了巩固本节课的所学知识,还为了通过做题让学生意识到用科学记数法表示数能使运算更简便.课堂小结1.如何用科学记数法表示大于10的数?2.如何用科学记数法表示小于1的正数?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固新的知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.

1.教材第145页练习第1,2题,第147页习题15.2第8,9题.2.七彩作业.第2课时科学记数法一、大于10的数的科学记数:N=a×10n(其中n是正整数,1≤a<10).二、小于1的正数的科学记数:N=a×10-n(其中n是正整数,1≤a<10).三、例题讲解.教学反思

第1课时分式方程课时目标1.让学生经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.2.通过探究分式方程解法的过程,让学生感受增根产生的合理性及验根的必要性,提升学生思维的深度认知.3.通过使学生经历运用所学知识解分式方程的过程,让学生体会化归的数学思想和数学知识之间的内在联系,进一步提高学生的运算能力.学习重点分式方程的解法.学习难点理解解分式方程时可能无解的原因.课时活动设计新知引入一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它以最大航速沿江顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v千米/时,(1)轮船顺流航行速度为30+v千米/时,逆流航行速度为30-v千米/时;

(2)顺流航行90千米的时间为

9030+v小时,逆流航行60千米的时间为

6030-(3)根据题意可列方程为

9030+v=60想一想,像这样的方程属于什么方程,应该怎样解呢?设计意图:通过经历实际问题→列分式方程,让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题和解决问题的能力,培养应用意识,激发学生的探究欲与学习热情,为探索分式方程的解法做准备.探究新知探究1分式方程的概念问题1:什么是方程?我们学习过哪些方程?它们都是怎么定义的?学生代表发言,教师总结.教师引导学生通过类比的方法得到分式方程的概念.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知数.问题2:下列关于x的方程中哪些是分式方程?(1)1x=5;(2)x5=1;(3)x2-x+(4)2x+2-1x;(5)4x+3y=7;(6)12学生独立完成.探究2分式方程的解法1.解方程:2x-13-3x请两名学生上台板演,教师给出正确的解答过程.解:去分母,得2(2x-1)-3(3x-1)=11.去括号,得4x-2-9x+3=11.移项,得4x-9x=11+2-3.合并同类项,得-5x=10.系数化为1,得x=-2.2.解分式方程:9030+v=分析:先将分式方程转化为整式方程.解:9030+v 去分母,两边同乘(30+v)(30-v)90(30-v)=60(30+v) 去括号2700-90v=1800+60v 移项-90v-60v=1800-2700 合并同类项-150v=-900 系数化为1v=6思考:v=6是原分式方程的解吗?将v=6代入原方程中,左边=52=右边,因此v=6是原分式方程的解总结:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.探究3增根解方程:1x-5=解:方程两边同乘最简公分母(x-5)(x+5),得整式方程x+5=10.解得x=5.将x=5代入原分式方程检验,分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.所以这个分式方程无解.思考:上面两个分式方程中,为什么9030+v=6030-v①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1x-5=学生分小组进行交流,学生代表发言,教师总结.总结:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.设计意图:引导学生观察、反思、对比方程①②的解法,得出解分式方程时检验的必要性和具体检验方法.让学生经历这样的探究过程,促使学生深刻地领悟数学知识、数学方法产生的合理性,有利于提升学生的思维能力.典例精讲例解方程:(1)2x-3=3x;(2)x解:(1)方程两边同乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.检验:当x=9时,x(x-3)≠0.所以,原分式方程的解为x=9.(2)方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以,原分式方程无解.设计意图:通过例题,使学生熟悉解分式方程的步骤以及检验方法,规范解题步骤及书写格式,加深学生对分式方程解法的认识.课堂小结1.分式方程的概念是什么?2.怎样解分式方程?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固所学知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第150页,152页练习,第154页习题15.3第1题.2.七彩作业.第1课时分式方程一、分式方程的概念.二、解分式方程的基本思想——化归.三、解分式方程的一般步骤:1.化——化分式方程为整式方程(去分母);2.解——解整式方程;3.检验——检验所得整式方程的解是否为原分式方程的解.四、例题讲解.教学反思

第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题课时目标1.让学生经历用分式方程解决实际问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.3.通过列分式方程解应用题,使学生进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤,体会检验的必要性,渗透方程思想.学习重点会列分式方程解决实际问题.学习难点实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程.课时活动设计回顾旧知1.解分式方程:1x-2+1=2.列方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.

3.常见等量关系式:路程=时间×速度;工作总量=工作效率×工作时间;顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度;利润=售价-进价.设计意图:复习解方程的步骤、列方程解决实际问题的步骤和常见等量关系式,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.探究新知问题:一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同,若水流速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度.分析:设轮船在静水中的速度为x千米/时,则顺水航行的速度为x+3千米/时,逆水航行的速度为x-3千米/时,顺水航行的时间为

40x+3小时,逆水航行的时间为

30x-3小时,根据题意,可得方程

40解:设轮船在静水中的速度为x千米/时,则40x+3=30x-3,检验:当x=21时,(x+3)(x-3)≠0,所以,x=21是原分式方程的解.答:轮船在静水中的速度为21千米/时.对比列整式方程解应用题的步骤,学生交流讨论、教师归纳总结出列分式方程解实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答.设计意图:用同学们熟悉的实际问题引入分式方程的模型,激发学生对本节课学习的兴趣.通过这道实际问题的解决,加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.典例精讲例1两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x.记总工程量为1,根据工程的实际进度,得13+16+方程两边乘6x,得2x+x+3=6x.解得x=1.检验:当x=1时,6x≠0.所以,原分式方程的解为x=1.由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的13,可知乙队的施工速度快例2某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间,列车提速前行驶skm,提速后比提速前多行驶50km,提速前列车的平均速度是多少?解:设提速前这次列车的平均速度为xkm/h,则提速前它行驶skm所用时间为sx提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km所用时间为s+50x根据行驶时间的等量关系,得sx=s方程两边乘x(x+v),得s(x+