艺术生专用2025版高考数学总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例课时冲关

PAGEPAGE1第3节平面对量的数量积与平面对量应用举例1．设向量a，b满意|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5解析：A[由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得a·b＝1.]2．(2024·玉溪市一模)已知a与b的夹角为eq\f(π,3)，a＝(1,1)，|b|＝1，则b在a方向上的投影为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：C[依据题意，a与b的夹角为eq\f(π,3)，且|b|＝1，则b在a方向上的投影|b|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).]3．已知D是△ABC所在平面内一点，且满意(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，则△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形解析：A[(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))，设BC＝a，AC＝b，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．]4．(2024·重庆市模拟)如图，在圆C中，弦AB的长为4，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．8 B．－8C．4 D．－4解析：A[如图所示，在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点；在Rt△ACD中，AD＝eq\f(1,2)AB＝2，可得cosA＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(2,|\o(AC,\s\up6(→))|)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×cosA＝4×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×eq\f(2,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝8.故选A.]5．已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))的最大值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：B[以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝(λ，λ－2)，eq\o(FC,\s\up6(→))＝(1,2)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝3λ－4≤2.所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))的最大值为2.故选B.]6．设向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，满意(a＋b)·(a－b)＝0，则m解析：向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，则a＋b＝(3,2m)，a－b＝(－1,4m)，由(a＋b)·(a－b)＝0，得－3＋8m2＝0，解得m＝±eq\f(\r(6),答案：±eq\f(\r(6),4)7．(2024·内江市一模)已知正方形ABCD的边长为2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝________.解析：正方形ABCD的边长为2，eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4.答案：48．已知a＝(1，λ)，b＝(2,1)，若向量2a＋b与c＝(8,6)共线，则a在b解析：2a＋b＝(4,2λ∵2a＋b与c＝(8,6)共线，∴2λ＋1＝3，即λ∴a·b＝2＋λ＝3，∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)答案：eq\f(3\r(5),5)9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0·a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(5,2).∴λ的值为eq\f(5,2).(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(1×2＋2×－2,\r(22＋－22))＝－eq\f(2,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).10．已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(15,2).(1)求△ABC的面积；(2)若AB＝5，求AD的长．解：(1)∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝－eq\f(15,2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos∠BAC＝－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝－eq\f(15,2)，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝15，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝eq\f(1,2)×15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).(2)法一：由AB＝5得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE.∵BD＝DC,∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3.设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：(2x)2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos∠ABE＝25＋9－15＝19，解得x＝eq\f(\r(19),2)，即AD的长为eq\f(\r(19),2).法二：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49，得BC＝7.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACD)，得sin∠ACD＝eq\f(ABsin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14).∵0°<∠ACD<90°∴cos∠ACD＝eq\r(1－sin2∠ACD)＝eq\f(11,14).在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝9＋eq\f(49,4)－2×3×eq\f(7,2)×eq\f(11,14)＝eq\f(19,4)，解得AD＝eq\f(\r(19),2).法三：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49,