高中数学-基本不等式的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

1.知识与能力目标：通过实例探究过程，体会用基本

不等式求最值问题。

2、过程与方法目标：通过实例探究过程，体会用基

本不等式求最值的三个限制条件：一正、二定、三等。

3、情感与态度目标：通过问题情境的创设，诱发学

生的求知欲；通过规律的推导体会特殊一一般一特殊

的认知规律，发展学生的数学探究能力；通过梯次的

变式训练，培养学生克服困难的意志；通过积极参与

探究活动，培养学生的合作意识及数学表达能力。

学情分析

1、通过前面几节的学习，学生对不等式有了初步的的了解，基本能

建立函数、方程及不等式之间的关系。

2、对基本不等式的前提及等号成立的限制条件是学生面临的主

要问题。

3、具备通过观察、操作并抽象概括等活动求一些函数的最值。

4、本节内容变换灵活，应用广泛，条件有限制，考查了学生转化归

等数学思想，对学生能灵活应用数学知识解决问题的要求较高，是教

育学生学好数学用好数学的好素材。

3.4.2基本不等式的应用评测练习

・、选择题

1.若4>4,则函数y=>+」~;(B)

A.有最大值一6

B.有最小值6

C.有最大值2

D.没有最小值

解析：尸X—4+」~7+422、/(X—4)•」~?+4=6.当且仅当万一时，即X

=5时取得最小值6.

2.设a、6为实数，且a+力=3,则2“+2&的最小值为(B)

A.6B.472

C.2mD.8

解析：2^2^2yfrT1)=2yf2:(=4yl2.

3.已知x,y是正数，且灯=4,则多+未取得最小值时，x的值是(B)

A.1B.2

C.2yf2D.乖

解析：，-+j22yly[^225一2木,止匕时y,即x=y=2.

4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b〈aV物,其全程的平均时速为v,贝MA)

A.a<v<y[ab

B.v=y[ab

C.y[ab<

乙

a+b

D.g2

2q2r—a+62ab2ab

解析：设甲地到乙地距离为s,则。=­=太，<b，・7abV2=a+z?2b

一a+二b

2abi—

=创市<4破

5.若P=71ga•1gb,^=1(lga+lg垃,

Qlg则(B)

A.R<P<QB.P<Q<R

C.Q<P<RD.P<R<Q

解析：・・飞>6>1,Alga>0,lgb>0.

由基本不等式易得产<0,而Big若^=吊WP<Q<R.

二、填空题

6.已知%>0,y>0,lg2v+lg8'=lg2,则的最小值是______.

xoy

解析,：由x>0,y>0,lg2*+lg8''=lg2得2""=2,即*+3尸1,・,+3=小：）

+':"=2+@+擀22+28丹・擀=4,当且仅当x=3y时.取等号.

oyxJy\lxoy

答案：4

7.已知A>0,y>0,3x+4y=5,2孙的最大值为.______.

解析：2%y=|x3xX4j<K^y^）2=|x

225

口案：或

8.不等式尸x（l-3x）（0V1V，的最大值是.

5k1/、1/、/、」「3>+（1-3x）121

解析：:OVxVw，，1—3x>0.，x（l—3x）=鼻（3彳）（1—3x）W目=~X

JJul/J

2__i_

4=l2，

1•答案：TT

1乙

三、解答题

9.已知后*求/U)=*—匕"的最小值.

4X4

,.、5/、AT2—4x+5(X—2)24-1..,1、、[…

解析r：:*》.，・・・*-2>0.•,・〃彳)=------=------------=()-2)+—^22.当且

2x—2x—2x—2

仅当2=」"，即*=3时，等号成立.故当>=3时，/■(x)nin=2.

x—2

10.过点P(L2)的直线/与x轴、y轴的正半轴分别交于力，B两点、,当△4%?的面积

最小时，求直线1的方程.

解析：设力⑶0),8(0,6),则a>0,心0,则/的方程为^+[=1,又・：1过P点,

ab

121

，一+7=1,三角形.的面积S=;;a6.

nb2

i2

由；+4=lna6=Z?+2a当且仅当6=2a,即a=2,6=4时，£打=4.

1的方程为^+3=1,即2x+y—4=0.

观评记录

本节课依据学生实际，遵循新课程理念,

通过“概念复习，导入新课一诱导尝试，探

究新知一巩固练习，深化新知一全课小结，

内化新知”四个活动展示教学流程。

教学设计始终以学生活动为中心，不断

创造出障碍，引领学生进行深度尝试探索。

巩固练习由易到难，让思维在问题解决中成

长，让问题解决在思维中拓展。

本课例题典型，针对基本不等式成立的

三个限制条件，逐一设置陷阱，并逐个探求

突破。在民主和谐的课堂氛围里，既培养了

学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培

养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。

教材分析

本节课是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握

了不等式性质的基础上展开的。作为重要的基本不等式之一,

为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及其应

用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。它在知

识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有

着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值教育的

好素材，所以基本不等式及其应用需要重点研究。

教学设计

基本不等式是高中数学的重要内容，它是研究

函数、几何等内容的重要工具，本课主要分析了用基

本不等式求最值时几个需要注意的问题。围绕“正”、

“定”、“等”要做适当的恒等变形，不能随心所欲乱

用基本不等式。针对学生实际，结合新课标要求，我

设计了如下教学过程：

活动一：要点复习，导入新课

1、什么是基本不等式？

2、基本不等式的常用

变形有哪些？

3、基本不等式成立的三个

限制条件是什么？

【设计意图】：为围绕“正数”、“定值”、“相等”需

进行适当变形做好伏笔。

活动二：诱导尝试探究新知

1、化正型

例1、求函数k2%+：-1(%Y0)的最大值

分析：・.."YO,不符合基本不等式的使用条件,

需要把负数化为正数。

解:%Y0,

-2%A0,—A0

x

-2%+(力2/2%){—£|=20

.t2xH—<-24^2

x

f(x)—2xT-----]<—2*\/2—1

X

当且仅当-2x=-L即x=-也时,取等号.

x2

f(x)的最大值为-2行-1.

特别提醒:如果所求因式都是负数，通常采用添负号

变为正数的处理方法.

2.凑定型

(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.

例2求函数y二—i——pX(X>3)的最小值.

x-3

分析与x的积不为定值，故需变形使积为定值.

x-3

解：,.,x>3,...x-3〉0,----->0.

x-3

，y=x+^—=x-3+^—+322、k-3)・^—+3=2+3=5,

x-3x-3vx-3

当且仅当x-3=」一,即x=4fl寸,Ymin=5.

x-3

【设计意图】学生一开始往往忽略自变量的正负，不

假思索就盲目套用基本不等式。实际上，好多情况都

暗示了变量取正值。一旦没有特别暗示，需分类讨论。

意在培养学生严谨的学风，缜密的数学思维模式。

⑵构造和为定值，利用基本不等式求最值

例3已知。<X<:，求函数y=x(l-3x)的最大值.

分析：X+(1-3x)不是定值,3x+(l-3x)为定值.

解：:0<x<；,1一3x>0.

-、1-八-、13X+1-3X1

/.y—x(l—3x)——*3x(1-3x)«—(Z--------)X2——.

33212

11

当且仅当3x=l-3x，即x=时，y=-.

6max12

合理地拆分转化，构造和为定值，或积为定值，是解

决这类问题的关键。

【设计意图】求和的最小值，需要积为定值；求积的

最大值，需要和为定值。当题目当中仅仅具备“正值”

条件时，需要通过适当拆分、凑项构造和或积为定值,

考查了学生的变形能力。通过实例，让学生能灵活掌

握这两种变形能力。

3.整体代换型

例4已知x〉0,y>0,且2x+y=l,求的最小值.

解：1=2x+y>272x7，

•*-Jxy<—尸，即J—'2\/2.

2V2Vxy

.*.-+->2上22.2加=4也.

xyyxy

即2_+%最小值为4y/2

xy

以上解法正确吗？师生共同分析错误原因后，教师板

书正确解法过程。

解:・・,x,y>0,2x+y=l,

11_11

，一+—=(2x+7)x•(一+一)

xyxy

=3+^+—>3+2J^^=3+2A/2,

Xyy

y_2x\2-V2

当且仅当：=-7即J%=一;一时，等号成立。

y14

2x+j=1y=V2-i

所以原式最小值为3+2Ji.

【设计意图】对于条件最值问题，引导学生利用整体

代换思想，常常采用乘“1”的办法。

活动三：巩固练习，深化新知。

课堂练习

i.下列问题的解法是否正确，如果错误，请指出错

误原因.

求函数y=的值域

函数的值域是［N-)

3

2.已知0<x<e,求函数y=x(3-2x)

的最大值.

1

XH----------

3、X*-1,当X为何值时*+■有最小

值，最小值是多少？

［设计意图］通过三个类型的练习，让学生进一步体

会基本不等式是求最值的有力工具，时刻不忘它成立

时的三个限制条件，当其中一个条件不具备时，应进

行适当的变形，灵活运用基本不等式。同时也是为了

规范解题过程，使学生进一步牢固掌握基本不等式求

最值的几种情况。

活动四：全课小结，内化新知。

(1)自主小结：

①对自己一谈本节课有哪些收获？

②对同桌一谈在学习本节课内容中应注意什

么？

③对老师一谈本节课中还有哪些疑惑？

(2)教师概括小结，重点强调:通过变形、配凑“不

正变正，不定变定，不等变等。”

【设计意图】通过这个环节，学生能真正将所学知

识内化为自己的东西，教师补充小结学生能更深刻

全面掌握本节内容。

效果分析

本节课摆脱了“满堂灌”的传统教法，

通过创设情境，采用引导探究的教学方法,

注重推理能力的培养，特别注意安排学生经

历思考一解答一归纳的完整数学思维过程,

让学生通过对基本不等式应用的学习，自主

探索与合作交流获得新知，结果表明，学生

的积极性较高，课堂上学生不停地动手，动

脑，积极