高中数学排列组合问题的几种基本方法教学文稿

第十章排列、组合和二项定理9/26/2024解排列组合问题的几种基本方法9/26/20241新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)处理问题的原则：1.分组（堆）问题9/26/20242新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞

例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式？

解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：⑴先将四项工程分为三“堆”，有种分法；⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴共有6×6＝36种不同的发包方式.1.分组（堆）问题9/26/20243新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？♀♀♀

♀♀解：分两步进行：♀♀几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：↑

↑

↑

↑

↑↑解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.2.插空法：9/26/20244新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.4.消序法(留空法)解法1：将5个人依次站成一排，有解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为9/26/20246新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?解:如图所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个↑和七个→组成!所以,四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有条不同的路径.4.消序法(留空法)也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有种排法.9/26/20247新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.例5.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.5.剪截法（隔板法）：解：问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有455种.9/26/20248新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.5.剪截法：解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有84种.9/26/20249新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.6.错位法：特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6.编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.9/26/202410新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞7.剔除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.例7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.解：所有这样的直线共有条，其中不过原点的直线有条，∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.9/26/202411新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞BB巩固练习9/26/202412新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞A4.5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）A.6B.12C.72D.144C巩固练习9/26/20241