函数的单调性（第一课时）-2024-2025学年高一数学同步课件（人教A版2019必修一）

第3章函数的概念及其表示3.2.1函数的单调性

人教A版2019必修第一册证明函数单调性3探究函数的单调性1函数单调性的定义2目录教学目标1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.（数学抽象）2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.（逻辑推理）3.会求一些具体函数的单调区间.（数学运算）

情景导入01情景导入泰山作为中国地理文化的象征,以其拔地通天之势屹立在齐鲁大地之上,泰山的美在于它的起伏变化.类似地,作为高中数学的核心,函数的魅力也是如此.今天我们一起来探究函数的起伏变化——函数的单调性.探究函数单调性02概念讲解观察：下面各个函数的图象问题1:函数图象都有什么特征?图一为上升趋势，图二、图三有上升也有下降趋势.问题2:反映了函数的哪些性质？函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质，即反映了函数图象的单调性。概念讲解探究：二次函数f(x)=x2的单调性

概念讲解

函数单调性的定义03

单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，∀x1，x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递增,

区间D为f(x)的单调递增区间.∀x1，x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递减,

区间D为f(x)的单调递减区间.图示概念讲解函数单调性的定义注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.

②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.单调性是局部性质概念讲解

即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；概念辨析

不一定是增函数，如右图x1,x2有“任意性”，不能用特殊值判断函数的单调性.概念辨析练习：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。解：函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。函数f(x)有多个单调区间的，要用“，”或“和”来连接，不能用“∪”或“或”来连接概念讲解一次、二次函数及反比例函数的单调性:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.

概念讲解

证明函数单调性04概念讲解

判断(证明)单调性：函数单调性的应用：概念讲解

由知，

当时，

，即，

当时，

，即，

取值作差变形定号结论概念讲解归纳小结

利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2.(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.(4)结论:根据f(x1