2.3导数的计算课件高二下学期数学北师大版选择性

第二章导数及其应用3导数的计算北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.基础落实·必备知识一遍过知识点1

函数f(x)在x=x0处的导数求解步骤(1)通过自变量在x=x0处的改变量Δx,确定函数值在x0处的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).(2)确定函数y=f(x)从x0到x0+Δx处的平均变化率(3)当Δx趋于0时,得到导数名师点睛函数y=f(x)在点x0处的导数即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.思考辨析导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征?提示

导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)f'(x0)即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.(

)(2)若函数f(x)=x,则f'(1)=f'(2).(

)√√2.求函数y=f(x)=在x=3处的导数f'(3).知识点2

导函数一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数

,那么称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数,有时也将导数记作y'.

f'(x)的值与Δx无关,同时又是关于x的函数

思考辨析你会区分“函数f(x)在点x0处的导数”与“导函数”吗?提示

“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f'(x0)是导函数y=f'(x)在x=x0处的一个函数值.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若y=f(x)=x,则f'(x)=1.(

)(2)若y=f(x)=x2,则f'(x)=2x.(

)(3)已知f'(x)=2x,则f'(3)=6.(

)√√√2.利用导函数的定义求函数f(x)=(2x+1)(3x-1)的导函数.知识点3

基本初等函数的导数公式表

函数导数y=c(c是常数)y'=

y=xα(α是实数)y'=

y=ax(a>0,a≠1)y'=

特别地(ex)'=exy=logax(a>0,a≠1)y'=

特别地(ln

x)'=0αxα-1axlna函数导数y=sin

xy'=

y=cosxy'=

y=tan

xy'=

cosx-sinx思考辨析常数函数的导数为0说明什么?提示

说明常数函数f(x)=c图象上每一点处的切线的斜率都为0,即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若y=sin60°,则y'=cos60°.(

)(2)若f'(x)=sin

x,则f(x)=cosx.(

)××√2.[人教B版教材例题]求曲线y=sinx在(0,sin0)处的切线方程.解

因为y'=cos

x,因此所求切线的斜率为cos

0=1,又因为sin

0=0,因此所求切线方程为y-0=1(x-0),即y=x.重难探究·能力素养速提升探究点一求函数在某一点处的导数【例1】

(1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,且,则f'(x0)=

.

a

(2)利用导数的定义求函数y=f(x)=x3在x=1处的导数.规律方法

用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤

变式训练1已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0.探究点二利用导数公式求函数的导数【例2】

求下列函数的导数:解

(1)y'=0.规律方法

1.若给出的函数解析式符合导数公式,则直接利用公式求导.2.若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导,y=可以写成y=x-4,y=等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.3.要特别注意“与ln

x”“ax与logax”“sin

x与cos

x”的导数区别.变式训练2求下列函数的导数.解

(1)y'=(x12)'=12x11.探究点三利用导数公式解决切线问题【例3】

已知P,Q为抛物线f(x)=x2上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为

.

(1,-4)解析

由抛物线方程,得f'(x)=x,∴kPA=4,kQA=-2.∵P(4,8),Q(-2,2),∴直线PA的方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.直线QA的方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.∴A(1,-4).规律方法

解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用以下三个条件联立方程解决:(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点在曲线上.变式训练3[人教B版教材例题]已知f(x)=,求f'(4)以及曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线的方程.本节要点归纳1.知识清单:(1)求函数在某一点处的导数.(2)利用导数公式求函数的导数.(3)利用导数公式解决切线问题.2.方法归纳:公式变形及数学运算.3.常见误区:未将函数解析式恒等变换而乱用导数公式.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练1819201.[探究点二](多选题)下列结论正确的是(

)AD12345678910111213141516171819202.[探究点二]已知函数f(x)=xα(α是实数),若f'(-1)=-4,则α的值等于(

)A.4 B.-4C.5 D.-5A解析

∵f'(x)=αxα-1,f'(-1)=α(-1)α-1=-4,∴α=4.12345678910111213141516171819203.[探究点三]“以直代曲”是重要的数学思想.具体做法是:在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求sin0.05的近似值,我们可以先构造函数y=sinx,由于0.05与0比较接近,所以求出在x=0处的切线方程为y=x,再把x=0.05代入切线方程,故有sin0.05≈0.05,类比上述方式,则≈(

)A.1.001 B.1.005 C.1.015 D.1.025A12345678910111213141516171819204.[探究点三]曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(

)D解析

因为y'=ex,所以切线的斜率k=e2,所以切线方程为y=e2x-e2,它与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e2),(1,0),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

.12345678910111213141516171819205.[探究点三](多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时,点P的坐标为(

)A.(-1,1) B.(-1,-1)C.(1,1) D.(1,-1)BC解析

y'=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).12345678910111213141516171819206.[探究点三]以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的取值范围是(

)A12345678910111213141516171819207.[探究点一]若指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)满足f'(1)=ln27,则f'(-1)=

.

12345678910111213141516171819208.[探究点一]求函数f(x)=x2+5x在x=3处的导数和它的导函数.12345678910111213141516171819209.[探究点二]求下列函数的导数.1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192010.[探究点二]已知f(x)=cosx,g(x)=x,求满足f'(x)+g'(x)≤0的x的值.解

因为f(x)=cos

x,g(x)=x,所以f'(x)=(cos

x)'=-sin

x,g'(x)=x'=1.由f'(x)+g'(x)≤0,得-sin

x+1≤0,即sin

x≥1,但sin

x∈[-1,1],所以sin

x=1,所以x=2kπ+,k∈Z.1234567891011121314151617181920B级关键能力提升练11.[2024山东日照期末]已知函数f(x)=x2-2,则

=(

)A.-12 B.-9 C.9 D.12D123456789101112131415161718192012.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于(

)A.4 B.-4 C.28 D.-28C解析

∵点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.123456789101112131415161718192013.

已知直线l是曲线y=ex的切线,切点横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为(

)C123456789101112131415161718192014.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为(

)B123456789101112131415161718192015.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于

的值,以下说法正确的是

.(填序号)

①与x0,h都有关;②仅与x0有关而与h无关;③仅与h有关而与x0无关;④与x0,h均无关.②123456789101112131415161718192016.写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)=

.

①f(x1x2)=f(x1)+f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.lnx(答案不唯一)解析

由题意,可写函数f(x)=ln

x,由f(x1x2)=ln(x1x2)=ln

x1+ln

x2=f(x1)+f(x2),即满足①;又由f(x)=ln

x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=