高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：13 抛物线（学生版+解析版）

专题13抛物线

一、单选题

1.(2020•陕西省西安市远东一中高二期末(理))准线方程为>=1的抛物线的标准方程是()

A.x2-2yB.y2=2xC.x2=-4yD.y1=-4x

2.(2019・乐清市知临中学高二期末)抛物线y=2f的焦点坐标为()

A.(O.])B.(0,§)

C.(1,0)D.(1,0)

2

3.(2020.北京高三月考)抛物线X=4y的准线与>轴的交点的坐标为()

A.(0,—)B.(0,—1)C.(0,—2)D.(0,-4)

2

4.(2020•北京市八一中学高三月考)己知抛物线V=4y上一点A的纵坐标为4,则点4到抛物线焦点的

距离为()

A.2B.3C.4D.5

5.(2020•定远县育才学校高二月考(文))已知抛物线尸=2px(p>0)的准线经过点(一1,1〉则抛物线焦

点坐标为()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0.1)

6.(2020•江苏省泰州中学高二开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,且/过点

(-2,3),〃在抛物线。上,若点n1,2),则|肱7|+四区的最小值为

A.2B.3

C.4D.5

7.(2020•湖北省高三月考(理))已知抛物线C：丫2=2外5>0)的准线/与圆“：*-1)2+0-2尸=16相

切，则，=()

A.6B.8C.3D.4

8.(2020.天津高三一模)已知抛物线V=4x与炉=20，(0>0)的焦点间的距离为2,则，的值为()

A.2y/3B.4C.6D.12

9.（2020.陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线C:/=6y的焦点为/直线/与抛物线。交

于AB两点，若4?中点的纵坐标为5,则|AF|+|8R|=（）

A.8B.11C.13D.16

10.（2020,山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线C：y?=12x的焦点为尸，A为。上一点且在第一

象限，以尸为圆心，E4为半径的圆交。的准线于3,。两点，且A，F，5三点共线，则|/3|=（）

A.16B.10

C.12D.8

二、多选题

11.（2019•辽宁省高二期末）已知抛物线y2=2Px1p>0）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和

6,则，的值可取（）

A.1B.2C.9D.18

12.（2020•山东省高三开学考试）已知抛物线/=24（°>0）的焦点为F,过点尸的直线/交抛物线于4,B

两点，以线段48为直径的圆交x轴于M,N两点，设线段A8的中点为Q.若抛物线C上存在一点EQ,2）

到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是（）

A.抛物线的方程是d=2yB.抛物线的准线是y=-l

C.sinNQMN的最小值是工D.线段48的最小值是6

2

13.（2019•山东省高二期中）已知抛物线C：：/=2〃%（〃>0）的焦点为尸，直线的斜率为百且经过点尸，

直线/与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点£>，若|AF|=4,则以下

结论正确的是（）

A.p=2B.E为中点C.\BD\^2\BF\D.忸同=2

三、填空题

14.（2020•黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线y=-2/上一点2到x轴的距离是4,则点P到该

抛物线焦点的距离是.

15.（2019•黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线y=a/的准线方程是y=2,则4=

16.（2020.北京高三其他）如果抛物线;/=2庶上一点A（4,根）到准线的距离是6,那么机=.

2

17.（2019•浙江省诸暨中学高三一模）抛物线y?=4x的焦点F坐标为，过F的直线交抛物线y=4x

于A、B两点,若而=2而，则A点坐标为.

四、解答题

2

18.（2020•四川省间中中学高二月考（文））已知抛物线V=12x,双曲线/一21=1,它们有一个共同的

m

焦点.

求：（1），〃的值及双曲线的离心率；

（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.

19.（2019•凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4,4）,焦点为F.

（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；

（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程.

20.（2020•安徽省高二期末（文））已知抛物线C:y2=2px（p>0）上的点到焦点尸的距离为6.

（1）求P，加的值；

（2）过点P（2』）作直线/交抛物线。于A5两点，且点P是线段A8的中点，求直线/方程.

21.（2020•河南省实验中学高三二模（文））过点P（-4,0）的动直线/与抛物线C:f=2py（p>0）相交于。、

E两点，已知当/的斜率为:时，PE=4PD-

（1）求抛物线C的方程；

（2）设的中垂线在>轴上的截距为力，求力的取值范围.

22.（2020•广东省高二期末）已知直线元=4与抛物线C：V=2px（〃>（））相交于A,B两点，且口。48

是等腰直角三角形.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线/过定点（-2,1）,斜率为k,当％为何值时，直线/与抛物线C只有一个公共点？

23.（2019•安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线C：卜2=2力（〃>0）的焦点为产，准线为/,

若点P在。上，过点P作尸E垂直于/,交/于E，口产砂是边长为8的正三角形.

（1）求C的方程；

（2）过点/（1,0）的直线机与。交于A，B两点,若=求直线机的方程.

专题13抛物线

一、单选题

1.（2020.陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为y=l的抛物线的标准方程是（）

A.x2=2yB.y2-2xC.x2=-4yD.y2--4x

【答案】C

【解析】

根据题意，抛物线的准线方程为＞=1,即其焦点在y轴负半轴上，且■!=：!,得P=2,

故其标准方程为f=-4y.

故选：C

2.（2019・乐清市知临中学高二期末）抛物线y=2/的焦点坐标为（）

A.(0、)B.(0,1)

2O

C.(―,0)D.(1,0)

2

【答案】B

【解析】

整理抛物线方程得Y=5〃

二焦点在y轴，P=-,

4

焦点坐标为故选B.

3.（2020.北京高三月考）抛物线f=4y的准线与＞轴的交点的坐标为（）

A.(0,-i)B.(0,-1)

C.(0,-2)D.(0,-4)

2

【答案】B

【解析】

准线方程为：般=-：1,与y轴的交点为(0,-1),故选B.

4.(2020•北京市八一中学高三月考)已知抛物线f=4y上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的

距离为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

抛物线*2=4y焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1),准线方程为丁=-1,因为点A的纵坐标

为4,所以点A到抛物线准线的距离为4+1=5,因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所

以点A与抛物线焦点的距离为5.

5.(2020•定远县育才学校高二月考(文))已知抛物线尸=2「“伽>0)的准线经过点(一1,1)，则抛物线焦

点坐标为()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

【答案】B

【解析】

由抛物线y。=2px(p>0消准线x=—与，因为准线经过点(-L1),所以p=2,

所以抛物线焦点坐标为(L0),故答案选B

6.(2020•江苏省泰州中学高二开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,且/过点

(一2,3)，“在抛物线C上,若点N(l,2),则|MN|+|M/|的最小值为

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】

由题可得,/:%=—2.

由抛物线的定义可知,|MR|=XM+2,

所以+=|肱V|+5+221+2=3.故选B.

7.(2020.湖北省高三月考(理))已知抛物线。：丁=20，(0>0)的准线/与圆(x-1)2+(y-2)2=16

切，则，=()

A.6B.8C.3D.4

【答案】D

【解析】

因为抛物线C：f=2py的准线为)，=-],

又准线/与圆例：(x—Ip+(y—2)2=16相切，

所以5+2=4,则p=4.

故选D

8.(2020.天津高三一模)已知抛物线与f=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则。的值为()

A.B.4C.6D.12

【答案】A

【解析】

抛物线>2=©的焦点坐标为(1,0),抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标为(0,3

由已知条件可得小一%(。/)=2，P>0,解得p=2石.

故选：A.

9.(2020•陕西省西安市远东一中高二期末(理))己知抛物线C:%2=6y的焦点为/直线/与抛物线C交

于AB两点，若AB中点的纵坐标为5,则|AF|+|BF|=()

A.8B.11C.13D.16

【答案】C

【解析】

抛物线C：d=6y中p=3,

设点A(xi,yi),B(X2,”)，

由抛物线定义可得：|AF]+|8F]=yi+y2+p=yi+y2+3,

又线段AB中点M的横坐标为上好=5,

2

.•.%+%=10,

，|AF|+18fl=13；

故选：C.

10.（2020•山东省青岛第一中学高三月考）己知抛物线C：/=12x的焦点为F,A为C上一点且在第一

象限，以尸为圆心，E4为半径的圆交C的准线于8,O两点，且A，F,8三点共线，则|Ab|=（）

A.16B.10

C.12D.8

【答案】C

【解析】

因为A，F，B三点共线，所以AB为圆产的直径，AD1BD.

由抛物线定义知IAO|=|Ab|=；||,所以ZABD=3Q°.因为F到准线的距离为6,

所以|AF|HBF|=2x6=12.

故选：C.

二、多选题

11.（2019.辽宁省高二期末）已知抛物线r=2Px（p>0）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和

6,则P的值可取（）

A.1B.2C.9D.18

【答案】BD

【解析】

设"（%,为），所以有为2=2。%,由点〃到其准线及对称轴的距离分别为10和6,所以有5+^=1°，

媪=2px°

|%|=6，所以有，x0+-^=10=>“2_20〃+36=On〃=2或.=18.

卜o|=6

故选：BD

12.（2020.山东省高三开学考试）已知抛物线V=2pyS>0）的焦点为凡过点F的直线/交抛物线于A,B

两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点，设线段AB的中点为0.若抛物线C上存在一点EQ,2）

到焦点尸的距离等于3.则下列说法正确的是（）

A.抛物线的方程是f=2yB.抛物线的准线是y=-l

C.sinNQMN的最小值是‘D.线段AB的最小值是6

2

【答案】BC

【解析】

抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点为得抛物线的准线方程为y=-^,

点E（f,2）到焦点尸的距离等于3,可得2+5=3,解得〃=2,

则抛物线。的方程为f=4y,准线为y=-l,故A错误，B正确；

由题知直线/的斜率存在，F（0,1）,

设A（ay）,5（林%），直线/的方程为丁=丘+1，

y=kx+\

由《2,>消去丁得/一4代一4=0，

[x=4y

所以玉+々=4左，xtx2=-4,

所以Y+%=攵（玉+W）+2=4公+2，所以A8的中点。的坐标为（2匕2公+1）,

|的=凹+）‘2+P=4%2+2+2=4公+4,故线段A8的最小值是4,即O错误；

所以圆。的半径为厂=2公+2，

在等腰口。用'中，sin/QMN=^=^U^=l-―^->1-1=1.

r2左2+22k2+222

当旦仅当左=0时取等号，

所以sinNQMN的最小值为即C正确，

2

故选：BC.

13.（2019•山东省高二期中）已知抛物线C：丁=2〃*（〃>0）的焦点为尸，直线的斜率为由且经过点尸，

直线/与抛物线C交于点A，8两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点。，若|AF|=4,则以下

结论正确的是（）

A.p=2B./为A£）中点C.|B£）|=2|fiF|D.怛尸|=2

【答案】ABC

【解析】

如图所示：作AC_L准线于C,40，》轴于加，BE1准线于E.

直线的斜率为G，故tanNAFM=/，ZAFM=|,|AF|=4,故|"曰=2,卜白.

4（_|+2,2百），代入抛物线得到p=2；

\NF\^\FM\^2,故△AM/MA。2,故尸为AT>中点；

ZBDE=-,故网=2阈=2网;

6

\BD\=2\BF\,+|BF|=\DF\=IAF|=4,故忸F|=；

故选：ABC.

三、填空题

14.（2020•黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线y=-2X?上一点尸到x轴的距离是4,则点P到该

抛物线焦点的距离是.

33

【答案】

【解析】

抛物线方程的标准形式为：/=_£,准线方程为y=三，

山抛物线的定义得：点p到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y的距离d，

O

13333

因为点尸到石轴的距离是4,所以d=4+j=M，故填：V

888

15.（2019•黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线>=以2的准线方程是y=2,则。=

【答案】

【解析】

抛物线y=ax2的标准方程为X2=-y,

a

则aVO且2=—」-,

4a

得a=一

8

16.（2020•北京高三其他）如果抛物线y2=2px上一点A（4,m）到准线的距离是6,那么加=.

【答案】±40

【解析】

抛物线y2=2px的准线方程为％=一与，

由题意得4+2=6,解得p=4.

2

•.•点A（4,m）在抛物线y2=2px±,

m2=2x4x41m=+4-^2,

故答案为：±40.

17.（2019•浙江省诸暨中学高三一模）抛物线J/=4x的焦点尸坐标为,过户的直线交抛物线丁=以

于A、8两点，若~AF=2FB，则A点坐标为.

【答案】（1,0）（2,±20）

【解析】

抛物线/=4x的焦点F的坐标为（1,0）；

设点A（%，y）,BQ2,%），设直线AB的方程为*=加>'+1，

AF=（l-%l,-y1）,EBE/T%），由^^2而得一X=2%，，乂=-2%，

联立J2_1，消去%得y-4冲一4=0,.・.、%二-4,

、yX

所以J"必二"，解得也④，..%=2，

E=-2%4

因此，点A的坐标为（2,±20）.

故答案为：（1,0）；（2,±272）.

四、解答题

2

18.（2020.四川省闽中中学高二月考（文））已知抛物线V=i2x,双曲线2v_=匕它们有一个共同的

m

焦点.

求：（1）机的值及双曲线的离心率；

（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.

【答案】（1）m=8,e=3；（2）准线方程为x=—3,渐近线方程为y=±2&x

【解析】

（1）抛物线/=12”的焦点为（3,0）,

v2

由双曲线x?--一=1（"?>0），可得1+机=9,解得〃2=8,

m

双曲线的a=1,。=3,则e=—=3；

（2）抛物线V=12x的准线方程为x=—3,双曲线/一21=1的渐近线方程

19.（2019•凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4,4）,焦点为F.

（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；

（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程.

【答案】（1）抛物线标准方程为：y2=4x,焦点坐标为F（1,0）；（2）M的轨迹方程为y2=2x-1.

【解析】

（1）抛物线顶点在原点，焦点在X轴上，且过点（4,4）,

设抛物线解析式为y2=2px,把（4,4）代入，得，16=2x4p,Ap=2

・•・抛物线标准方程为：y2=4x,焦点坐标为F（1,0）

（2）设M（x,y）,P（xo,yo）,F（1,0）,M是PF的中点，则xo+l=2x,0+yo=“2y”

/.xo=2x-1,yo=2y

P是抛物线上一动点，yo2=4xo

（2y）2=4（2x-1）,化简得，y2=2x-1.

AM的轨迹方程为y2=2x-1.

20.（2020•安徽省高二期末（文））已知抛物线C:y2=2px（〃>0）上的点/（5,加）到焦点厂的距离为6.

（1）求。,根的值；

（2）过点尸（2,1）作直线/交抛物线。于A5两点，且点尸是线段AB的中点，求直线/方程.

【答案】（1）P=2,m=±2y[^;（2）2x—y—3=0.

【解析】

（1）由抛物线焦半径公式知：目=5+5=6,解得：〃=2,

:.C:y2=4x,,-.m2=5x4=20,解得：加=±2石.

（2）设A（石,y）,8（%,%），

则>；二?,两式作差得：5+必）。_%）=4（玉―/），

〔为=4%

.4

..k勺一—,

•.•P(2,l)为AB的中点，，%+%=2，，M=2,

二直线/的方程为：y—1=2(%-2),即2x—y-3=0.

21.(2020•河南省实验中学高三二模(文))过点P(-4,0)的动直线/与抛物线C:/=2py(p>0)相交于。、

E两点，已知当/的斜率为:时，PE=4PD

(1)求抛物线C的方程；

(2)设DE的中垂线在>轴上的截距为从求6的取值范围.

【答案】⑴f=4y；⑵b>2

【解析】

(1)由题意可知，直线/的方程为y=；(x+4),

与抛物线方程C：x2=2py(p>0)方程联立可得，

2y2_(8+p)y+8=0,

设£)(%1，〉1),£(工2，%)，由韦达定理可得，

8+PA

因为屋=4所在=(々+4,%)，赤=(玉+4,y)，

所以%=4必,解得％=1,必=4,0=2,

所以抛物线C的方程为f=4y；

(2)设/:y=%(%+4).OE1的中点为(%0,%),

X2=4y

由<,/八，消去》可得f-4右一16左=0,

y=k(x+4)

所以判别式△=16公+64%>0，解得左<~4或左>0.

由韦达定理可得，玉)=)2

'"；"=2k,%=k(x0+4=2k+4k,

所以。E的中垂线方程为y-2%2-4Z:=—J(x—2A),

K

令x=0则6=丁=2父+4左+2=2(左+11，

因为左或攵>0,所以匕>2即为所求.

22.（2020•广东省高二期末）已知直线尤=4与抛物线C:/=2px（p>0）相交于A,2两点，且口。45

是等腰直角三角形.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直