“概率”教材分析

“概率，，教材分析

概率论是从数量关系侧面研究非确定性现象（也就是随机现象）的规律性的学科。所谓概率,

通俗地讲，就是在一定条件下，某一事件发生的可能性的大小（学生以往学习的都是一些确

定性的现象，而概率论研究的是非确定性现象，这给教师的教和学生的学带来一定的难度）。

概率统计在工农业生产、科学技术中有着越来越广泛的应用，成为研究自然现象、社会现象,

处理工程和公共事业问题的有力工具，在我国中学开设概率统计课程，是实现教育内容现代

化的一个举措，是势在必行的（先期使用高中数学新教材的两省、一市的2001年高考数学试

卷中有关概率的知识占了14分，近10%,是明显高于其所占课时比例的）。

第十章中概率部分的知识要点是：随机事件的概念、等可能事件的概率、互斥事件有一个发

生的概率、相互独立事件同时发生的概率（包括独立重复试验）。

第十章中概率部分的重点是：随机事件的概念、古典概型、互斥事件有一个发生的概率、相

互独立事件同时发生的概率与n次独立重复试验。

难点是：概率的定义、古典概率的计算、概率的加法公式与乘法公式，重复试验中事件A

发生k次的概率公式以及概率的应用。

第十章中概率部分的教学要求是：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率

的定义（统计定义）；（2）了解等可能事件的概率的定义及计算公式，会用排列组合的基

本公式计算一些等可能事件的概率；（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥

事件的概率加法公式与相互独立事件概率的乘法公式计算一些事件的概率；（4）会计算事

件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

下面对“概率”部分的教学谈一点认识。

一、高中数学新版“概率”教材的特点

1.将随机事件、频率、概率的统计定义等合并为一节，突出概率的统计定义。

2.对古典概率，注意挖掘概率的统计定义与古典定义的关系，不给古典概率下定义，只提

古典概型。

3.在概率的有关计算中，既介绍“排列组合计数法”，又介绍“枚举法”，使“排列组合

计数法”与“枚举法”相结合。

4.增加了阅读材料从集合角度看排列、组合和概率，并结合介绍“容斥原理”（如,

Card（AUB）=Card（A）+Card（B）-Card（AAB）,等等）.

5.在“互斥事件有一个发生的概率”和“相互独立事件同时发生的概率”的教学中，注意

联系实际，注意采用数形结合的方法。

6.将“独立重复试验”作为“相互独立事件同时发生”的一种推广形式，并由此引入“贝

努时概型”。

二、关于随机事件概率定义的教学

粗略地说，在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件（用字母A、B、

C…表示）。

如：（1）投掷一枚分币，“正面朝上”这个事件（记作A）,是一个随机事件；在该试验

中，“正面朝下”（记作B）,也是一个随机事件。

（2）投掷两枚分币，A="两个都是正面朝上"、B="两个都是正面朝下"、C="一个正面

朝上，一个正面朝下"、D=“至少有一个正面朝上”等，也都是随机事件。

（3）从十个同类产品（其中有8个正品，2个次品）中，任意抽取3个，A="三个都是正

品"、B=“至少有一个是次品”，都是随机事件。但对于事件“至少有一个是正品”和“三

个都是次品”，前者是必定要发生的，后者是不可能发生的。我们称，在一定条件下，必定

要发生的事件为必然事件，用I表示；在一定条件下，不可能发生的事件为不可能事件，用

字母。表示。

对于随机事件，在一次试验中是否发生，我们虽然不能预先知道，但是它们在一次试验中发

生的可能性是有大小之分的。如，（1）中，如果投掷的分币是匀称的，则随机事件A="正

面朝上”和随机事件B="正面朝下”发生的可能性是一样的；（2）中，如果两个分币都是

匀称的，则随机事件A="两个都是正面朝上”和随机事件B="两个都是正面朝下”发生的

可能性也是一样的，并且它们比随机事件C="一个正面朝上，一个正面朝下”发生的可能

性要小。

（1）中投掷分币的试验，是在一定的条件作用下的（如分币是匀称的，用规定的动作向上

抛，让分币自由地落在具有弹性的地面上，等等），而在该条件组的作用下，事件A（“正

面朝上”）是否发生是不确定的，这是问题的一个方面，但当该条件大量重复实现时，事件

A发生的次数（称为频数）能体现出一定的规律性，其约占总试验次数的一半，即

事件A发生的频率=频数/试验次数，接近1/2,而且投掷次数越多，频率越接近0.5。

于是我们这样定义：在不变的一组条件S下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A

发生的次数。当试验的次数n很大时，如果频率m/n稳定在某一数值p附近摆动，而且一般

说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度愈变愈小，则称A为随机事件，并称数值p为随

机事件A在条件组S下发生的概率，记作P（A）=p。

简单地说，“频率具有稳定性的事件称为随机事件，频率的稳定值称为该随机事件的概率”。

由于频率m/n总介于0,1之间，因此由概率的定义知：对任意随机事件A,有

OWP（A）W1；对必然事件I,显然有P（D=1：对不可能事件力，显然有P（4）=0。

“随机事件概率的定义”的教学要求是:

(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念。

(2)了解随机事件频率的意义及概率的定义。

(3)理解概率的性质：OWP(A)Wl；P(D=1,即必然事件的概率为1；P(4>)=0,即不

可能事件的概率为0o

“随机事件概率的定义”的教学建议是：

(1)教课前，要求学生复习初中“统计初步”一章中的频数、频率的概念。

(2)从具体到抽象引入随机事件的概念，并教会学生用字母表示每一个事件，进而区分什

么是随机事件，什么是必然事件与不可能事件。

(3)关于概率定义的教学，可采用电教手段，打出一些试验的结果，通过观察、分析、归

纳，得出概率的定义及概率的性质。

三、关于等可能事件的概率的教学

上面介绍的概率的定义，它既是概念，同时又提供了近似计算概率的一般方法。但是在某种

情况下，并不需要在条件组作用下，临时做多次试验，从而得出概率的近似值，而是根据问

题本身所具有的某种“对称性”，充分利用人类长期积累的关于“对称性”的实际经验，分

析事件的本质，就可以直接计算其概率。

如，(1)盒中装有五个球(三个白球，二个黑球)，从中任取一个，问：取白球的概率是多

少？既然是“任取”一个，则五个球被取到的机会是等可能的，而白球有三个，因此，取到

白球的概率应是3/5。说得更清楚些，我们将五个球编上号(白球为1、2、3号，黑球为4、

5号)，因为是随便取一个，所以“取到1号球”、“取到2号球”、“取到3号球”、

“取到4号球”、“取到5号球”，这些结果发生的机会一样，而且是互相排斥的，并且

除此之外不可能有别的结果。注意到1、2、3号是白球，所以“取到白球”这个事件发生的

频率会稳定在3/5左右，因此按概率定义，它的概率是3/5。

(2)盒中有球的情况如上，现从中任取两个，问两个球全是白球的概率是多少？

将五个球同样编号，因为是随便取两个，所以下列结果“1、2”，“1、3”，“1、4”，“1、

5”，“2、3”,“2、4”，“2、5”，“3、4”,“3、5”，“4、5”发生的机会一样,

而且是相互排斥的，并且除此之外不可能有别的结果。再注意到，上列十种情况中，有且仅

有三种，即“1、2”,“1、3”,“2、3”为全白,因此“全白”发生的频率会稳定在3/10

左右，于是它的概率是3/10。

于是我们这样定义：若一个事件A、A、…、A具有下列三条性质:

(1)A、A、…、A发生的机会相同(等可能性)；

(2)在任一次试验中，A、A、…、A至少有一个发生(即除此之外不可能有别的结果,

完备性)：

(3)在任一次试验中，A、A、…、A至多有一个发生(即它们是互相排斥的，互不相容

性)。

则称该事件组为等概基本事件组，其中任一事件A(i=l、2、…、n)称为基本事件。

若A、A、…、A是一个等概基本事件组，而事件B由其中的某m个基本事件所组成，大

量试验表明，事件B的概率应由公式：

P(A)=m/n(1)

来计算。

所谓古典概型就是利用公式(1)来讨论随机事件的概率的模型。

古典概型在概率理论中占有重要地位，对于初步接触概率的学生来说，是深入学习概率的必

不可少的材料，其意义在于：

(1)有利于理解概率的概念。当研究这种概型时，频率的稳定性容易得到验证，频率的稳

定值与理论上算出来的概率值的一致性可以得到验证。但在教学中不要提出两种定义

概率的统计定义与古典定义，以免学生被两种定义所因扰。要使学生认识到，概率

是频率的稳定值，不是近似值，而是一个准确的数。古典概型中计算出来的概率值就是频率

的稳定值。

(2)有利于计算随机事件的概率。在古典概型范围内研究问题，避免了进行重复试验，而

且由于计算概率时，大量运用了前面所学的排列、组合知识，能充分使学生对这些知识的学

习得到运用和强化。

(3)古典概型的实际应用较广，有利于学生运用所学知识解决有关的实际问题。

(4)P(A)=m/n是计算等可能事件概率的公式，根据这一公式计算概率时，关

键在于求出n和m。在求n时，应注意，这n种结果必须是等可能的，在这点上

是很容易出错的。如，同时抛掷2枚均匀硬币，共出现“正、正”，“正、反”，

“反、正”，“反、反”4种等可能结果，如果认为只有“正、正”，“反、反”，“一

正、一反"3种结果就错了，因为这三种结果不是等可能的。在求m时，不仅此要用到排列、

组合知识，很多场合下要用到枚举法，或容斥原理。

“等可能性事件的概率”的教学要求是:

(1)使学生了解等可能性事件的概念，掌握古典概型的特点，即：对于每次随机试验来说,

只可能出现有限个不同的试验结果：对于上述所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相

等的；由于上述两点，求事件的概率可以不通过大量重复试验，而只需通过一次试验中可能

的结果进行分析计算即可。

(2)掌握等可能事件的概率计算公式P(A)=m/n,掌握概率计算的三个步骤：用字母表示

事件；求m、n；计算P(A)o

(3)学会用枚举法和排列组合计数法求m、n„

举例如下：

1.关于用枚举法求m、n：

枚举法包括简单列举、列表、图示三种。

例1同时抛掷三枚均匀的硬币，则出现的基本事件的个数和恰有2个正面朝上的基本事件

的个数为

(A)3,3(B)4,3(C)6,3(D)8,3

解：本题可以用树形图求解：

正反

正反正反

正反正反正反正反

n=8,m=3,应选D。

例2从长度分别为3、4、5、7、9的五条线段中，任取3条，能构成三角形的概率是

(A)3/10(B)1/2(C)3/5(D)2/5

解：易知n=C=10,而m的值可列举出来：(3,4,5)、(4,5,7)、(5,7,

9)、(3,5,7)、(4,7,9)、(3,7,9),m=6。

因此能构成三角形的概率为3/5o

2.关于用排列、组合计数法求m、n：

用排列组合公式和古典概型的概率计算公式，可以解决三方面的问题：(1)随机取数；(2)

随机摸球：(3)分房问题。大量的、形形式式的问题都可以归为这三类问题。

(1)随机取数

例3有十张卡片，分别标为1、2、…、10,从中任取一张，求取得的号码为偶数的概率。

解：显然本题的基本事件总数n=10。又人="取得的号码为偶

数”={2}U{4}U{6}U{8}U{10},即A中含有5个基本事件，m=5,从而P(A)=m/n=l/2»

上述解答用的是枚举法，本题也可用排列组合的方法作答：A=”取得的号码为偶数”，其必

须从2、4、6、8、10中任取一个，有C种，即m=5。从而P(A)=1/2。

事实上，由^="取得的号码为偶数”与="取得的号码为奇数”的“对称性”，即可得到

P(A)=1/2。

例4设有一批产品共100件，其中有5件次品，现从中任取50件，问：无次品的概率是多

少？

解：从100件产品中任取50件，共有C个不同的结果，每一个结果都是一个事件，且这

些事件是一个等概基本事件组。

又，A="任取50件其中无次品”，必须从95件正品中取出来，共有C个不同的结果。因

此，P(A)=C/C=0.028»

例5条件组同“例4”，问：恰有两件次品的概率是多少？

解：由于等概基本事件组同“例4”，故总数n=C。而事件A=”恰有两件次品”所包含的

基本事件数m=C,C。于是P(A)=m/n=C•C/C=0.32,即任取50件，恰有两件

次品的概率是0.32。

(2)随机摸球

例6有10件产品，其中4件次品，6件正品，每次取一件检验，测后不放回，直到4件次

品全部测出为止。求经过5次测试，4件次品全部被测出的概率。

解：设A="经过5次测试，4件次品全部被测出”，易知基本事件总数n=P。

下面用“定位法”求m：将其中的3件次品定在前4次被测出，第4个次品定在第5次被测

出，则m=CCP。

于是，P（A）=CCP/P=2/105。

例7有10件产品，其中4件次品，6件正品，每次取一件检验，测后不放回，一共测5次。

求第5次测得次品的概率。

解：本题与例6的提法不同，其不管前4次是否测得次品，只要第5次测得次品即可。

设A="测5次，第5次测得次品”，易知基本事件仍为n=P。

下面用“定位法”求m：将次品看作“球”，第5次出现球的方法为C，于是m=CP。

因此，P（A）=CP/P=4•P/10•P=0.4。

若将问题改为:每次测1件，测后不放回，一共测k次，求第k次测到次品的概率，则n=P,

m=C•P,P（A）=C•P/P=4•P/10•P=0.4。

这一事实表明，第1次、第2次、…、第10次测出次品的概率是相同的，都是0.4。如果

将“次品”看作“奖”，则抽签中奖的概率是相同的，这就是人们通常所说的“抽签不分先

后，一样公平合理”的道理（对此，教材中按排了“阅读材料抽签有先有后，对各

人公平吗？”）。

（3）分房问题

例8设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（nWN）,求下

列事件的概率：

（1）指定的n个房间各有一人住；

（2）恰好有n个房间，其中每间各住一个人。

解：因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人入住的方式有N种，它们是等可能的。

在第一个问题中，指定的n个房间各有一人去住，其可能总数为n个人的全排列n!,于是,

P（“指定的n个房间各有一人住"）=n!/N

如，有10个房间，分给10个人，每个人都等可能地被分配到10个房间中的任一间去住，

而且每间房里的人数不限，求不出现空房的概率：设人="10个房间分给10个人，不出现空

房"，则n=10,m=10!,P（A）=10!/10=9!/IO»

在第二个问题中，n个房间可以在N个房间中任意选取，其总数有C个，又对给定的n个

房间，按上述讨论可知有n!种分配方式，于是，

P（“恰好有n个房间，其中每间各住一个人"）=C•n!/N=N!/N（N-n）!。

历史上有名的“生日问题”就归为“分房问题”，我们将在下面作介绍。

四、关于互斥事件有一个发生的概率

1.事件的包含与相等

设有事件A与事件B,如果A发生，则B必发生，就称事件B包含事件A,并记作AB或

BA。例如投掷两枚匀称的分币，记人=”正好一个正面朝上”，B=“至少一个正面朝上”，

显然有ABo

如果事件B包含事件A,同时事件A也包含事件B,则称事件A与事件B相等，记作A=B。

2.事件的和与积

在一次试验中，如果事件A与事件B至少有一个发生，则这一事件叫做事件A与B的和，记

作A+Bo

事件的和可以推广为n个事件的和：“A+A+-+A”，它表示在同一试验中，A、A

A中至少有一个发生（有一个发生就表示该事件发生）。

在一次试验中，如果事件A发生且事件B也发生，即事件A、B同时发生，则这一事件叫做

事件A与B的积，记作A・B。

事件的积可以推广为n个事件的积：“A•A....A”，它表示在同一试验中，A、

A、…、A同时发生。

例如，投掷两枚均匀的分币，A="正好一个正面朝上”，B="正好两个正面朝上”，C="至

少一个正面朝上”，于是有A+B=C,A・C=A,B-C=B,A-B=<l>»

对此我们可以简单表述为:“至少"“+"；“同时"。

3.互斥事件与对立事件

如果事件A和事件B不可能同时发生，即A•B=。，则称A与B是互斥事件。例如，投掷两

枚分币，事件“两个都是正面朝上”和“两个都是正面朝下”是互斥事件；事件“正好一个

正面朝上”和“两个都是正面朝上”也是互斥事件，因为投掷两枚分币时，事件“正好一个

正面朝上”和“两个都是正面朝上”不可能同时发生。再如，袋中有4个球，其中2个红球,

1个黄球，1个白球，每次抽1个，有放回地抽4次，设八=“全红”、B=“全黄”、C="全

白”,则A、B、C是互斥事件，因为它们两两是互斥的(这里顺便强调一下A、B、C三个事

件不能同时发生，与A、B、C两两互斥不是一回事。A、B、C三个事件不能同时发生，即

A,B,C=<1>，但有可能A,BW6，或8•C¥4>，或A,CW<1>；而八、131两两互斥是指A•B=4>,

且且A・C=。)o

在互斥事件概念的教学中，建议通过比较多的实例分析后，再给出互斥事件的定义.同时为

加强互斥事件概念的教学，教学时，建议举一、两个反例说明也有不互斥的事件。例如，甲、

乙两人各射击一次，A=“甲中靶"、B=“乙中靶"，显然甲、乙两人可以同时中靶，即A、

B两个事件可以同时发生，故A、B不为互斥事件，这时称事件A、B相容。

事件“非A”称为A的对立事件，记为。例如，投掷两枚分币，事件“至少一个正面朝上”

是事件“两个都是正面朝下”的对立事件。

教学中，要帮助学生理解互斥事件与对立事件的联系与区别：

从定义理解：若A・B=6,则A与B是互斥事件，又A,=6,从而对立事件必为互斥事

件。反之，互斥事件不一定是对立事件，因为A+=1,而A、B互斥时，A+BI。

从逻辑学上进行解释：互斥事件遵循“矛盾律”，而对立事件遵循“排中律”。

学习了互斥事件概率的加法公式之后还可以从概率计算中理解这两种事件的联系与区别：P

(A+B)=P(A)+P(B)<1,而P(A+)=P(A)+P()=1。

4.互斥事件概率的加法公式

如果事件A与B是互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)。(1)

公式(1)表达了概率的最重要的特性：可加性。它是从大量的实践经验中概括出来的，成

为我们研究概率的基础和出发点。从概率的定义看，这个公式的成立是很自然的。设想把条

件S重复实现了n次(n充分大)，其中事件A发生了m次，事件B发生了m次，由于事

件A与B互斥，故A+B发生了m+m次。根据概率的定义，m/n应该与P(A)很接近，

m/n应该与P(B)很接近，于是(m+m)/n自然应该与数值P(A)+P(B)很接近，而

(m+m)/n恰好又是事件A+B发生的概率，即当n充分大时，(m+m)/n与P(A+B)

很接近,因此P(A+B)应该与P(A+B)相等。

公式(1)不难推广到n个事件的情形：设A、A、…、A是n个互斥事件，则

P(A+A+-+A)=P(A)+P(A)+…P(A).

使用互斥事件概率的加法公式(1)的前提条件是“两个事件互斥”，教学时需要强调的是:

当A、B两个事件不互斥时，不能用上面的公式。我们教师在教学中，特别是在选题或编题

时，也要注意这个问题。例如，掷骰子时，A="出现偶数点"，B="出现的点数不超过3”，

事件A与B不互斥，当出现点数2时，A与B同时发生！事实上，事件A+B表示出现点数2、

4、6、1、3,故P(A+B)=5/6,而P(A)=3/6=1/2,P(B)=3/6=1/2,可见P(A+B)WP

(A)+P(B)o

特别地，由互斥事件概率的加法公式有：P(A)+P()=P(A+)=P(I)=1,从而得

P()=1-P(A)o

上式虽然简单，却很有用。比如：袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地

抽三次，设人="三个颜色全同”,B="三个颜色不全同"，求P(A)和P(B)o对于此例，

易得P(A)=(1+1+1)/27=1/9,又由于A与B是对立事件,故有P(B)=1-P(A)=lT/9=8/9。

“互斥事件有一个发生的概率”的教学要求是：

(1)理解互斥事件、对立事件的概念，了解互斥事件与对立事件的联系与区别。

(2)掌握互斥事件概率的加法公式和对立事件的概率计算公式，并能用来解决

有关的实际问题。举例如下：

例9从0、1、2、3四个数字中，任取3个进行排列，求取得的3个数字排成的数是三位数

且是偶数的概率。

解：设八="任取3个数组成三位偶数"，A="0在末位的三位数"，A="2在末位的三

位数"，则A=A+A。

由于A、A互斥，所以P(A)=P(A+A)=P(A)+P(A)=P/P+PP/P=5/12。

例10袋中有4个球，其中2个红球，1个黄球，1个白球，每次任取1个，有放回地抽4

次，求下列事件的概率：

(1)全红；(2)全白；(3)颜色全同；(4)颜色全不同；(5)颜色不全同。

解：(1)P(“全红")=CCCC/4=1/16；

(2)P(“全白”)=CCCC/4=1/256；

(3)P(“颜色全同”)=P(“全红”+“全黄”+“全白”)=P(“全红”〉+P(“全黄”)

+P(“全白”)=1/16+1/256+1/256=9/128；

(4)P(“颜色全不同")=P(4>)=0；

(5)P(“颜色不全同")=1-P(“颜色全同")=l-9/128=119/128o

例11在10000张有奖明信片中，设有一等奖5个，二等奖10个，三等奖100个，从中买1

张，求：

(1)获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；

(2)未中奖的概率。

解:(1)设人="买一张中i等奖"(i=l,2,3),则

P(A)=5/10000=0.0005；P(A)=10/10000=0.001；P(A)=100/10000=0.010

(2)设人="买一张中奖”，则人=A+A+A»

因为A、A、A彼此互斥，所以P(A)=P(A+A+A)=P(A)+P(A)+P(A)

=0.0115,从而P()=1-P(A)=1-0.0115=0.9885。

例12某单位有n个人(nW365)问至少有两人的生日在同一天的概率有多大？

解：这个问题属于“分房问题”，假定一年按365天计算，将365天当作365个“房间”，

则问题就可以归为“例8”，这时“n个人的生日全不相同”就相当于“例8”中的“恰有n

个房间，其中每间各住一人”。

设人=”n个人中至少有两个人的生日相同"，贝IJ="n个人的生日全不相同”。

由“例8”得，P()=N!/N(N-n)!,而P(A)+P()=1,于是P(A)=1-N!/N(N-n)!,

(N=365)o

注：(1)本例如果直接求P(A)，则比较麻烦，而利用对立事件求解则比较容易。

(2)根据上式，对不同的n可计算出相应的P(A)的值，如：n=10,P(A)=0.12；n=23,

P(A)=0.51；n=50,P(A)=0.97。这说明“一个班级(单位)中至少有两个人的生日相同”

这件事发生的概率，并不如多数人直觉中想象的那样小，而是相当大。由计算可以看出，当

班级中的人数为23时，就有半数以上的班级会发生这件事；当班级人数为50时，竟有97%

的班级会发生这件事(当然要求班级的数目相当多，因为只有大数次重复下才可以理解为频

率)。

五、关于相互独立事件同时发生的概率

1.条件概率

上述对P(A)的讨论都是相对于某组确定的条件S而言的。P(A)就是在条件组S实现之

下，事件A发生的概率(为简略起见，“条件组S”通常不再提及)。若除了这组基本条件

“S”之外，还有附加的条件，即要求“在事件B已经发生的前提下”事件A发生的概率，

这就是条件概率的问题。

例13盒中装有16个球，其中6个是玻璃球队，10个是木质球。又玻璃球中有2个是红色

的，4个是兰色的；木质球中有3个是红色的，7个是兰色的。现从中任取一个(这就是所

谓“条件组S”),求：取到兰球的概率，取到玻璃球的概率，在已知取到的是兰球的前提

下，该球是玻璃球的概率。

解：设人=“取到兰球"，B=”取到玻璃球”则由古典概型知P(A)=11/16,P(B)=6/16=3/8»

求“在已知取到的是兰球的前提下，该球是玻璃球”的概率，也就是求在事件A已经发生的

前提下事件B发生的概率(此概率记为P(B|A))。同样可以用古典概型来解决：因为取

到的是兰球，而兰球共有11个且其中4个是玻璃球，所以P(BIA)=4/11。

例145个乒乓球(3个新球，2个旧球)，每次取1个，无放回地取2次。求：第一次取得

新球的概率，第二次取得新球的概率，在第一次取得新球的条件下第二次取得新球的概率。

解：设八="第一次取得新球"，B="第二次取得新球”，显然P(A)=3/5。

P(B)=?

注意到B="第二次取得新球”，它对第一次取得什么球没有限制或假定，因此回答P(B)

=2/4,或P(B)=3/4都是没有根据的。其实，凭直观，P(B)应等于3/5,否则“抽签”

这个公认为公平的方法，就不公平了。

这个问题具体地可以用古典概型来解。基本事件总数n=P=20；用“定位法”求m：将其中

的1个新球定在第二次被取得，其方法数为P,于是m=P-P=12,则P(B)=12/20=3/5。

至于P(B|A),由条件概率的概念易求：既然A己发生，那么第二次取球时，盒中共有4

个球，其中有2个新球，因此按古典概型，这时B发生的概率应是2/4,即P(B|A)=l/2。

2.独立性

将上面的例2改为：5个乒乓球(3个新球，2个旧球)，每次取1个，有放回地取2次。

记人="第一次取得新球"，B="第二次取得新球”，显然有P(B|A)=P(B),即在A发

生的条件下B的条件概率就等于B的原概率，它表示A发生并不影响B发生的概率。

所谓A与B相互独立，就是在同一次试验中，事件A(B)的发生，对事件B(A)的发生的

概率没有影响。

定义：对于任意的两个事件A、B,若P(AB)=P(A)•P(B)成立，则称事件A、B是相互

独立的，简称独立的。

3.需要强调的几点：

(1)当A、B不互斥(即相容)时，事件A+B的概率计算公式为

P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)

当A、B互斥时，P