人教版八年级下册数学平行四边形期末压轴题训练（含答案）

人教版八年级下册数学平行四边形期末压轴题训练

1.如图，在等边三角形A8C中，边长为12cm,点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度是3cm/s；

同时点。由B点出发，沿84方向匀速运动，速度为lcm/s,过点Q的直线QE〃AC,交BC于点E,设运

动时间为r（s）（0<r<4）,解答下列问题：

（1）当f为何值时，PQLAC2

（2）当点尸在线段上时，设四边形PQEC的面积为yen?,求y与f的关系式；

（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻f,使得以P,Q,E,。为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，求出/的值；若不存在，求出f的值，若不存在，说明理由

2.如图，四边形0A8C为矩形，其中。为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4,

7）.点。，E分别在OC,CB边上，且CE：EB=5：3.将矩形0ABe沿直线DE折叠，使点C落在48边

上点F处.

（1）求尸点的坐标：

（2）点P在第二象限，若四边形PEFQ是矩形，求尸点的坐标；

（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M,N,D,尸为顶点的四边形是菱形，请直接写出所

有满足条件的点M和点N的坐标.

备用图

3.如图1,在△ABC中，ZB=90°,NC=30。，点。从C点出发沿着CA方向以2个单位每秒的速度向

终点A运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1个单位每秒的速度向终点8运动.设点。，E的运动时

间为f秒，于F.

(1)求证：AE—DFt

(2)如图2,连接E凡AC=12.

①是否存在f,使得四边形AE尸。为菱形？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由；

②连接OE,当△£>£尸是直角三角形时，求f的值.

4.已知正方形A8CD中，点E,尸分别在边C£>,8C上，连接AE,DF.

图1图2图3

(1)若E为CD的中点，AELO产于点0.

①如图1,求证：BF=CF；

An

②如图2,连接。C,求普的值:

(2)如图3,若AB=A，DE=BF,则AE+W的最小值为(直接写出结果).

5.在正方形A3C。中，连接AC,点E在线段AD上，连接BE交AC于过点M作交CO于

图①图②图③

(1)如图①，求证：ZABE+ZCMF=ZACD；

(2)如图②，求证：BM=MF；

(3)如图③，连接8F,当AE:AZ)=1:2,AB=6时，求B尸的长.

6.如图，四边形ABC。是正方形，点P是线段A8的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接。0,

以点例为直角顶点作交NC8P的角平分线于N,过点C作CE//MV交AD于E,连接

CN,DN.

MB

(1)求证：DM=MN.

(2)求证：EMHCN.

(3)若AE=1,BN=3近,求。N的长.

7.如图1,在正方形A8CD和正方形BEFG中，点4、B、E在同一直线上，连接OF,且点M是O厂的中

点，连接MC、MG.

(1)在图1中，MC与MG的位置关系是,数量关系是；

(2)如图2,将条件“正方形ABC。和正方形BEFG”改为“矩形ABC。和矩形BEFG，，其他条件不变，求

证：MC=MG；

(3)如图3,若将条件“正方形A2C。和正方形8EFG”改为“菱形ABCZ)和菱形2EFG"，点A、B、E在同

MC

一直线上，连接。凡且点M是OF的中点，连接MC、MG,且所=60。求=的值.

MG

8.如图，在四边形ABC。中，NB=60°,AB=DC=4,AD=BC=8,延长BC到E,使CE=4,连接

DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-D4向终点A运动，设点P运动的时间为f

秒(A0).

(1)当f=3时，BP=；

(2)当/=时，点P运动到的角平分线上；

(3)当0Vr<6时，请用含f的代数式表示△ABP的面积S；

(4)当0</<6时，直接写出点尸到四边形ABEC相邻两边距离相等时f的值.

9.如图，在平行四边形48C。中，对角线AC和8。相交于点O,点E在8c延长线上，AE平分/BAO

交CD于点F,点G为E尸的中点，连接8G,CG,DG,△ABE的面积为S,△BGD的周长为/.

(1)求证：DF=BC；

(2)若GF=GC,试判断△。/G与△BCG是否全等，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，若EC=2,S=32,求/.

10.如图，在以点。为原点的平面直角坐标系中点A,8的坐标分别为(a,0),(a,6),点C在y轴

上，且BC//X轴，a,人满足|“-3|+病4=().点尸从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着0-A

-B-C-0的路线运动(回到。为止).

(1)直接写出点A,B,C的坐标；

(2)当点P运动3秒时，连接PC,PO,求出点尸的坐标，并直接写出/CPO,NBCP,/AOP之间满

足的数量关系；

(3)点P运动f秒后(#0),是否存在点尸到x轴的距离为个单位长度的情况.若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

11.(1)如图1,8。是正方形A8C。的对角线，P是8。上一点，AMPN=90°,PM±AB,交AB于点

M,PNLBC,交8c于点N,猜想PM与PN的数量关系是；

(2)将图1中的NV/W按顺时针旋转一定角度到图2的位置，使PM交A3于点M,PN交BC于点N,

猜想P例与PN的的数量关系，并证明；

(3)如图3,将图2的正方形A3CD换成菱形ABC。，ZABC=60°,P是8。上一点，ZA/AV=120°,使

PM交AB于点、N,PN交BC于前N,且依=6,求四边形PM8N的面积.

12.如图，四边形ABCQ与四边形AEFG均为正方形，DE与BG交于点、H,BG与AE交于点

(1)求证：BG=DE；

(2)求证：DH2+GH2=DG；

(3)将正方形A8C£＞绕点A逆时针旋转(0。＜/区4£：＜180。)，设AABE的面积为S/,△ACG的面积为

S2,判断5/与S2大小关系，并证明你的结论.

13.如图1,在正方形ABC。中，点、E、F分别是边BC、A8上的点，且CE=8F,连接。E过点E作

(2)如图2,若点E、F分别是C8、BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请写

出判断并予以证明；

(3)如图3,若点E、F分别是BC、延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？如果

成立，直接写出结论；如果不成立，说明理由.

14.已知正方形A8C。的边BC上有两点E、F,连接AE、力厂相交于点P.

图1图2图3

(1)如图1,当PF=PE时，求证：PA=PD^

(2)如图2,连接BP,8P延长线交CC于点G,当AP=AB时，求NOPG的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长BC到M,使CM=CF,以。C、CM为邻边作矩形QCMN,延长

BG交MN于点、Q,当PE=2,QM=6时，求4B的长.

15.(1)尝试探究：

如图1,E是正方形ABC。的边上的一点，过点C作CFJLCE,交A8的延长线于F.

图1图2

①求证：4CDE出ACBF；

②过点C作/ECf1的平分线交AB于P,连接尸E,请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论.

(2)拓展应用:

如图2,E是正方形ABC。的边AO上的一点，过点C作CF_LCE,交A8的延长线于F,连接EF交08

于M,连接CM并延长CM交AB于P,已知48=6,DE=2,求PB的长.

16.如图，在四边形ABCD中，ADHBC,4=90°,AO=8cm,BC=10cm,4?=6cm,点。从点A

出发以Icm/s的速度向点£＞运动.点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动.P,。两点同时出发，当点

P到达点C时.两点同时停止运动.若设运动时间为/(s)

(1)直接写出：QO=cm,PC=cm.(用含f的式子表示)

(2)当t为何值时，四边形PQQC为平行四边形？试说明理由.

(3)若点尸与点C不重合，且。。当f为何值时，VOPQ是等腰三角形？

17.如图，在△ABC中，点。是边AC上的一个动点，过点O作直线MN〃BC,设MN交/BC4的平分线

于点E,交△BCA的外角平分线于点凡

(I)探究OE与。尸的数量关系并加以证明;

(2)四边形8CFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由;

(3)当点。运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由;

(4)在(3)间的基础上，AABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？

MN

BD

18.在菱形ABC。中，NABC=60。，点P是射线80上一动点，以AP为边向右侧作等边VAPE,连接

CE.

(1)如图1,当点E在边AO上时，填空：

①BP与CE的数量关系是___________,

②CE与AO的位置关系是__________;

(2)如图2,当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，

请说明理由.

(3)如图3,在点P的移动过程中，连接AC,DE,若A8=2,PD==1,请直接写出四边形AC0E的面

积值.

A

一

ccC

图1图2图3

19.如图，四边形ABC。是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点,EF1AC,垂足为尸.

(1)如图1,连接OE交AC于点M,若ZDE尸=15。，求A"的长；

(2)如图2,点G在BC的延长线上，点E在8c上运动时，满足CG=二BE,

①连接8尸，DG,判断8尸，OG的数量关系并说明理由；

②如图3,若2为CG的中点，直接写出。E+2。。的最小值为_______

4____________D4DAD

BEB-ECGBEO~G

图1图2图3

20.如图，尸是正方形A8CZ)的边CD右侧一点，CP=CD,NPC。为锐角，连PB,PD.

(1)如图1,若PD=PC,则NBPD的度数为；

(2)如图2,作CE平分/28交加于E.

①求/BEC的度数；

②猜想PZ),BE,CE之间有何数量关系，并证明你的结论；

(3)如图3,若PB=6,则四边形PC8D的面积为平方单位

答案

1.

解：(1)・.,A45C是等边三角形，

.-.ZA=60°,

•/ZPQ1AC,

/.ZAP0=90°,

,ZAeP=90°-60°=30°,

z.AP=^AQf

由题意得：AP=3tcm,QB=tan,则AQ=(12T)O〃，

.-.3r=l(12-r),

解得：，当1?，

12

「•当才为匕s时，PQ-LAC；

7

(2)过点。作RV/_LAB于M,过点。作QNJ.8C于N,如图1所示:

:.ZAMP=ZQNB=900,

・・・AA8C是等边三角形，

/.ZA=ZABC=ZC=60°,

:.ZAPM=ZBQN=30Q,

.\AP=2AM,QB=2BN,

31

/.AM=—/,BN=—t

229

在RJAMP中，由勾股定理得：PM=〃尸一A"=J(3r)2_(沙二当t,

在RtaQNB中，由勾股定理得：QN=JQB=BM沙_(5)2=今,

2

■-SMPQ=^AQPM=^x(\2-t)x^-t=943t-^-t,

■：OEHAC,

ZQEB=ZC=60°,

•・・NQ8£=60。，

•.ABQE是等边三角形，

:.BE=QB=t,

••.SMe£=；8E,QN=；xfx争=?『,

■.■BD1AC,

.-.AD=CD=-AC=6,

2

在RtABCD中，由勾股定理得：BDNBC-CD2=66，

S^BC=~AC.BD=^x12x6G=365/3,

-0*y=S^BC-SWQ-S^=36百=36百-9^3(+与F，

QE

・•・当点P在线段AO上时，丁与/的关系式为：y=36后-9人+日产；

(3)存在，理由如下：

①当四边形PQE。是平行四边形时，如图2所示：

图2

则/£>=QE,

vOE/MC,

/.ZgEB=ZC=60o,

vZe^=60°,

••••便是等边三角形,

:.QB=QE=PDf

•/AD=6,

.\PD=6-3t,

=6—3/9

3

t=-!

2

②当四边形PDQE是平行四边形时，如图3所示:

D

Q

图3

则PD=QE,

同①得：ABQE是等边三角形，

,QB=QE=PD,

,/AD=6,

..PD=3t-6f

.'.t=3t—6,

z=3；

3

综上所述，当r为9s或3s时，使得以P,Q,E,。为顶点的四边形是平行四边形.

2

2.

解：（1）:打点的坐标是（4,7）.点、D,E分别在OC,C8边上，且CE：EB=5：3,

，点E坐标是（：，7）,

2

:四边形0ABe为矩形，

：.BC=AO=4,0C=AB^l,CE=~,BE=BC-CE=-,

22

:将矩形沿直线。E折叠，点C落在A8边上点尸处，

：.EF=CE=~,

2

：.BF=y/EF2-EB2=后=2,

：.AF=l-2=5,

点尸（4,5）；

（2）如图2中，连接PF交DE于J,过点。作。

B

当四边形PEF。是矩形时，△POEgZSFQE之△CEQ,

设OD=x,则CD=DF=7-x,FM=7-2-x=5-x,

在中，42+（5-X）2=（7-X）2,解得：x=2,

：.D(0,2),

，：E(-,7),DJ=JE,

2

59、

—,—)f

42

'：PJ=JF,

：.P(-J4)；

2

（3）①当OF为菱形的对角线时，M、N分别在A8与OC上ND=NF,

37

^-2)2=(4-0)-+(5解得：y=—

o

373725

/.TV(0,—),FM=DN=--2=—

666

：.AM=5--5

6"6,

：.M(4,-)；

6

②当OF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合，ND=DF=5,

：.M(4,10),N(0,7)；

③当Ob为菱形的边时，N在。。的延长上，点M与点A重合，ND=DF=5,

：.025-2=3,

综上所述：M,N的坐标为：（4,5（0,3：7）或（4,10）,（0,7）或（4,0）,（0,-3）.

66

3.

VZDFC=90°,ZC=30°,DC=2t,

:・DF=t,

又

：.AE=DF.

（2）①存在.

理由如下：如图2①，

图2①

'：AB±BC,DF±BC,

：.AE//DF,

5L'：AE=DF,

四边形AEFD为平行四边形，

；AC=12,

：.AD=-AC-DC=12-2t,

若使平行四边形AEF。为菱形，则需AE=AO,

."12-It,

解得：t—4,

...当f=4时，四边形AEF。为菱形.

②如图2②，

(i)若/E£>F=90。时，四边形EBFC为矩形，

在RQAEZ)中，/AED中，ZADE=ZC=30°,

：.AD=2AE,

即12-2t=2t,

解得：f=3.

(ii)若NOEF=90。时,

•••四边形4EFD是平行四边形，

J.EF//AD,

：.NADE=NOE'尸=90°,

"?ZA=90°-ZC=60°,

ZAED=90°-60°=30°,

：.AD=^AE,

24

解得：r=y.

(iii)若NOE/=90。时，此种情况不存在，

24

综上所述，当f=3或，=可时，△£＞石b为直角三角形.

4.

(1)①・・,四边形A8CD为正方形，

AAD=CD=BC,Z4DC=NC=90。，

/.NZME+NAED=90。，

•:AErDF9

：.NCOHNAED=90。，

:.NDAE=NCDF,

ZADE=ZC

在△AOE和△OCF中，＜AD=BC,

/DAE=NCDF

**•^ADE^=^DCF9

：.DE=CF,

YE为。。的中点，

・・.DE=-CD,

2

：.CF=-BC

2f

：.BF=CF.

②如图，过点c分别作/于4

VZFCH+ZCFD=9009NEDO+NCFD=9。。,

ZEDO=ZFCHf

/DOE=/CHF

在^CHF和^DOE中,/EDO=NFCH,

DE=CF

・•・MCHF丝XCGE,

:・CH=OD,

9：AE±DF,CHLDF,

：.AE//CH,

•・,点E为CD中点，

：,OE为公CD"的中位线，

：・OD=OH,DH=2OH,

:・CH=OH,

是等腰直角三角形，

,OC=OCH,

_,\CH=OD

在△AO。和△£>〃(?中，<",

[AD=CD

:./\ADO^/\DCH,

：.CH=OD=OHfAO=DH=2OH=2CH,

AO2CH仄

(2)如图，延长。C至UP使CO=CP,连接AP,交BC于F,

AB=AD

在△AOE和AAB尸中，]ZABF=Z.ADE,

BF=DE

：.AADE^AABF,

：.AE=AF,

,/ZBCD=90°,CD=CP,

:・DF=PF,

：.AE+DF=AF+PF=AP,

•・•点A、F、尸在一条直线上，

・•・AP的长为AE+DF的最小值，

*.*AB=乐,

AD=CD=>f\5,DP=2AD=2\[l5,

:・AP=ylAD2+Dp2=56即AE+Ob的最小值为56.

故答案为：5A/3

5.

(1)证明：如图①中,

ED

图①

在正方形ABC。中，ZBAD=90°,AD=CD,

：.ZDAC=ZACD1

在ABE中，/AEB=90°-/ABE,

•；FM1.BE,

・•・NBMF=90。,

：.ZCMF+ZCMB=90°9

NCMB=90O-NCMF,

ZAME=ZCMB=90°-ZCMF,

在AAME中，ZEAM+ZAME+ZAEM=180°,

ZEAM+(90°-ZCMF)+(90°-ZA5E)=180°,

I.NABE+/CMF=NEAM,

：.ZABE+ZCMF=ZACD；

(2)证明：如图②中，作M”〃8C交CO于"，交A8于G.

图②

•:GH〃BC,

：.ZAGH=Z.ABC=9G°,ZGHD=ZDCB=90°f

JZGBC=ZCHG=ZGBC=90°,

・•・四边形BGHC是矩形，

CH=BG,

u

：ZHCM=ZCMH=45°f

:・HM=CH,则

・・・ZBMF=90°,

AZBMG+ZHMF=90°fNHMF+NMFH=90。,

・・・/BMG二/MFH,

:,/\BGMW/\MHF(A4S),

：・BM=FM；

(3)解：如图③中，延长。。到P,使得CP=AE,连接E凡BP.

\9AB=BC,NBAE=NBCP=90。,AE=CP,

：./XABE^^CBP(SAS),

：・BE=BP,NABE=NCBP,

・・•ZABE+ZEBC=ZABC=90°,

JNCBP+NEBC=90。,即ZEBP=90°,

9：BM=MF,ZBMF=90°,

：.NMBF=45。,

；・NPBF=NEBF=45。,

•；BF二BF,

:•△BEgABPF(SAS),

:,EF=PF,

VAE:AD=1:2,

：.AE=DE=-AD

29

■;BC=AD=CD=AB=6,

：.AE=DE=3f

设CF=/n,则。F=6-m,PF=3+m.

,:EF=PF,

；・EF=3+m,

在R/ZkQEF中，VE^DE^DF2,

32+(6-m)2=(3+m)2,

解得m=2,B|JCF=2,

在Rt&BCF中，BF=y/cF2+CB2=及+G=2西.

6.

(1)证明：在边DA上截取线段。尸，使。尸=M3连ME.

C

D

MBQP

・・•四边形ABC。是正方形

/.AB=BC=CD=AD;NDAB=ZABC=/BCD=NCDA=90。

NCBP=180°-ZABC=90°

•；BN平分NCBP

/.NCBP=45。

/NBM=ZABC+NCBN=90°+45°=135°

\DF=MB,AD=AB

:.AD-DF=AB-MB

:.AF=AM

在用△EW中,AF=AW,

/.ZAFM=ZAMF=45°

/.MFD=180°-ZAFM=135°

:.NMFD=/NBM

vZDM/V=90°

/.ZNMB+ZDMA=180°-90°=90°

-ZDMA+ZMDF=90°

"NMB=/MDF

在AMD尸和ANMB中

NMFD=/NBA

<DF=MB

NMDF=4NMB

：.AA/DF^AWB(ASA)

:.DM=MN.

(2)如图，

设0M与CE的交点为”,

•・,四边形ABCQ是正方形

AD=DC,ADAM=ZCDE=90°

ZDMN^9Q°,CE//MN

NDHC=90°,

ZHDC+NDCH=90°

:.AHDC+ZADM=90°

：.NDCE=AADM,

2CDE=NDAM

在△£»€：和△M4D中，\AD=DC

NDCE=Z.ADM

△E£>C^AA£4Z）（ASA）.

:.EC=DM又DM=MN,

:.EC=MN又ECHMN.

，四边形EMVC为平行四边形.

EM//CN.

（3）解：如图所示，过N作NQLAP垂足为Q.

由（2）知，△£»（7四△MW

：.DE=MA,

又AO=A8

/.AD-DE=AB-AM^AE=MB=\

BN平分ZCBP所以NNBQ=45°,

三角形NBQ是等腰直角三角形，

在RSNBQ中,

设8Q=x,则NQ=BQ=x,即工2+/=（3&『,

..x—3.

:.NQ=3,MQ=l+3=4,

在Rf.MQN中,=5，

又：在RrJDMV中，MN=5,DM=5,

.\DN=yj52+52=5y/2-

7.

解：（1）MC_LMG且MC=MG；

理由：如图1,延长GM交OC于点”,

图1

•/四边形ABCD和BEFG是正方形，

：.DC=BC,BG=GF,ZFGB=ZGCD=ZDCB=9Q°,

C.CD//GF,

：.NCDM=NGFM,

,••点M是OF的中点，

：.DM=FM,

在小。40和4FGM中，

ZCDM=ZGFM

<DM=FM,

NDMH=NFMG

：./XDHM^/\FGM(ASA),

:.DH=FG,MH=MG,

：.DC-DH=BC-BG,

即HC=GC,

.•.△”CG是等腰直角三角形，

；MH=MG,

：.MC.LMG且MC=MG；

故答案为：MCLMG,MC=MG；

(2)如图2,延长GM交OC于点儿

图2

四边形ABCD和BEFG是正方形,

ZFGB=ZGCD=ZDCB=90°,

：.CD//GF,

：.ZCDM=ZGFM,

•.•点M是。尸的中点,

：.DM=FM,

在△。〃加和4尸GM中，

ACDM=/GFM

DM=FM,

/DMH=/FMG

:.XDHMQAFGM(ASA),

・・・MH=MG=gHG,

,/ZDCB=90°,

•••△”CG是直角三角形，

:・CM*HG,

:・MG=MC；

(3)如图3,延长GM交QC于点儿

DM=FM,

・・•四边形A8CD和比尸G是菱形，点A、B、E在同一条直线上,

：.DC//GF,

；・NCDM=/GFM,

在40HM和4bGM中，

ZCDM=4GFM

<DM=FM,

NDMH=/FMG

:•△DHMW/XFGM(ASA),

:・HM=GM,DH=FG,

■;CD=CB,FG=GB,

：.CD-DH=CB-FG,

即CH=CG,

是等腰三角形，

・・・MC_LMG,NHCM=/GCM,

：.NCMG=90。,

•・・ZABC=60°,

：.ZDCB=nO°f

NGCM=GZDCB=60°,

：.ZCGM=900-ZGCM=30°,

.••△CPG中，CG=2MC,由勾股定理得：MC2+MG2=CG2,

J.MC^+MG2^(2MC)2,

KMC=MG,

.MCx/3

••----=----.

MG3

8.

解：(1)•・•动点尸的运动速度为2单位/秒，

:,BP=2t,

・•・当，=3时，

3P=2x3=6,

故答案为：6；

(2),.・A8=C。，AD=BCf

・・・四边形ABCD是平行四边形，

:.ADHBC,

：.NAFB=NCBF,

如图1,作NA8C的角平分线交AO于F,

，ZABF=NAFB,

：.AF=AB=4f

Z.DF=8-4=4,

・,•点P运动到NABC的角平分线上时，

BC+DC+DF=8+4+4=16,

t=16:2=8,

，当f=8时，点尸运动到NA8C的角平分线上;

故答案为：8；

(3)VBC+CD=8+4=12

工当0V/V6时，点P在3c上和CD上，

分两种情况讨论：

①当点P在8C上运动时，0V/W4,

过点4作4时，82

；NB=60。，

在肋△ABM中，N&4M=30°,

.•.BM=gAB=3,

AM=-JAB2-BM2=V62-32=3>/3，

此时，S=SAABP=yxBPxAM=1X2/X2G=2豆«0<f44)；

②当点尸在CO上运动时，4<Z<6,如图，

△ABP的面积为定值，且等于平行四边形ABC。面积的一半,

此时，S=SzABP=qxBCxAM=gx8x26=8g(4<r<6)；

2①(0</<4)

综上,

8^(4<r<6)

（4）①当点P运动到/BAD的角平分线上时,

连接4P,过点尸作PMJ_A8,PN1.AD,

此时PM=PN,即点尸到四边形ABED相邻两边AB和AD的距离相等,

,JAD//BC,

：.ZDAP=^APB,

又平分NBA£>,

：.ZBAP=ZDAP,

:.NBAP=NAPB,

：.BP^2t=BA=4,

解得：f=2,

②当点P与运动到CO边上时，过点P作尸M_LA£>,PNLDE,

・・・NOCE=N8=60°,

又<CD=CE=4,

•••△CQE是等边三角形，

/.ZCDE=60°,

ZADC=ZCDE,即CO平分/ADE,

.••当43V6时，点尸在NAOC的角平分线上运动，

此时，点尸到四边形A8E。相邻两边A。和OE的距离相等.

综上：1=2或4</<6时，点尸到四边形ABED相邻两边距离相等.

9.

(1)证明：:四边形ABCD是平行四边形，

JAD=BCABIIDC,

：・ZBAF=ZDFA.

•/AE平分

J4BAF=4DAF,

NDAF=NDFA,

：.DF=DAf

：.DF=BC.

(2)解：ADFGQ&BCG.

理由：•・,点G为EF的中点，GF=GC,

:.GE=GF=GC,

:.NE=ZGCE,4GCF=NGFC,

・•・ZGCE+ZGCF=-xl80°=90°,

2

NFCE=NDCB=90。,

?.NE+/EFC=9U。.

•・,四边形ABCD是平行四边形，

・•・ADUBC,

:.ZE=ZDAF=ZFAB=ZDFA=ZEFC=45°,

：.ZGCB=ZGCF+ZDCB=900+45°=135°,ZDFG=180O-ZGFC=135°,

・•・ZDFG=ZBCG.

在ADFG和aBCG中，

DF=BC,

NDFG=ZBCG,

GF=GC,

:.△DFGq/\BCG(SAS).

(3)解：由(2)知，ZDCB=90°,

•••四边形ABC。是平行四边形，

四边形A8C。是矩形，

:.ZABC=90°,BD=AC

由(2)知，NE=/网8=NEFC=45°,

.♦.△ECF和△ABE是等腰直角三角形，

J.CGA.EF,B|JZCGB+ZBGF=90°

ADFG三ABCG(SAS),

ADGF=ZBGC,DG=BG,

：.NDGF+NBGF=90。,

：.ZBGD=90°

:ZGD是等腰直角三角形.

在等腰直角三角形ABE中;AB-8E=32,

AB=BE=8.

在RdABC中，BC=BE-EC=8-2=6,

AC=y/AB2+BC2=>/82+62=10

在等腰直角三角形BGD中8£>=4C=10,DG=BG=^=572,

:.l=BD+BG+DG=\Q+5^2+5>/2=]0+]Q-j2

10.

解：(1)•.•|a-3|+"-4=0,

.•.a-3=0力-4=0,

a=3,b=4,

根据平面直角坐标系得，

A(3,0),8(3,4),C(0,4),

(2)如图1,当P运动3秒时，点尸运动了6个单位长度，

•.•AO=3,

；•点运动3秒时，点P在线段AB上，且AP=3,

二点的坐标是P(3,3),

过点P作OA的平行线，交OC于点Q,

y

Q

o

图1

根据平行线的性质，内错角相等可得,

NBCP=NQPC,ZAOP=ZQPO,

ZCPO=ZCPQ+ZQPO

Z.CPO=NBCP+ZAOP.

(3)存在，

如图2,•.1*(),

图2

；•点可能运动到AB或BC或0C上，

①当点P运动到AB上时，2f47,

7

/.0</<—,P}A=2t-OA=2r-3,

2r-3=-z,

2

解得：t=2,

・•.[A=2x2-3=1,

・・・点)的坐标为(3,1)；

7

②当点P运动到8C上时，7<2r<10,即：力《5,点乙到x的距离为4,

Z=4,

2

解得：，=8,

•.・不符合题意;

③当点P运动到OC上时，10<2r<14,BP5<r<7,

I}O=0A+AB+BC+OC-2t=14-2tf

2

no

解得：

n八c28-14

鸟0——2x----F14—―^~f

14

•・•点8的坐标为（0,《），

综上所述，点尸运动f秒后，存在点尸到X轴的距离为卜个单位长度的情况，点的P坐标为：（3,1）或

（0,y）.

11.

解：（1）结论：PM=PN.

理由：如图1中，

四边形ABCD是正方形，

・・・8。平分NA8C,

•・・PM_LA8,PN1BC,

：.PM=PN.

故答案为：PM=PN.

（2）结论：PM=PN.

理由：如图2中，过点尸作PE_L8C于E,PFLAB^F.

图2

・・,四边形48co是正方形，

・・・3。平分NA5C,

VPF1AB,PELBC,

：.PE=PF,

・・・ZPEB=ZPFB=ZEBF=90°,

JZ£PF=90°,

/MPN=/EPF=900,

：./MPF=NNPE,

,/NPFM=/PEN=90。,

:./\PEN沿4PFM(AAS),

:,PM=PN.

(3)如图3中，过点P作PQ_L8C于Q,PRLAB^R.

图3

•・•四边形A8CO是菱形，

・・・BQ平分/A8C,即NP8A=NP8C=30。，

VP2±BC,PR上AB,

：・PQ=PR=gPB=3,

:・BR=BQ=36

VZ/4BC=60°,NPQB=NPRB=9。。,

：.ZQPR=360^60°-2x90°=120°,

VZMP^=120°,

:・/MPN=/QPR,

：.ZMPR=/NPQ,

/PRM=NPQN=9。。,

：./\PRM^APQN(AAS)f

:・S/RM=SAPQN,

：.S解形PMBN=S四边形PRBQ=2x；xPRxBR=9ji.

12.

解：(1)证明：・・•四边形A8CO与四边形AE尸G均为正方形,

・・・NBAO=NE4G=90。，AG=AE9AB=ADf

：.ZBAD+NBAE=ZEAG+NBAE,

即NE4Q=NG43,

:AEAD*/\GAB(SAS),

：・BG=DE；

(2)证明：由(1)知△E4Dg/\G48,

：.ZBGA=ZDEAf

VZBGA+ZGMA=90°,/AMG=/EMH,

：.ZDEA+ZEMH=90%

:.BGLDE,

：.DH2+GH2=DG2；

(3)当正方形ABC。绕点A逆时针旋转180。时，Si=S2.

证明如下：①当0。＜/84日＜90。时，如图1,

图1

过点D作DPLGA交GA的延长线于P,过点B作8N_LAE交4E的延长线于N.

ZPAN=ZBAD=90°f

：.ZNAB+ZBAP=90°tZBAP+ZPAD=90°f

：.ZNAB=ZPAD1

又/ANB=NAPD=90°,且A3=AO,

•••△ANBgAAP。(SAS),

・・・BN=DP,

又・・・4E=AG,

・・・；AE・5M="G・£W,

•*-S1=S2；

②当N84E=90。时，如图2,

U

：AE=AG,NBAE=NZMG=90。，AB=ADf

：./\ABE^/\ADG(SAS),

AS/=S2；

③当90°VN8AEV180。时,如图3,

c

图3

过点8作BN_L直线AE于点N,过点。作£>P_L直线AG的延长线于点P.

则NANB=NAPC=90。，

由正方形ABC。，得到/BAO=90。，HAB=AD,

•.•NaiN=NBA£）=90。，

：.ZNAB+ZDAN=^90°,ZDAP+ZDAN=90°,

：.NNAB=4DAP,

：.^ANB^^APD（AAS）,

：.BN=DP,

又：AE=AG,

』AE，BN=3AG，DP,

S1=S2,

综上所述，在（3）的条件下，总有S/=S2.

13.

解：（1）FG=CE,FG//CE；

理由：如图1中，设OE与。尸交于点M.

•・,四边形4BC。是正方形，

:・BC=CD,NA5C=NDC£=90。,

在^C3/和△OCE中，

BF=CE

<Z.CBF=4ECD,

BC=CD

:,ACBF义ADCE(SAS),

AZBCF=ZCDEfCF=DE,

VZBCF+ZZX：M=90o,

：.ZCDE+ZDCM=90°f

AZCMD=90°,

：.CFLDE,

■:GE1.DE,

：.EG//CFf

■:EG=DE,CF=DE,

:,EG=CF,

・•・四边形EGFC是平行四边形.

:.GF=EC,

:・GF=EC,GF//EC.

(2)结论仍然成立.

过点G作GHLCB的延长线于点H,

：.NGEH+/DEC=90。,

,/NGEH+/HGE=90。,

：.ZDEC=ZHGEf

在^HGE与ACEO中，

NGHE=/DCE

,/HGE=/DEC,

EG=DE

:・4HGE乌/\CED(A4S),

：.GH=CE,HE=CD,

•；CE=BF,

：.GH=BF,

,:GH〃BF,

・•・四边形G”8尸是矩形，

AGF=BHfFG//CH,

：.FG//CEf

四边形ABCD是正方形，

CD=BC,

・HE=BC,

：.HE+EB=BC+EB,

：・BH=EC,

工FG=EC；

(3)成立.

・・•四边形ABC。是正方形，

：.BC=CD,ZFBC=ZECD=90°,

在^CBF与公QCE中，

BF=CE

</FBC=/ECD,

BC=DC

.".△CBF^ADCE(SAS),

:・/BCF=NCDE,CF=DE,

♦：EG=DE,

:・CF=EG,

VDEIEG

NDEC+NCEG=90。

•・・ZCDE+ZDEC=90°

：.ZCDE=ZCEG,

:・/BCF;NCEG,

:,CF〃EG,

・•・四边形CEGF平行四边形，

：.FG//CE,FG=CE,

14.

证明(1)•:PF=PE,

：.NPFE=NPEF,

・•・四边形48co是正方形，

：.AD//BC,

：.ZDAP=ZAEFf/ADP=/PFE,

：.ZDAP=ZADP1

：.AP=DP；

t

(2)：AP=AB=ADf

：.ZABP=ZAPB,/APD=ZADP,

••'NBA尸+NO4P=90°,

・・・ZABP+ZAPB+ZAPD+ZADP=21QQ,

：.ZBPA+ZAPD=135°,

：.ZDPG=45°；

(3)如图，连接CN交BG于,过点N作NL_LW于L,NKIGQ于K,过点。作C”，C7,交BG于

H,

图3

,:CM〃DN,CM=CF=DN,

・・・四边形DPCN是平行四边形，

，ZNIK=ZDPQ=Z/7/C=45°,

・•・AHCI是等腰直角三角形，

：.CH=Ch/HCI=/BCD,

；・/BCH=/DCI,

:.丛BCH空丛DC1(SAS),

；・NDIC=NBHC=135。,

；・NDIH=9U0,

・・・N/是NO/Q的角平分线，

:・NL=NK,

•//NLI=/NKI=/LIQ=90。,

・・・四边形"KN是矩形，

；・NLNK=90。,

:./DNL=NKNQ,

•••△ONLdQNK(ASA),

:・DN=NQ,

•；DN=CF,

：.CF=NQ,

:・BF=BC-CF=MN-NQ=MQ=6,

\*AP=AB=ADf

：.NAPD=NADP,

■:AD//BC,

:./ADP=DFE,

:・DFE=/FPE,

:.EF=PE=2,

・・・B£；=8,

在心A48E中，由勾股定理得：

AB2+BE2=AE2,

：.AB2+82=(A3+2)2,

解得：AB=\5.

15.

解：(1)如图1中，

图1

在正方形48co中，DC=BC,ZD=ZABC=ZDCB=90°t

：.ZCBF=180°-ZABC=90°,

VCF1CE,

.\ZECF=90°,

・・・NDCB=NECF=90。

:・/DCE=/BCF,

：./\CDE^/\CBF(ASA).

(2)结论：PE=PF.

理由：如图1中，•:△CDEWXCBF,

：.CE=CFf

•；PC=PC,/PCE=NPCF,

/.△PCE^APCF(SAS),

：.PE=PF,

(3)如图2中，作EH_LAD交BD于H,连接

图2

•・•四边形A3。是正方形，

：.AB=AD=6,ZA=90°,NEDH=45。,

\*EH±AD,

：.ZDEH=乙4=90。，

：.EH//AF,DE=EH=2,

VACDE^ACBF,

:,DE=BF=2,

:・EH=BF,

•:/EHM=/MBF,NEMH=NFMB,

:•丛EMH沿丛FMB(4AS),

•：EM=FM,

,:CE=CF,

・・・PC垂直平分线段E凡

：.PE=PF,igPB=x,贝ijPE=PF=x+2,44=6-x,

在RSAPE中,则有(x+2)2=42+(6-x)2,

.*.x=3,

：.PB=3.

16.

解：(1)由运动知，AQ=tfBP=2t,

vAD=8,3c=10,

DQ=AD-AQ=(S-,PC=BC-BP=(\0-2t)(cm),

故答案为(8T)(cM,(10-2r)(c/77)；

(2)•・•四边形PQDC是平行四边形，而AD/ABC,

DQ=PC,

由(1)知，DQ=8T,PC=10-2r,

.\8-r=10-2r,

=2,

即：E=2S时，四边形尸QQC是平行四边形；

(3)由(1)知.4Q=f,BP=2t,DQ=(S-t)(cm),PC=(10-20(c/n),

••・AOPQ是等腰三角形，且。Q#DP,

①当DP=QP时，

•・•点P在。。的垂直平分线上，

AQ+^DQ=BP,

Z+—(8—z)=2/,

8

"Z=3，

②当。。=22时，如图，

I、过点。作。七，8。于E,

/.NBEQ=NOEQ=90。,

•:ADIIBC,4=90。，

/.ZA=ZB=90°,

四边形A8EQ是矩形，

：.EQ=AB=6fBE=AQ=t,

:.PE=BP-BE=t,

在RtZXPEQ中，PQ=4PE?+EQ2="+36,

,，\+36=8-f，

7

f=一,

4

•・•点尸在边3C上，不和C重合，

2r<10,

..O,,r<5,

,此种情况符合题意，

17.

解：(1)OE=OF,

理由：'JMN//BC,

；.NOEC=NBCE,NOFC=NDCF,

又：CE平分NBC。，CF平分NOCO,

；.NOCE=NBCE,ZOCF=ZDCF,

：.ZOCE=ZOEC,ZOCF=ZOFC,

：.EO=CO,FO=CO,

：.OE=OF；

(2)不可能.

如图所示，连接8凡

；CE平分NACB,CF平分NACQ,

/.ZECF=1ZACB+^ZACD=^（乙4CB+/4CQ）=90°,

若四边形BCFE是菱形，则BFLEC,

但在AGFC中，不可能存在两个角为90。，所以不存在其为菱形.

（3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.

理由如下：

,/当点O运动到AC的中点时，AO=CO,

又,：EO=FO,

四边形AECF是平行四边形，

,: