【2021浙江中考数学】方程在几何中的应用含答案

方程在几何中的应用

Q知识聚焦

利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角度关系.

B典例分析

例1如图S2—1,Zl=75°,AB=BC=CD=DE=EF,则NA的度数为

ABDF

（图S2-1）

例2如图S2-2,在6c中，AC=BC=AD,EB=EA,DB=DE,则/C=

物I归纳提炼

(1)推导角度关系时，常常利用等腰三角形—的性质，也可利用三角形的外角等于一

的性质.

B同步练习

1.如图S2-3,在△ABC中，AB=AC,点P,Q分别在AC,AB上，S.AP=PQ=QC

=BC,则NA=_.

A

（图S2-3）

2.如图S2—4,在△A8C中，AB=BC=CD,AD=AEtDE=BE,则/C的度数为一.

（图S2-4）

Q知识聚焦

在折叠问题中利用勾股定理构造方程.

超典例分析

例3如图S2-5,折叠长方形的一边A。，使点。落在边6c上的点尸处，若A6=8,

BC=10,则EC的长为.

（图S2-5）

例4直角三角形纸片A8C的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图S2—6折叠,

使点4与点△重合，折痕为则。E的长为

（图S2-6）

必归纳提炼

(2)解决折叠问题时，我们往往将边的数量关系集中在一个一三角形，再利用一构造方

程.

s同步练习

3.如图S2-7,在RtZ\A6c中，A6=9,6c=6,ZB=90°,将△?16c折叠，使点A

与8c的中点。重合，折痕为MM则8N=.

（图S2-7）

4.如图S2-8,在矩形A8CO中，AB=S,BC=6,尸为边AO上一点，将△A8P沿8P

翻折至^破产,PE与CD相交于点。,BE与CD相交于点G,且OE=OD,则AP=.

s知识聚焦

图形中若有直角三角形，利用勾股定理构造方程，是求线段长度的常用方法.

B典例分析

例5如图S2-9,已知AB=13,8c=14,AC=15fAO_L6C于点O,则AO=

（图S2-9）

例6如图S2-10,在△ABC中，NACB=90。，AC=8C,点。在边AC上，CELBD

于点E,若AO=5,CE=12,则48=

物I归纳提炼

(3)若两个直角三角形有公共边，则利用—可以将这两个三角形的其他边建立关系.

Q同步练习

5.将两张大小相同的纸片，每张都被分成7个大小相同的矩形，放置方式如图S2—11,

重合的顶点记作A,顶点C在另一张纸的分隔线上，若无，则A8的长为

6.如图S2—⑵正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边48,A。上，若CE=34,

且/EC尸=45。，则C7的长为2回.

（图S2-12）（图DS2-2）

Q知识聚焦

寻找相似三角形，利用比例线段构造方程.

s典例分析

例7在矩形ABC。中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图S2-13放

置，则矩形A8CO的面积为一.

例8如图S2-I4,在RlZ\4BC中，ZC=90°,48=5,8c=4.点P是边AC上一动点,

过点P作尸。〃A8,交于点Q,。为线段PQ的中点，当3。平分N48。时，4P的

长度为_.

（图S2-14）

归纳提炼

(4)条件中既有平行线，又有角平分线，则一定出现.

s同步练习

7.如图S2-15,已知点C为线段A8的中点,COJ_4B且CD=AB=4,连结AD.BELAB,

AE是NZM8的平分线，与OC相交于点尸，EHLDC于点G,交4。于点“，则”G的

长为_.

D

A

（图S2-15）

8.如图S2—16,在△ABC中，AB=6,BC=5,AC=4,40平分NB4C,AZ）的垂直

平分线EF与AO相交于点E,与BC的延长线相交于点F,那么4尸=

（图S2-16）

Q知识聚焦

在以圆为背景的问题中寻找方程.

s典例分析

例9如图S2-17,在矩形ABCO中，AB=4,AD=8,点E,r分别在边AO,8c上,

且8E=E凡若E尸与以CO为直径的圆恰好相切，求AE的长.

（图S2一⑺（图DS2-3）

例10如图S2-18,己知半圆。的直径A8为12,OP=1,C为半圆上一点，连结CP.

将CP沿着射线AB方向平移至DE,若OE恰好与。。相切于点D,求平移的距离.

（图S2—18）（图DS2-4）

四|归纳提炼

(5)利用一三角形或一三角形的性质构造方程是解决含圆问题的常见方法.

s同步练习

9.如图S2—19,。。是等腰直角三角形△48C的外接圆，点。是正上的一点，BD交

4

4c于点E,若8C=4,AD=y求A£的长.

（图S2-19）

10.如图S2—20,在。。中，弦BC,DE交于点P,延长B。，EC交于点A,BC=10,

BP=2CP,若器=|，求的长.

1.若等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和27的两部分，则这个等腰三

角形的底边长是(A)

A.6B.22

C.6或22D.10或18

2.如图ZS2-L点8,C在NOAE的边上，AB=BC,CB=CD,NEBD=75°,则NA

的度数是（）

E

A.30°B.40cC.45°D.50°

3.如图ZS2-2,在直角三角形ABC中，NC是直角，G为A8上一点，过点G分别作

AC,8c的垂线，垂足分别为E,F,若四边形EG/C是正方形，AE=4,尸8=9,则正

方形EGFC的边长是

（图ZS2-2）

4.如图ZS2-3,在矩形A8CO中，A8=8,40=12,过A,。两点的。。与8。边相

切于点£则。。的半径为

（图ZS2-3）

5.如图ZS2—4,在RtZXABC中，在NACB=90。,AC=4,BC=6,以斜边45上的一

点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点。，E,则AO的长为.

E

D」

AB

O

（图ZS2-4）

6.如图ZS2—5,在矩形48co中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，使点。落在

点。处，则重叠部分△AFC的面积为一.

（图ZS2-5）

7.将三角形纸片ABC按如图ZS2—6的方式折叠，使点8落在边AC上，记为点方,

折痕为EE已知AB=AC=6,BC=8,若以点夕，F,C为顶点的三角形与△ABC相似,

则的长是

（图ZS2-6）

8.如图ZS2—7,NC4B=90。，AB=BD=4,C8_L8。交AO于点E,BE=\,则AC=

（图ZS2-7）

9.如图ZS2—8是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间的小等边三角形的边长是1,

则六边形的周长是—.

（图ZS2-8）

10.某杂志的徽标是我国古代“弦图”的变形（如图ZS2—9）,该图可由RI/XA8C绕点

O同向连续旋转三次（每次旋转90。）而得，有“数学风车”的动感.假设中间小正方形

的面积为1,整个徽标（含中间小王方形）的面积为92,40=2,则徽标的外围周长为一.

（图ZS2-9）

11.如图ZS2—10,在△A8C中，AC=6,BC=8,若AC,3c边上的中线BE,垂

直相交于点。则A8=_.

（图ZS2-10）

12.如图ZS2-11,在矩形A8CO中，点E是AO的中点，连结BE,将△A6E沿着BE

翻折得到△尸8E,EF交BC于点H,延长8F,DC相交于点G,若DG=16,8c=24,

贝ljFH=.

（图ZS2-U）

13.如图ZS2—12,在△ABC中，D,E两点分别在边BC,AB±,DE//AC,过点E

作痔〃。。交NAC8的平分线于点尸，连结OF,若NEDF=NB,且8c=4,80=1,

则EF的长是—.

（图ZS2一⑵（图DT2-3）

14.如图ZS2—13,在在边长为2的等边三角形ABC中，。，E分别在BC,4C上，且

AE=CD,AD,8E相交于点尸，连结PC,若NCPD=/PBD,求5。的长.

A

15.如图ZS2-14,已知。。的半径为1,A3,AC是。。的两条弦，且A8=4C,延长

B0交AC于点O,连结0A,03^AD2=ABDC,求0。的长.

（图ZS2-14）

答案

专题提升（二）方程在几何中的应用

s知识聚焦

利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角度关系.

超典例分析

例1如图S2-1,Zl=75°,AB=BC=CD=DE=EF,则NA的度数为15。

ABDF

（图S2-1）

例2如图S2-2,在△A6C中，AC=BC=AD,EB=EA,DB=DE,则NC=72。

（图S2-2）

【解析】设八D-N人则NE8O—ZBAC-ZABC-3xtNC

=NAOC=4尤在△A5C中，3x+3x+4x=180°,解得x=18。，AZC=72°.

物I归纳提炼

（1）推导角度关系时，常常利用等腰三角形等边对等角的性质,也可利用三角形的外

角等于―与它不相邻的两个内角的和—的性质.

B同步练习

1.如图S2—3,在△A8C中，AB=AC,点P,Q分别在AC,AB上，ti.AP=PQ=QC

=BC,则NA=

A

（图S2-3）

2.如图S2-4,在△ABC中,43=BC=CO,AO=AE,DE=BE,则/C的度数为36。

（图S2-4）

【解析】设NEDB=NEBD=x,则NAOE=NAED=2x,ZC=ZA=180°-4x,ZCDB

=ZCBD=2x.VZ/lDC=2x+x+2x=180°,.,.x=36°,AZC=36°.

Q知识聚焦

在折叠问题中利用勾股定理构造方程.

B典例分析

例3如图S2—5,折叠长方形的一边AD使点。落在边BC上的点/处，若A8=8,

8C=10,则EC的长为3.

BC

（图S2-5）

【解析】由折叠，得4尸=4。=10,

BF=\JAF2AB2=6,

・・・C尸=4.设EC=x,则E尸=QE=8—x.

在RtaCW中，(8-X)2=424-Z

解得x=3,：.EC=3.

例4直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△4BC按如图S2—6折叠,

使点A与点8重合，折痕为OE则DE的长为_竽_.

（图S2-6）

物I归纳提炼

⑵解决折叠问题时，我们往往将边的数量关系集中在一个_直角一三角形，再利用_

勾股定理构造方程.

B同步练习

3.如图S2-7,在RtZXABC中，A8=9,BC=6,ZB=90°,将△ABC折叠，使点A

与8c的中点£＞重合，折痕为MN,则BN=4.

（图S2-7）

4.如图S2-8,在矩形A8C。中，48=8,BC=6,P为边AD上一点,将AABP沿BP

翻折至△EBP,PE与C。相交于点。与C。相交于点G,且。E=OQ,则4P

E

D0^^\G

(图S2-8)

【解析】由已知可得，△ODPgfXOEG,

：,OP=OG,DP=GE,：.DG=EP.

设A?=EP=x,则GE=OP=6—x,DG=x,

/.CG=8—x,8G=8—(6—x)=2+x.

在RlZXBCG中，62+(8-X)2=(A+2)2,

解得X=4.8,：.AP=4.8.

Q知识聚焦

图形中若有直角三角形，利用勾股定理构造方程，是求线段长度的常用方法.

B典例分析

例5如图S2-9,已知A8=13,8c=14,AC=15,AD_LBC于点。，则A-=12

(图S2-9)

【解析】设BD=x,则DC=\4-x.

,：AB2-BD2=AD1=AC2-Cb1,

132—^=152—(14—x)2»解得x=5,

：.AD=\2.

例6如图S2-10,在△A5C中，NAC8=90。，AC=BC,点0在边AC上，CELBD

于点E,若AO=5,CE=12,则48=_2即_.

【解析】如图DS2—1,补全正方形A网5C,延长CE交A尸于点G.由CG_L8D,得

CD=AG.

•/DE1=DG2-GE2=DC2-CEr,

22

：.DG-AG=GE^~CE7t

即52=EG2-122,・・・EG=13.设AG=CO=X.

在△ACG中，f+(5+x)2=(12+13)2,

即(x+20)(x—15)=0,解得x=15或x=—20(舍去)，

故48=2071

物I归纳提炼

(3)若两个直角三角形有公共边，则利用一勾股定理.可以将这两个三角形的其他边建立

关系.

s同步练习

5.将两张大小相同的纸片，每张都被分成7个大小相同的矩形，放置方式如图S2—11,

重合的顶点记作A,顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC=y[2S,则AB的长为，啦

【解析】设小矩形的宽为x,则A8=AC=7x,可得BC2—/=AC2—（6X）2,即（，函2

一寸=（7力2—（6幻2,解得汨=也，12=一也（舍去），・・・A8=7啦.

6.如图S2—12,正方形48co的边长为6,点E,尸分别在边A&AD上，若CE=3小,

且NECF=45。，则C/7的长为2Mm.

（图S2-12）（图DS2-2）

【解析】如图DS2-2,延长FD至点G,使得DG=BE,连结CG,£尸.可得

△BCE/ADCG,：・CG=CE,ZDCG=ZBCEf：.ZGCF=45°,可得△GCf'gZXEC兄

・•・EF=GF=DF+BE.•:BE=y/S—C等=3,，4E=3.设。尸=x,贝lj从/=6一4，EF=x

+3.在RtZXAE尸中，（X+3）2=（6—X）2+32,解得X=2,：.CF=2回.

Q知识聚焦

寻找相似三角形，利用比例线段构造方程.

典例分析

例7在矩形A8C。中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图S2—13放

置，则矩形A8C。的面积为一?

（图S2-13）

【解析】由已知可得△A8E0ZXEC凡△EC尸s△尸OG,

.入1rDFFG1

••/\D—Cz/i,B匕—tzi,CE—EF—2，

・・・A8=2B£设BE=x,则AB=2x.

在RtAABE中，ATH-（2X）2=42,.*.x2=-y,

96

••S也膨ABCQ=2X,3X=6X2=~^_.

例8如图S2—14,在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,8c=4.点P是边AC上一动点,

过点尸作尸。〃AB,交BC于点Q,O为线段PQ的中点，当30平分NABC时，4P的

长度为一!1一.

（图S2—14）

【解析】、：PQ"AB、

.APAC3

易证。8=QO,・・・QP=2QA设BQ=x,

3

贝IJAP=4X,QP=2X,QC=4—尤

*：PQ//AB,:.ACPQs^CAB,

即宁=誉，解得”=瑞，♦♦♦4尸=!|

物I归纳提炼

(4)条件中既有平行线，又有角平分线，则一定出现一等腰”角形一.

B同步练习

7.如图S2—15,已知点C为线段AB的中点，COJ_A8且CO=48=4,连结A£),

AE是ND48的平分线，与。。相交于点F,E”_LOC于点G,交4)于点“，则”G的

长为—3—邓—.

【解析】由已知可得，GE=BC=AC=2,

EH//AC,,・.4£)=2小.易证”4=HE.

设〃G=x,则/M="E=2+x.

rifj

*：EH//AC,:•△DHGSRDAC,

U/\XlCz

nn2y[5—(2+x)xr~

即2\l5=2,解得x=3—

：・HG=3-4

8.如图S2—16,在△ABC中，A8=6,BC=5,4c=4,A。平分NBAC,4。的垂直

平分线石厂与4力相交于点E,与3。的延长线相交于点凡那么AF=7.

A

DC

（图S2—16）

【解析】-：AD平分N84C,；・照=告号,

DUADJ

：.CD=2,8O=3「・・E户垂直平分AO,

CFAF

；・工宣二亦

:.AF=DF,NADF=/DAF,AZMC=ZB./.AFBA,AFB卜

设AF=O尸=x,贝UCF=%—2,B尸=x+3,解得x=6,，AF=6.

Q知识聚焦

在以圆为背景的问题中寻找方程.

超典例分析

例9如图S2-17,在矩形488中，A8=4,AO=8,点E,产分别在边AO,BC±,

且BE=EF,若EF与以CD为直径的圆恰好相切，求AE的长.

（图S2-17）（图DS2-3）

解：如图DS2—3,过点E作E〃_LBC于点”.设AE=8〃=x.

•:BE=EF,・•.”尸=B〃=尢由切线长定理得，

EM=ED=8-x,FM=FC=S-2x.

在中，424-^=（16-3.02,解得占=6—#,必=6+,（舍去）,

:.AE=6—*.

例10如图S2-18,已知半圆。的直径AB为12,OP-1,。为半圆上一点，连结CP.

将CP沿着射线A8方向平移至DE,若。E恰好与。。相切于点D,求平移的距离.

（图DS2-4）

解：如图DS2—4,过点O作。"_LCD于点连结OO,则

由平移得。O〃PE,CD=PE,AZ1=Z2.

*/NDMO=ZODE=90°,/.ADMO^AODE,

・'•^^=^?设8=工，则"O=寺，OE=x+1,

ODObz

1

那6

*'•y=^jZ7»解得M=8,及=一9（舍去）,

・・・平移的距离为8.

物I归纳提炼

(5)利用直角三角形或相似三角形的性质构造方程是解决含圆问题的常见方法.

s同步练习

9.如图S2—19,。。是等腰直第三角形△ABC的外接圆，点。是念上的一点，BD交

4

AC于点E,若BC=4,4。=5,求AE的长.

（图S2-19）

解：设4E=x,贝ijCE=4-x.

AFAnI

■:/\ADEsABCE、*

DLDL.J

4

・・・BE=5x.在RtZXBCE中，（4-A）2+42=（5X）2,解得k=1,及=一§（舍去），：-AE=\.

10.如图S2-20,在。。中，弦BC,DE交于点P,延长8。，EC交于点A,BC=10,

BP=2CP,若卷=多求DP的长.

解：如图DS2—5,过点C作C”〃OE交A8于点H.设OP=2x.

..DPBDBP2

・丽・丽―就一J

：.CH=3x,AD=BH,

：.BD=AH.

••型=胆=2.力"-nF=l

,DE~AD~3>,-ZJ£（-2V,••rzs-2x,

PRpry

,:△BPDsREPC,••~pr=~pc>

s2V102^To,^..

解得即=q—,M=一飞一（舍去），

.^fio

•P•1nU="^3•

配套练习--------

1.若等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和27的两部分，则这个等腰三

角形的底边长是（A）

A.6B.22

C.6或22D.10或18

2.如图ZS2-1,点、B,。在NZME的边上，AB=BC,CB=CD,ZEBD=75°,则NA

的度数是（B）

A.30°B.40cC.45°D.50°

3.如图ZS2—2,在直角三角形ABC中，NC是直角，G为A8上一点，过点G分别作

AC,8c的垂线,垂足分别为E,F,若四边形EGFC是正方形，AE=4,FB=9,则正

方形EGFC的边长是」

（图ZS2-2）

4.如图ZS2-3,在矩形A8CO中，A8=8,AO=12,过A,。两点的。。与8c边相

切于点E,则。。的半径为—普

（图ZS2-3）

5.如图ZS2-4,在RtZ\4BC中，在N4CB=90。，AC=4,BC=6,以斜边48上的一

8

-

点。为圆心所作的半圆分别与AC,8C相切于点0,E,则AO的长为5

一

（图ZS2—4）

6.如图ZS2—5,在矩形48co中，AB=8,8c=4,将矩形沿4c折叠，使点。落在

点。处，则重叠部分的面积为10.

（图ZS2-5）

7.将三角形纸片48c按如图ZS2—6的方式折叠，使点8落在边AC上，记为点用,

折痕为ER已知AB=AC=6,8C=8,若以点s，F,。为顶点的三角形与△ABC相似,

则"的长是4或24年.

（图ZS2-6）

8.如图ZS2—7,NCA8=90。，AB=BD=4,CB_L8£>交AO于点E,BE=i,贝I]AC=

15

—T—,

c.

（图ZS2-7）

（解析】•:AB=BD,:.ZBAE=ND,:*NCEA=NDEB=900—NO=90。一ZBAE

=NCAE,・・・AC=EC.设AC=EC=x,贝ij5C=x+l.在RtZXABC中，^4-42=（^+1）2,

解得尸号.•・4。=学

9.如图ZS2-8是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间的小等边三角形的边长是1,

则六边形的周长是

（图ZS2-8）

【解析】如图DT2—1,设第二小的等边三角形的边长为x,则其他等边三角形的边

长分别为x+1,x+2,x+3,由图形，得x+3=2x,解得x=3,,••六边形的周长为7x

+9=30.

10.某杂志的徽标是我国古代“弦图”的变形（如图ZS2—9）,该图可由RtZ\A8C绕点

O同向连续旋转三次（每次旋转90。）而得，有“数学风车”的动感.假设中间小正方形

的面积为1,整个徽标（含中间小正方形）的面积为92,AD=2t则徽标的外围周长为

48

(图ZS2-9)

【解析】设BC=x,则AC=x+3.由题意，得拉+3)X4+1=92,・・・2?+8=91,

.•・A8=、8c2+AC2K2?+61+9=<1^=10,，徽标的外围周长为(10+2)X4=48.

11.如图ZS2-10,在△ABC中，AC=6,BC=8,若AC,BC边上的中线6E,AO垂

直相交于点O,则A8=」^_.

（图ZS2-10）

【解析】由题意可得，点。为△A8C的重心，AE=^AC=3,8。=J?C=4.设OO=x,

2

OE=yf则AO=2x,8O=2y.在R【Z\6OO中，炉+49=42.在RtZXAOE中，4^+)^=3,

・・・5d+5)，2=25,・・・x2+)，2=5.在RtZXAOB中，AB2=yj(2x)2+(2y)2=2^5.

12.如图ZS2TL在矩形A8CD中，点E是4。的中点，连结3E,将△A3E沿着8E

翻折得到△尸BE,EF交BC于点H,延长8F,。。相交于点G,若DG=16,8c=24,

则F/7=_y_.

【解析】