沪教版 九年级数学 二次函数与一元二次方程

华二久函数与一元二为方程呈

售课前删忒

【题目】课前测试

已知抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1.

(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

(2)若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0,-1)，且，ABC=2,求m的值.

【答案】(l)m/O且mwl;(2)m=总或m=w.

53

【解析】

分析：(1)根据二次函数与一元二次方程的关系，将抛物线与x轴的交点问题转化为根的

判别式，列出不等式解答.

(2)利用根与系数的关系求得线段AB的长度，然后由三角形的面积公式列出关于m的方

程，通过解放方程求得m的值.

解：(1)1,抛物线与x轴有两个交点，

：4>0,且m-I/O,

/.(m-2)2-4x(m-1)(-1)>0m/1,

整理得m2>0且mwl,

解得m/O且m/1.

故m，O且mwl时，抛物线与x轴有两个交点;

(2)设人短，0),B(b,O).则

.2~in।1

a+b=--,ab=--.

mTIF

贝（JAB=|a-b|R（a+b）2_《ab=J得产一4x±=|"|

所以看AB9C=4X|4X1=2,

zdIF

解得|11=言或|11=言.

【总结】此题考查了抛物线与x轴的交点，注意：二次函数与一元二次方程的关系，还考查

了一元二次方程根的判别式，难度不大，是基础题.

【难度】3

【题目】课前测试

已知：关于x的函数y=kx2+k2x-2的图象与y轴交于点C,

（1）当k=-2时，求图象与x轴的公共点个数；

（2）若图象与x轴有一个交点为A,当AAOC是等腰三角形时，求k的值.

【答案】（1）一个；（2）1＜的值为-1+y或-1-&或1.

【解析】

分析：（1）A=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点（或者把k=2代入函数关系，直

接求得抛物线与x轴的交点横坐标）；

（2）根据AAOC是等腰直角三角形易求点A的坐标为（2,0）或（-2,0）.把点A的

坐标代入函数解析式，通过方程来求k的值；

解（1）方法一：当k=-2时，函数为y=-2x2+4x-2,

•.b2-4ac=42-4x（-2）x（-2）=0

二图象与x轴公共点只有一个.

方法二：当k=-2时，函数为y=-2x2+4x-2,

令y=0,则-2x2+4x-2=0,

解得:X1=X2=1,

二图象与X轴公共点只有一个；

（2）当AAOC是等腰三角形时,

•.zAOC=90°,0C=2,

..可得OA=OC=2

.•点A的坐标为（2,0）或（-2,0）.

把x=2,y=0代入解析式得2k2+4k-2=0,

解得ki=-I+V2,ki=-1-V2，

把x=-2,y=0代入解析式得-2k2+4k-2=0,

解得ki=-ki=l.

-k的值为-1+正或-1-正或1.

【总结】本题考查了抛物线与x轴的交点，等腰三角形的性质.熟悉判别式和二次函数与x

轴交点的关系是解题的关键.

【难度】3

翦知识史位

适用范围沪教版，初三年级，成绩中等以及中等以上

知识点概述通过本节的学习，需要掌握二次函数与一元二次方程的关系，会用图象法求

一元二次方程的近似解；会求抛物线与X轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联

系；经历探索验证二次函数y=ax1+bx+c(aw0)与一元二次方程的关系的过程，学会用

函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题.

适用对象成绩中等以及中等以下

;主意事项：学生主要想听二次函数与一元二次方程的关系，包括二次函数与坐标轴交点，

求一元二次方程近似解及综合运用等方面的内容，这些内容在中考时会以选择、填空和解答

的形式来考查，难度在中等或中等偏上，需要熟练掌握.

重点选讲：

「•一•一•一•一•一•一•一•一•一•一•一•一•一•一—一•一•一•一,

①二次函数与坐标轴交点

iI

②利用图象法求一元二次方程的解

③二次函数与一元二次方程的综合应用

超知识椅起

蓝is□出场锂1：二业函数与一元二久方程的关系

♦L二次函数图象与X轴交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数y=。必+6x+c(ar0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0,求

。必+加;+c=0中x的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方

程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表:

一元二次方程

判别式二次函数y=ax2+Z?x+c(aw0)

ax2+bx+c=0(〃w0)

△=b-4ac

图象与X轴的交点坐标根的情况

y

与X轴交于（再,0）,（%2,0）（再<%2）

〃〉0

O有两个不相等的实数根

两占且x--b£b—ac

A>0m八、、，।।儿>■）一，

iy1,22a-b±ylb2-4ac

%=2a

a<0

0此时称抛物线与X轴相交

a>0

P4与x轴交于（一2",。）这一点,此时

°有两个相等的实数根

△二0

yb

X\=%2=~~

_称抛物线与X轴相切2a

a<02Aa、

o/V

\y

a>0u.

oX与x轴无交点，此时称抛物线与X轴

A<0无实数根

-y相离

a<0c八

2.抛物线与直线的交点问题

抛物线与X轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题.我们把它延伸到求抛

物线y=加++c(aw0)与y轴交点和二次函数与一次函数y=Ax+伪/w0)的交点问

题.

抛物线y^ax2+Z?x+c(a/0)与y轴的交点是(0,c).

抛物线y+6x+c(aH0)与一次函数y=依+伪(kH0)的交点个数由方程组

y=kx+b.1,

9的解的个数决定.

y=ax'+bx+c

当方程组有两组不同的解时o两函数图象有两个交点；

当方程组有两组相同的解时o两函数图象只有一个交点；

当方程组无解时O两函数图象没有交点.

总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题.

-◎-如出椅锂2：小J用二左函数求一元二左方程的丘彳队解

嗒用图象法解一元二次方程—+於+c=0(aw0)的步骤：

L作二次函数丁=加+法+c(gO)的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；

2.确定一元二次方程a-+8x+c=0(a。0)的根的取值范围.即确定抛物线

y^ax2+bx+c(a^0)与x轴交点的横坐标的大致范围；

I

3.在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依

次取值，用表格的形式求出相应的y值.

4.确定一元二次方程a/+bx+c=0(a。0)的近似根.在(3)中最接近0的y值所对应的x

值即是一元二次方a/+分■+<?=0(a。0)的近似根.

i

◎to识*昭锂3：地物线与x轴两交点间距离公式

/•

i

I1Z

抛物线与X轴两交点间距离公式：

当△>()时，设抛物线丁=/+法+。与x轴的两个交点为A(X1,0),B(4,0),则苞、X2

是一元二次方程依2+区+o=0的两个根.由根与系数的关系得不=-一，玉%2=一•

aa

.'.IABI=|%2_玉I=J(%2-%)2-Ja+%2)2-4中2

俐魅晡虫

【题目】题型1:二次函数图象与坐标轴交点

已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3,求：

(l)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；

(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；

(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点.

【答案】(l)k>-3且kw-1;(2)k=-3;(3)k<-3.

【解析】

分析：(1)当判别式442-4ac>0时，且2(k+1)/0时，抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k

-3与x轴有两个交点，解不等式组即可求出k的取值范围；

(2)当判别式△=b2-4ac=0时，且2(k+1)HO时,抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-

3与x轴有唯一交点，解方程与不等式即可求出k的取值范围；

(3)当判别式442-4ac<0时，且2(k+1)N0时,抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-

3与x轴没有交点，解不等式组即可求出k的取值范围.

解：(1)•.抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3与x轴有两个交点，

.-.△>0,且2(k+1)H0,

(4k)2-4x2(k+1)(2k-3)>0且b-1,

整理得,k+3>0,

解得,k>-3且kN-1.

故k>-3且七-1时，抛物线与x轴有两个交点；

(2)•:抛物线与x轴有唯一交点，

.-.△=0，且2(k+1)/0,

(4k)2-4x2(k+1)(2k-3)=0且kR-1,

整理得,k+3=0,

解得，k=-3.

故k=-3时，抛物线与x轴有唯一交点；

(3)•.抛物线与x轴无交点，

.-.△<0,且2(k+1)W0,

(4k)2-4x2(k+1)(2k-3)<0,且kw-1,

整理得,k+3<0,

解得，k<-3.

故k<-3时，抛物线与x轴没有交点.

【总结】本题考查了抛物线与x轴的交点.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，aw

0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：Z\=b2-4ac决定抛物线与x轴的

交点个数.-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Zi=b2-4ac=0时，抛物线与

x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

【难度】3

题型1变式练习1:二次函数图象与坐标轴交点

二次函数丫=|11乂2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，m的取值范围是.

【答案】m>1.

【解析】

分析：为了使得二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，只须满足二

次函数的抛物线开口向上且与x没有交点即可，据此列出不等关系即可求实数m的取值范

围.

解:•二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方,

m>0

△二b2-4ac<CO'

m>0

即：,

A=(2m-1)-4XmX(irr^lXO

解得：m>U,

o

故答案为：m>春.

o

【总结】本小题主要考查二次函数的图象、二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考

查运算求解能力，考查数形结合思想、属于基础题.

【难度】3

【题目】题型1变式练习2:二次函数图象与坐标轴交点

如图所示，二次函数y=-2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点

为B,且与y轴交于点C.

(1)求m的值及点B的坐标;

(2)求"ABC的面积;

(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)，使SAABD=S“ABC,请求出D点的坐标.

【答案】(1)m=6,B(-1,0);(2)12;(3)D点坐标为(0,6).(2,6).(1+

祈，-6)、(1-祈，-6).

【解析】

分析：(1)先把点A坐标代入解析式，求出m的值，进而求出点B的坐标;

(2)根据二次函数的解析式求出点C的坐标，进而求出△ABC的面积;

(3)根据SAABD=S“ABC求出点D纵坐标的绝对值，然后分类讨论，求出点D的坐标.

解：(1).,函数过A(3,0),

-18+12+m=0,

二.m=6,

.•该函数解析式为：y=-2x2+4x+6,

二当-2x2+4x+6=0时,xi=-1,X2=3,

.•.点B的坐标为(-1,0);

(2)C点坐标为(0,6),SAABC=^^=12；

(3),.-SAABD=SAABC=12,

c4X|h|一

--•SAABD=---------=12,

••|h|=6,

①当h=6时:-2x2+4x+6=6,解得:xi=0,X2=2

・•.D点坐标为(0,6)或(2,6),

②当h=-6时：-2x2+4x+6=-6,解得:xi=l+b,X2=l-*历

9点坐标为(1+祈，-6)、(1-V7,-6)

.・D点坐标为(0,6)、(2,6)、(1+祈,-6)、(1-V7,-6).

【总结】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识,解答本题的关键是熟练掌握二次函数的

性质，解答(3)问需要分类讨论，此题难度一般.

【难度】3

【题目】题型2:利用图象法求一元二次方程的解

已知二次函数y=-x2-2x+2.

(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

x...■4■3•2■1012...

(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间

x...-4-3-2-1012

y...-6-1232-1-6

(2)两个近似根在-3--2之间和0~1之间.

【解析】

分析：(1)根据函数解析式可完成表格，再根据表格中X、y的对应值可画函数图象；

(2)根据二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方

程的近似根.

解：（1）填表如下：

x...-4-3-2-1012

y...-6-1232-1-6

(2)由图象可知，方程-x2-2x+2=0的两个近似根是-3~-2之间和0~1之间.

【总结】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象与x轴交点的横坐标是

相应的一元二次方程的解.

【难度】3

【题目】题型2变式练习1:利用图象法求一元二次方程的解

在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3,

利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x-3=0的解，也可以在平面直角坐标系中

画出抛物线y=x2-3和直线y=-x,用它们交点的横坐标来求该方程的解.所以求方程

■1-X2+3=0的近似解也可以利用熟悉的函数和的图象交点的横坐标来求得.

【答案】y=《,y=x2-3.

【解析】

分析：根据在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3，利用两图象交点的横坐

标来求一元二次方程x2+x-3=0的解，进而得出方程旦-x2+3=0的近似解也可以利用熟悉

X

的函数的交点得出.

解：•利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3,利用两图象交点

的横坐标来求一元二次方程x2+x-3=0的解，也可在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2

-3和直线y=-x,用它们交点的横坐标来求该方程的解.

，求方程0-x2+3=0的近似解也可以利用熟悉的函数：y=2和y=x2-3的图象交点的横坐

XX

标来求得.故答案为：y=|,y=x2-3.

【总结】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，利用方程的解得出与函数的关系

是解题关键.

【难度】3

【题目】题型2变式练习2:利用图象法求一元二次方程的解

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3(a/0)的一个根为x=2,且二次函数y=ax2+bx+c

的图象的对称轴是直线x=2,则该图象的顶点坐标为.

【答案】(2,3).

【解析】

分析：由于方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，代入得到一个式子，然后再根据二次函数

y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，得y=4a+2b+c=3,从而得到抛物线的顶点坐标.

解：..关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2,

.,.4a+2b+c=3,

,・二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,

，顶点的横坐标为2,

将x=2代入二次函数解析式得：y=4a+2b+c

■■y=3,

.•・函数的顶点坐标为:(2,3).

故答案为(2,3).

【总结】此题主要考查了一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程

的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，另外还考查的函数的对称轴及顶点坐标.

【难度】3

【题目】题型3:二次函数与一元二次方程综合

若xi、X2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的两个根，则方程的两个根xi、

X2和系数a、b、c有如下关系：xi+x=--,xi.x=-,我们把它们称为根与系数的关系

2a2a

定理，请你参考上述定理，解答下列问题：

2

设二次函数y=ax+bx+c(a/0)的图象与x轴的两个交点为A(xi,0),B(x2,0).抛

物线的顶点为C,且AABC为等腰三角形.

(1)求A、B两点之间的距离(用字母a、b、c表示)

(2)当AABC为等腰直角三角形时，求b2-4ac的值；

(3)设抛物线y=x2+kx+l与x轴的两个交点为A、B，顶点为C,且NACB=90。，试问如

何平移此抛物线，才能使NACB=60。?

【答案】(1)Vb^~4ac.(2)4;(3)向下平移2个单位长度

|a|

【解析】

分析：(1)令二次函数解析式中y=0,根据根与系数的关系可得出"xi+X2=--,xi・X2=

a

J",利用配方法即可求出|X2-Xl|的值，由此即可得出结论；

a

(2)利用配方法将二次函数解析式转化成顶点式，由此即可求出点C的坐标，再根据等腰

2I2

直角三角形的性质可得出2刈4哼b:女,利用换元解方程即可求出b2-4ac的

4a|a|

值；

(3)由(2)的结论即可得出关于k的方程，解方程即可得出抛物线的解析式，画出函数图

象,由此可得出若要使NACB=60。，则需把抛物线往下平移，设平移的距离为n(n>0),

则平移后的抛物线的解析式为y=x2-2yx+1-n,结合(1)(2)的结论即可得出关于n

的一元二次方程，解方程即可得出结论.

解：(1)々y=ax2+bx+c(a/0)中y=0,贝有ax2+bx+c=0,

1,二次函数y=ax2+bx+c(a^O)的图象与x轴的两个交点为A(xi,0),B(x2,0),

bc

-Xl+X2=----,X1*X2=一，

aa

•.|X2-X1|=J(X/X2)2-4X[X2=J(《)2-4.

2

(2)1,二次函数y=ax2+bx+c=a(x+^)2+4a(^~b-,

2

l

.••点c的坐标为(-2,4a7b),

2a4a

,.•△ABC为等腰直角三角形，

.n乂|4ac-b"।_Vb2-4ac

"14a1--'

令Jb2-4ac=m，则有m2-2m=0,

解得：m=2,或m=0,

•••二次函数与x轴有两个不相同的交点,

•­m=Vb2-4ac=2，

/.b2-4ac=4.

(3)■,-zACB=90°,

.'.b2-4ac=k2-4-4,

解得：k=±20.

选k=-2正，画出图形，如图所示.

若要使NACB=60。，则需把抛物线往下平移，设平移的距离为n（n>0）,则平移后的抛物

线的解析式为y=x2-2-./2X+1-n,

由（1）可知AB=4^MZ=2近用,

|a|

2

由（2）可知点C（-上，4al7b），即（正，-1-n）,

Na4a

・「△ABC为等腰三角形，且NACB=60。，

'''"yc=-7~AB,即1+D=A/3V1+r），

解得：n=-1（舍去），或n=2.

故将抛物线向下平移2个单位长度,能使NACB=60°.

【总结】本题考查了根与系数的关系、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质以及解一

元二次方程，解题的关键是：（1）利用配方法求出|X2-xi|的值；（2）利用换元法解方程；

（3）根据等边三角形的性质找出关于n的方程.本题解题过程稍显繁琐，解决该题型题目

时，利用等腰直角（等边）三角形的性质得出边与边的关系是关键.

【难度】4

【题目】题型3变式练习1:二次函数与一元二次方程综合

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M、N,顶点为R,若^MNR恰好是等边

三角形，则b2-4ac=.

【答案】12.

【解析】

分析：当AMNR为等边三角形时，解直角AMER，得RE=«ME=^MN，据此列出方程，

解方程即可求出b2-4ac的值.

解：如图，过R作RE^MN于E.则MN=2ME.

当AMNR等边三角形时，RE=VSME=^MN,

.b2-4acVb2-4ac

4a2a

,/b2-4ac>0,

..b2-4ac=12.

故答案是：12.

【总结】本题考查了等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合

性较强，难度中等.

【难度】4

【题目】题型3变式练习2:二次函数与一元二次方程综合

若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0)、B(n,0)，与y轴交于点C(0,c)，则

称AABC为"抛物三角线”.特别地，当mnc<0时，称^ABC为"正抛物三角形"；当mnc

>0时，称SBC为"倒抛物三角形".那么，当△ABC为"倒抛物三角形"时，a、c应分

别满足条件.

【答案】a>0,c<0.

【解析】

分析：根据m、n关于y轴对称，则mn<0,则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x

轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号.

解：:抛物线丫=2*2+<：的对称轴是y轴，

...A(m,0)、B(n,0)关于y轴对称，

/.mn<0,

又,：mnc>0,

.■.c<0,即抛物线与y轴的负半轴相交，

又抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,O)、B(n,0),

，函数开口向上，

.a>0.

故答案是：a>0,c<0.

【总结】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键.

【难度】3

【题目】题型3变式练习3:二次函数与一元二次方程综合

抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,且0A:

OB=1:3,OB=OC,那么a的值是.

【答案】1或-1.

【解析】

分析：此题需要分类讨论：①当点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴；②点A、B均

在x轴的正半轴上时来求a的值.

解：令x=0,则y=3,即点C的坐标是(0,3)，则OC=3.

①如图1,点A、B均在x轴的正半轴上时.

•.OA:OB=1:3,OB=OC,

.-.OA=1,OB=3,

令y=0,则ax2+bx+3=0,

.­.1,3的该方程的两个根,

解得，a=l;

②如图2,当点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴上时.

■.0A:OB=1:3,OB=OC,

,.OA=1,0B=3,

令y=0,则ax2+bx+3=0,

-1,3的该方程的两个根，

03

-3=—,

a

解得，a=-1;

综合①②知，a的值是1或-1.

故答案是：1或-1.

【总结】本题考查了抛物线与x轴的交点.解答该题时需要分类讨论，以防漏解或者错解.另

外注意数形结合数学思想的应用.

【难度】3

【题目】兴趣篇1

已知：抛物线y=x2+(a-2)x-2a(a为常数，且a>0).

(1)求证：抛物线与x轴有两个交点；

(2)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B左侧)，与y轴的交点为C.

①当AC=2在时，求抛物线的解析式；

②将①中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位(t>0),同时将直线I:y=3x沿y轴正方向

平移t个单位，平移后的直线为r,移动后A、B的对应点分别为A；B二当t为何值时,

在直线I'上存在点P，使得AABP为以AB为直角边的等腰直角三角形.

【答案】(1)证明：令y=0,则x2+(a-2)x-2a=0

△=(a-2)2+8a=(a+2)2

'.a>0,

/.a+2>0

>0

方程x2+(a-2)x-2a=0有两个不相等的实数根；

二抛物线与x轴有两个交点

R1

(2)①y=x2-4;②1:空■或t苴.

【解析】

分析：(1)令抛物线的y值等于0，证所得方程的△>0即可；

(2)①令抛物线的解析式中y=0,通过解方程即可求出A、B的坐标,进而可得到0A的

长；易知C(0,-2a),由此可得到0C的长，在RfOAC中，根据勾股定理即可得到关

于a的方程，可据此求出a的值，即可确定抛物线的解析式；

②根据平移的性质，可用t表示出直线I,的解析式以及A；B，的坐标；由于抛物线在向右平

移的过程中,开口大小没有变化，因此AB的长度和AB相等，由此可得到AB的长；若△

ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,那么可有两种情况：

①NPA'B'=90°,此时PA'=AB;@zPB'A'=90°,此时PB'=A'B';

根据PA；PB，的表达式及AB的长，即可求出t的值.

(1)证明:令y=0,则x2+(a-2)x-2a=0

△=(a-2)2+8a=(a+2)2

'.a>0,

..a+2>0

：4>0

・•・方程x2+(a-2)x-2a=0有两个不相等的实数根；

二抛物线与x轴有两个交点

(2)①令y=0，则x2+(a-2)x-2a=0,

解方程，得X1=2,X2=-a

'.A在B左侧，且a>0,

.,抛物线与x轴的两个交点为A(-a,0),B(2,0).

•.・抛物线与y轴的交点为C,

.•.C(0,-2a)

.'.AO=a,CO=2a;

在Rt^AOC中,A02+C02=(275)2,a2+(2a)2=20,

可得a=±2;

/a>0,

：.a=2

.•抛物线的解析式为y=x2-4;

②依题意,可得直线I'的解析式为y=3x+t,A'(t-2,0),B,(t+2,0),A'B'=AB=4

•••M'B'P为以AB为直角边的等腰直角三角形，

.•.当NPAB=90。时,点P的坐标为(t-2,4)或(t-2,-4)

.-.|3(t-2)+t|=4

解得或tg

当NPB'A'=90°时,点P的坐标为(t+2,4)或(t+2,-4)

.-.|3(t+2)+t|=4

51

解得或(不合题意，舍去)

综上所述，t="|■或t].

【总结】此题是二次函数的综合题，涉及到根的判别式、勾股定理、二次函数解析式的确定、

等腰直角三角形的判定和性质等知识，需注意的是在等腰直角三角形的直角顶点不确定的情

况下，要分类讨论，以免漏解.

【难度】4

【题目】兴趣篇2

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(2,4),顶点的横坐标为£,它的图象与x轴

22

交于两点B(xi,0)、C(X2,0)，与y轴交于点D,且XI+X2=13.试问：y轴上是否

存在点P，使得WOB与ADOC相似(。为坐标原点)？若存在，请求出过P、B两点直线

的解析式；若不存在，请说明理由.

【答案】存在,y=2x+4或y=-2x-4或y=yx+l或y=--1或y=-3x+9

或y=3x-9或y=--^-x+1或y==x-1.

【解析】

分析：需注意的是，由于本题没有明确B、C的位置关系，所以要分类讨论；由于B、C是

抛物线与X轴的交点；根据韦达定理即可求出两个横坐标的和与积，进而可根据X12+X22=13

求出第一个关于抛物线系数的等量关系式；将A点坐标代入抛物线的解析式中，可得到第

二个关于抛物线系数的等量关系式；再联立抛物线的对称轴方程，即可求出待定系数的值，

由此可确定抛物线的解析式，进而可求出抛物线与坐标轴的交点坐标；假设抛物线上存在符

合条件的P点，使得WOB与ADOC相似，由于这两个三角形中，NPOB=NDOC=90。，所

以要考虑到两种情况：①APOBsADOC,②APOBsACOD;根据不同的相似三角形所得到

的不同比例线段，可求出P点的坐标，进而可用待定系数法求出直线BP的解析式.

解:•.y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点B(xi,0),C(X2,0),

bc

..Xl+X2=,X1X2=一；

aa

X/X12+X22=13,即(X1+X2)2-2X1X2=13,

...(")2一2・£=13,①

aa

4a+2b+c=4,②

b1„

W亍③

解由①、②、③组成的方程组，

得a=-1,b=l,c=6;

.'.y--x2+x+6;

与x轴交点坐标为(-2,0),(3,0),

与y轴交点D坐标为(0,6);

设y轴上存在点P，使得WOBJADOC,则

(1)当B(-2,0),C(3,0),D(0,6)时，

有空年,OB=2,0c=3,OD=6;

OCOD

.QP=4;即点P坐标为(0,4)或(0,-4);

当P坐标为(0,4)时，可设过P、B两点直线的解析式为y=kx+4,

有0=2k+4，得k=2;

.-.y=2x+4;

当P点坐标为（0,-4）时，可设过P、B两点直线的解析式为y=kx-4;

有0=-2k-4,

得k=-2;

..y--2x-4

或罂嗡，°B=2,OD=6,OC=3

■■.OP=1,这时P点坐标为（0,1）或（0,-1）;

当P点坐标为（0,1）时，可设过p、B两点直线的解析式为y=kx+l;

有0=-2k+l,

得k《.

11

•,-y=yx+l

当P点坐标为（0,-1）时，可设过p、B两点直线的解析式为y=kx-1;

有0=-2k-1,

得k=《;

11

，y=-yx-1;

（2）当B（3,0）,C（-2,0）,D（0,6）时，同理可得

y=-3x+9或y=3x-9或丫=-b+1或y=£x-1.

【总结】此题主要考查了根与系数的关系、一次函数与二次函数解析式的确定、相似三角形

的判定和性质等重要知识点，要注意的是在遇到相似三角形的对应边和对应角不明确的情况

下，一定要分类讨论，以免漏解.

【难度】4

【题目】备选试题1

已知抛物线y=(x-1)2向下平移m个单位长度，与x轴有两个交点,已知这两个交点之

间的距离为8,则m=.

【答案】16.

【解析】

分析：根据"左加右减，上加下减"的规律写出平移后抛物线的解析式，结合”这两个交点

之间的距离为8"来求m的值.

解：抛物线y=(x-1产向下平移m个单位长度后的抛物线解析式为:y=(x-l)2-m.即

y-x2-2x+l-m.

设该抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为a、b,则

a+b=2,ab=l-m,

所以8T(a+b)2-4ab=V4-4+4ro，

解得m=16.

故答案是：16.

【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换.要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加

下减.并用规律求函数解析式.

【难度】3

【题目】|

「选试题2

如图，抛物线丫=2*2+5乂(a/0)交*轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已

知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.

(1)求a,b的值.

(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP,BP.设点P的横坐

.求K关于m的函数表达式及K的范围.

【答案】

【解析】

分析：(1)根据直线y=2x求得点M(2,4),由抛物线的对称轴及抛物线上的点M的

坐标列出关于a、b的方程组，解之可得；

(2)作PH±x轴，根据三角形的面积公式求得S=-m2+4m，根据公式可得K的解析式，

再结合点P的位置得出m的范围，利用一次函数的性质可得答案.

解：(1)将x=2代入y=2x,得：y=4,

.•点M(2,4),

［上=2

由题意，得：2a",

4a+2b=4

.lbb=4T；

(2)如图，过点P作PH±x轴于点H,

••点P的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x2+4x,

，PH=-m2+4m,

.B(2,0),

.-.OB=2,

.-，S=loB*PH

=^-x2x(-m2+4m)

=-m2+4m,

S

.-.K=—=-m+4,

m

由题意得A(4,0),

.M(2,4),

.2<m<4,

•.K随着m的增大而减小，

.-.0<K<2.

【总结】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及

一次函数的性质等知识点.

【难度】3

【题目】备选试题3

已知：如图一次函数y=yx+l的图象与X轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=5

x2+bx+c的图象与一次函数y=[x+l的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D

点坐标为(1,0)

(1)求二次函数的解析式；

(2)求抛物线上存在点P,使S，BDC=SWBC,求出P点坐标(不与已知点重合)；

(3)在x轴上存在点N,平面内存在点M，使得B、N、C、M为原点构成矩形时，请直

接写出M点坐标.

【答案】(1)y=|x2--|x+l;(2)(3,1)或(2+祈,今反)或(2-祈，写^)；

39

(3)(3,4)或(1,4)或(,，-2)或(,，2).

【解析】

分析：(1)先求得点B的坐标，然后将B、D的坐标代入二次函数的解析式求得b、c的

值即可

(2)过点D作y轴平行线交BC与点F,过点P作PGIIy轴，交抛物线与点G.先求得DF

131

的长，设点p(X,分2-2-X+1)，则G(x,j"X+l).可求得GP的长(用含x的式子

表示)，然后依据APBC的面积=ADBC的面积