数学北师大九年级上册第一章直角三角形的边角关系课件

第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数知识目标知识目标目标突破目标突破总结反思总结反思第1课时正切1锐角三角函数知识目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义，会进行正切的有关计算．2．经历探索实际生活中斜坡问题的解决过程，理解坡度的意义，会解决有关坡度的计算问题．目标突破1锐角三角函数目标一正切的定义及其相关计算例1教材随堂练习第1题变式题已知等腰三角形的腰长为10，底边长为16，求底角的正切值．[解析]本题中已知的三角形不是直角三角形，关键是先利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角三角形，再求出底角的正切值．1锐角三角函数1锐角三角函数[归纳总结]构造直角三角形求锐角的正切值的方法：在斜三角形中不能直接用锐角三角函数的定义求锐角的正切值，需要将斜三角形转化成直角三角形，通常都是作高将要求正切值的锐角放在直角三角形中求解．1锐角三角函数目标二利用坡度解决与斜坡有关的问题1锐角三角函数1锐角三角函数[归纳总结]

有关坡度的计算方法：一般是由题意结合图形，根据坡度的概念合理设出未知数，采用方程思想，根据勾股定理列方程求解．同时要注意坡度表示倾斜程度，坡度越大，坡角越大，坡面越陡．总结反思1锐角三角函数小结

图1－1－2知识点一正切1锐角三角函数[注意]正切指的是两条线段长度的比值，所以它没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关．1锐角三角函数知识点二判断梯子的倾斜程度用正切来描述梯子的倾斜程度，正切值越大，梯子________．越陡1锐角三角函数知识点三坡度的概念铅直高度水平宽度1锐角三角函数反思对正切的概念理解不清若把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值有变化吗？为什么？

第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数知识目标知识目标目标突破目标突破总结反思总结反思第2课时正弦和余弦1锐角三角函数知识目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦、余弦的意义，能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算．2．通过对三角函数的学习，理解锐角三角函数之间的关系，能利用已知三角函数值求其他三角函数值．目标突破1锐角三角函数目标一利用直角三角形的边角关系计算B

1锐角三角函数[解析]在Rt△ABC中，∠C＝90°，知∠B的对边为AC，邻边为BC，斜边为AB，通过所给条件，利用勾股定理即可解决．1锐角三角函数1锐角三角函数[归纳总结]已知锐角的三角函数值求边长时的常用方法：当两条线段的比为a∶b时，常设这两条线段的长分别为ak，bk(k＞0)，这种设出未知数表示线段长的方法叫做参数法．本章中，当出现三角函数的已知条件为比值时，通常先设参数，然后设法建立方程求解．1锐角三角函数目标二利用已知三角函数值求其他三角函数值[解析]先根据正弦函数值找出该直角三角形三边的数量关系，再利用余弦函数的定义求解．1锐角三角函数1锐角三角函数[归纳总结]已知三角函数值求其他三角函数值的方法：利用锐角的其中一个三角函数值求其他三角函数值时，可以先利用已知的三角函数值用未知数设出相关两边的长，再利用勾股定理求出第三条边的长，然后利用三角函数的定义求解．总结反思1锐角三角函数小结

在Rt△ABC中，∠A是锐角．∠A的对边与________的比叫做∠A的正弦，记作________，即sinA＝______________．斜边sinA

知识点一正弦1锐角三角函数知识点二余弦在Rt△ABC中，∠A是锐角．∠A的________与________的比叫做∠A的余弦，记作________，即cosA＝______________．邻边斜边cosA

1锐角三角函数知识点三锐角三角函数锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．1锐角三角函数知识点四梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系1锐角三角函数1锐角三角函数第一章直角三角形的边角关系

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30°，45°，60°角的三角函数值知识目标知识目标目标突破目标突破总结反思总结反思2

30°，45°，60°角的三角函数值知识目标1．通过对三角尺边角关系的分析，探索并牢记30°，45°，60°角的三角函数值，并能由三角函数值求角(特殊角)的度数．2．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能直接利用这些特殊角的三角函数值进行计算．3．通过构造合适的直角三角形，利用30°，45°，60°角的三角函数值解决实际问题．目标突破2

30°，45°，60°角的三角函数值目标一利用特殊角的三角函数值求角的度数D2

30°，45°，60°角的三角函数值2

30°，45°，60°角的三角函数值[归纳总结]由特殊角的三角函数值求锐角的方法：由特殊角的三角函数值求锐角可看成解关于这个角的三角函数的方程．本题中两个非负数相加等于0，则每个非负数都等于0，再利用特殊角的三角函数值求锐角的度数．2

30°，45°，60°角的三角函数值目标二利用特殊角的三角函数值进行计算2

30°，45°，60°角的三角函数值2

30°，45°，60°角的三角函数值[归纳总结]有关特殊角的三角函数值的计算题的求解方法：第一步，把特殊角的三角函数值准确代入；第二步，根据实数的混合运算顺序及法则进行计算．2

30°，45°，60°角的三角函数值目标三利用特殊角的三角函数值解决实际问题2

30°，45°，60°角的三角函数值2

30°，45°，60°角的三角函数值2

30°，45°，60°角的三角函数值[归纳总结]作垂线构造直角三角形的注意点：作垂线段不要破坏特殊角(30°，45°，60°)的完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线段，而是将这些特殊角放入直角三角形中，这样有助于我们利用特殊角的三角函数值解决问题．总结反思2

30°，45°，60°角的三角函数值小结αsinαcosαtanα30°____________45°____________60°____________1知识点一30°，45°，60°角的三角函数值2

30°，45°，60°角的三角函数值[点拨]速记口诀：三十四五六十度，三角函数要记住；分母弦二切是三，分子要把根号添；一二三来三二一，切值三九二十七；正弦正切递增值，余弦其值恰相逆．2

30°，45°，60°角的三角函数值知识点二特殊角的三角函数值的简单计算此类问题通常与实数的运算相结合进行考查，题目一般比较简单，解答时需首先代入特殊角的三角函数值，再进行计算．[注意]

如果题中没有特殊说明，用特殊角的三角函数值进行计算时，结果一般不取近似值．2

30°，45°，60°角的三角函数值2

30°，45°，60°角的三角函数值第一章直角三角形的边角关系3三角函数的计算知识目标知识目标目标突破目标突破总结反思总结反思3三角函数的计算知识目标1．通过了解计算器的功能，能利用计算器求任意锐角的三角函数值．2．通过熟练应用计算器，能利用计算器由锐角三角函数值求锐角．3．通过分析问题，在熟练掌握三角函数求值的基础上，能利用计算器解决含锐角三角函数计算的实际问题．目标突破3三角函数的计算目标一利用计算器求任意锐角的三角函数值例1[教材习题1.4第1题变式题]用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001)：(1)cos63°17′；(2)tan27.35°；(3)sin39°57′6″.3三角函数的计算[归纳总结]

尽量掌握手中计算器的常用功能及按键顺序．3三角函数的计算目标二利用计算器由已知三角函数值求相应的锐角例2

[教材习题1.4第3题变式题]根据下列条件求∠A的度数．(用度、分、秒表示)(1)cosA＝0.6753；(2)sinA＝0.1536；(3)tanA＝0.6718.3三角函数的计算3三角函数的计算目标三锐角三角函数在实际生活中的应用例3[教材习题1.4第4题变式题]如图1－3－1，从A地到B地的公路需经过C地，已知AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直的公路AB的长；(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)图1－3－13三角函数的计算[解析](1)作CH⊥AB于点H.在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH；在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH.再根据AB＝AH＋BH即可求解．(2)在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC＋BC－AB列式计算即可求解．3三角函数的计算3三角函数的计算[归纳总结]

在同一直角三角形中，如果测得某条线段的长和某锐角的度数，即可根据某种三角函数的含义求出未知线段的长．在这一过程中，根据要求的结果和已知条件选择合适的三角函数是解题的关键．答：公路改直后比原来缩短了约2.3千米．

总结反思3三角函数的计算知识点一用科学计算器求锐角的三角函数值3三角函数的计算3三角函数的计算[注意]

用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：如无特别说明，计算结果一般精确到万分位．3三角函数的计算知识点二利用计算器由一个锐角的三角函数值求出相应锐角的度数从而可知α≈42°18′52″，β≈79°43′45″，γ≈74°21′6″.3三角函数的计算[注意]

一般情况下，利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小时，如没有特殊说明，我们只需要精确到1″.3三角函数的计算知识点三锐角三角函数在实际中的应用仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．3三角函数的计算第一章直角三角形的边角关系4解直角三角形知识目标知识目标目标突破目标突破总结反思总结反思4解直角三角形知识目标1．经历探索解直角三角形的条件的过程，理解解直角三角形的基本类型及解法，能利用直角三角形的边角关系解直角三角形．2．经历探索作辅助线把普通三角形转化成直角三角形的方法，会选择合适的边角关系解普通三角形．3．通过对实际问题的分析抽象出几何模型，能合理运用直角三角形的边角关系解决实际问题．目标突破4解直角三角形目标一解直角三角形例1[教材例1，例2变式题]在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形：(1)c＝8，∠A＝60°；(2)b＝2，c＝4；(3)a＝60，∠B＝35°(边长精确到1)．4解直角三角形[解析](1)已知一锐角A和一条斜边c，求另一锐角B的度数用两锐角互余，求直角边a用正弦，求直角边b用余弦；(2)已知一直角边b和斜边c，求另一直角边a用勾股定理，求两锐角的度数分别用余弦和两锐角互余；(3)已知一锐角B和一条直角边a，求另一锐角A的度数用两锐角互余，求另一直角边b用正切，求斜边c用余弦．4解直角三角形4解直角三角形[归纳总结]解直角三角形的基本方法：可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中”，意思是：当已知或求解中有斜边时，就优先考虑用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，则选用乘法；既可以用原始数据又可以用中间数据求解时，则用原始数据求解．4解直角三角形目标二解普通三角形4解直角三角形4解直角三角形4解直角三角形[归纳总结]解非直角三角形问题的方法：通过作辅助线转化为直角三角形解决，这种方法叫做“化斜为直”法．若条件中有线段的比或锐角三角函数，可以设一个辅助的未知数，列出方程求解．4解直角三角形目标三解直角三角形的应用4解直角三角形4解直角三角形4解直角三角形[归纳总结]用解直角三角形解决实际问题的方法：先把它转化为数学问题，再利用解直角三角形的知识来解决．解答时要结合图形构造出直角三角形，利用30°，45°，60°角的性质和已知条件，数形结合，选择合适的关系式解题．总结反思4解直角三角形知识点一直角三角形的边角关系4解直角三角形[提示]

当所求的元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，最好用已知数据．4解直角三角形知识点二解直角三角形由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．[拓展]

在直角三角形中，除直角外的五个量中，若已知其中的两个量(至少有一条边)，就可以求出另外三个量，有如下四种类型：4解直角三角形4解直角三角形4解直角三角形第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用知识目标知识目标目标突破目标突破总结反思总结反思5三角函数的应用知识目标通过对实际问题的分析能抽象出数学模型，并能利用三角函数解决实际问题．目标突破5三角函数的应用目标利用三角函数解决实际问题5三角函数的应用5三角函数的应用[归纳总结]求解方向角在航海问题中的应用题的一般方法：先由方向角得到三角形内角的度数，再构造出直角三角形，运用直角三角形的边角关系求解．5三角函数的应用5三角函数的应用5三角函数的应用5三角函数的应用总结反思5三角函数的应用知识点一方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标所成的锐角．如图1－5－4所示，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别为北偏东15°，南偏东20°，北偏西60°.图1－5－45三角函数的应用其中南偏东45°又习惯叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向．如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么G，E可以说G在O的西南方向，E在O的东南方向．5三角函数的应用知识点二直角三角形的应用5三角函数的应用5三角函数的应用第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高知识目标知识目标目标突破目标突破总结反思总结反思6利用三角函数测高知识目标经历设计测量方案、分析所得数据、调整仪器、矫正测量结果等活动，能应用三角函数测量物体的高度．目标突破6利用三角函数测高目标能应用三角函数测量物体高度D6利用三角函数测高6利用三角函数测高例2

小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处(如图1－6－6)，为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：第一步：小亮在点D处用测角仪测得仰角∠ACE＝β；第二步：小红量得点D到树底部B的水平距离BD＝a；第三步：量出测角仪的高度CD＝b.图1－6－26利用三角函数测高之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如图1－6－2所示的条形统计图和折线统计图．图1－6－26利用三角函数测高请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题．(1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中：abβ第一次第二次第三次平均值15.71m15.83m15.89m15.81m1.31m1.33m1.32m1.32m29.5°30.8°29.7°30°6利用三角函数测高6利用三角函数测高abβ第一次15.71m1.31m29.5°第二次15.83m1.33m30.8°第三次15.89m1.32m29.7°平均值15.81m1.32m30°6利用三角函数测高6利用三角函数测高[归纳总结]

测量底部可以到达的物体的高度的方法：利用直角三角形的边角关系，另外还可以利用在同一时刻，物高与影长成正比或相似三角形的知识来求物高．6利用三角函数测高例3

[教材补充例题]某同学测量国贸大厦AB的高，现已用测量工具测完各数据，并填入下表，请你完成该活动报告并计算国贸大厦的高(已知测倾器的高CE＝DF＝1m)．测量目标在平面上测量国贸大厦的高AB项目6利用三角函数测高测量数据测量项目αβCD的长第一次30°16′44°35′60.11m第二次29°44′45°25′59.86m平均值（续表）30°45°60m6利用三角函数测高[解析]设AB＝xm，通过公共边AG建立两直角三角形之间的关系，用含x的代数式分别表示AG，FG，EG的长，再由已知列出方程，通过解方程解决问题．6利用三角函数测高6利用三角函数测高[归