考研数学二分类模拟255

考研数学二分类模拟255解答题1.

证明：若f(x)为定义在(-∞，+∞)上周期为T的连续函数，则

式中a为任意的数．正确答案：证明：

对上述等式右端的第三个积分，设x-T=t，则

于是

[考点]不定积分、定积分、反常积分

2.

实系数三元多项式f(x，y，z)=x3+y3+z3-3xyz有没有一次因式?如果有，找出各因式．正确答案：解：

因此f(x，y，z)有一个一次因式(x+y+z)．[考点]行列式

3.

设向量组α1，α2，α3为两两正交的非零向量，证明：向量组α1，α2，α3线性无关．反之是否成立?说明理由．正确答案：证明：设有数k1，k2，k3，使

k1α1+k2α2+k3α3=0

上式两边与α1作内积，由(α1，α2)=0，(α1，α3)=0，得

k1(α1，α1)+k2(α1，α2)+k3(α1，α3)=k1(α1，α1)=0

又因α1≠0，(α1，α1)＞0，故得k1=0．同理可得k2=0，k3=0，故α1，α2，α3线性无关．反之，α1，α2，α3线性无关不能推出α1，α2，α3两两正交，例如

线性无关，但并不两两正交．[考点]向量

4.

证明：当n为奇数时，函数为以2π为周期的周期函数；而当n为偶数时，则其中的任何一个皆为线性函数与周期函数之和．正确答案：证明：当n为奇数时，sinnx是奇函数，而且是以2π为周期的函数．于是

及

即F(x)和G(x)都是以2π为周期的周期函数．

当n为偶数时，显然有

设，则，且a＞0，所以，F(x)和G(x)都不是以2π为周期的函数．

设，则

即F1(x)是以2π为周期的函数，而

所以，F(x)为周期函数与线性函数之和．

同理，可以证明G(x)也是周期函数与线性函数之和．[考点]一元函数微积分

5.

求曲线的渐近线．正确答案：解：函数的定义域是(-∞，-3)∪(0，+∞)．

(1)垂直渐近线：由于

所以x=-3是曲线的垂直渐近线．

(2)水平渐进线：由于

因此为曲线的水平渐近线．

(3)斜渐近线：由于

因此是曲线的斜渐近线．[考点]定积分的应用

设函数y(x)满足方程y"+2y'+ky=0，其中0＜k＜1．6.

证明：反常积分收敛；正确答案：解：特征方程为r2+2r+k=0，由0＜k＜1可知，特征方程有两个不相等的实根

由二阶常系数齐次线性微分方程的求解可知

由于r1，2＜0，则

于是收敛．[考点]常微分方程及其应用

7.

若y(0)=1，y'(0)=1，求的值．正确答案：解：y(x)=C1er1x+C2er2x，y(0)=1，y'(0)=1，可得

解得

代入

可得

[考点]常微分方程及其应用

8.

设，求f(x)的间断点并判断其类型．正确答案：解：因为f(x)为初等函数，所以f(x)的间断点为使得f(x)无定义的点，即x=0和x=1．

因为x→0时，，所以，即x=0为f(x)的第一类间断点中的可去间断点．

注意到x→1-时，x→1+时，所以

故x=1为f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．[考点]函数、极限

9.

设，求A-1．正确答案：解：令

则，从而

[考点]矩阵、向量、方程组

10.

设函数，并求f(x)的最小值．正确答案：解：当0＜x＜1时

当x≥1时

则

易知；f'(x)＞0，x∈(1，+∞)，即f(x)在(1，+∞)上单调递增；

当0＜x＜1时，令4x2-2x=0，得，此时

可知f(x)的最小值为．[考点]一元函数微积分

11.

已知三阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，其中a，b，c不全为零．矩阵，且AB=0．求线性方程组Ax=0的解．正确答案：解：因AB=0，则r(A)+r(B)≤3，且r(A)≥1，r(B)≥1．

，此时r(A)=1，通解为k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，其中k1，k2为任意常数；

情形1当r(A)=2时，通解为k3(1，2，3)T，k3为任意常数；

情形2当r(A)=1时，不妨设a≠0，则通解为l1(b，-a，0)T+l2(c，0，-a)T，其中l1，l2为任意常数，a+2b+3c=0．

注我们分类讨论的依据为r(A)+r(B)≤3，上述解答只是讨论的一种方式，读者也可以优先按r(A)的情况讨论，特别地，当r(A)=1，此时通解与矩阵B本身没有任何关系，当然，我们也可以人为地建立一些“关系”，若设a≠0，通解也可以记为x=l1(1，2，3)T+l2(c，0，-a)T．[考点]矩阵、向量、方程组

求下列平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积．12.

(0≤x≤a)绕Ox轴．正确答案：解：所求体积为

[考点]定积分的应用

13.

y=2x-x2，y=0分别绕Ox轴、绕Oy轴．正确答案：解：y=2x-x2，y=0分别绕Ox轴、绕Oy轴旋转．

令y=0得x=0或x=2．于是，所求体积为

[考点]定积分的应用

14.

证明：如果n阶矩阵A满足

bmAm+bm-1Am-1+…+b1A+b0En=0

其中bi∈R，i=0，1，…，m，且b0≠0，那么A可逆，并且求A-1．正确答案：证明：由已知条件得

从而A可逆，并且

[考点]矩阵、向量、方程组

15.

证明：方程必有实根．正确答案：证明：考虑函数

则f(x)在(-∞，+∞)上连续．因为，所以存在M＞0，当x＜-M时，有

即当x＜-M时，有f(x)＜0．又

f(0)=1999-1=1998＞0

由零点定理可知，方程f(x)=0在(-M-1，0)上至少有一个根．因此方程必有实根．[考点]极限、连续及其应用

16.

求的秩，并且求它的列向量组的一个极大线性无关组．正确答案：解：用初等行变换把A化为阶梯形矩阵

因此r(A)=3，A的第1，2，3列构成A的列向量组的一个极大线性无关组．[考点]矩阵、向量、方程组

17.

计算，其中D是由摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱(0≤t≤2π)与x轴围成的区域．正确答案：解：D是x-型区域，记上边界曲线(摆线)为y=y(x)，则

由于y=y(x)是由参数方程给出，对定积分做变量代换，令x=a(t-sint)，则y=a(1-cost)，故

[考点]二重积分

18.

已知，设，求fn(x)的表达式．正确答案：解：令f1(x)=f(x)，可用数学归纳法证明

当n=1时，显然式①成立；假设当n=k时，式①成立，则当n=k+1时

即对n=k+l式①也成立，即证得式①成立．[考点]函数、极限

19.

讨论函数

在x=0处的可导性．正确答案：解：f'+(0)=-1，f'-(0)=1，故f(x)在x=0处不可导．[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

20.

求曲线在点(0，1)处的法线方程．正确答案：解：当x=0，y=1时，对应t=0．，则

故法线方程为y-1=-2(x-0)，即y+2x-1=0．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

证明下列不等式：

利用拉格朗日中值定理．21.

|sinx-siny|≤|x-y|；正确答案：证明：|sinx-siny|=|(x-y)cosξ|≤|x-y|(ξ介于x与y之间)．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

22.

pyp-1(x-y)＜xp-yp＜pxp-1(x-y)(0＜y＜x，p＞1)；正确答案：证明：xp-yp=p(x-y)ξp-1，其中0＜y＜ξ＜x，由于p＞1，所以yp-1＜ξp-1＜xp