2025千题百炼-高中数学100个热点问题（三）：第77炼 定点定直线问题含答案

2025千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第77炼定点定直线问题含答案第77炼定点定直线问题一、基础知识：1、处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为）（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到。常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含的分式，的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）2、一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转二、典型例题：例1：椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为（1）求椭圆的标准方程（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（1），设左焦点，解得椭圆方程为（2）由（1）可知椭圆右顶点设，以为直径的圆过即①联立直线与椭圆方程：，代入到①或当时，恒过当时，恒过，但为椭圆右顶点，不符题意，故舍去恒过例2：已知椭圆经过点，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程（2）过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和，设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点解：（1）代入可得：椭圆方程为（2）由（1）可得：当直线斜率不存在时，所以可得：为轴当斜率存在时，设，则设，联立方程可得：同理，联立，可得：的方程为：，整理可得：时，直线方程对均成立直线恒过定点而斜率不存在时，直线也过直线过定点例3：如图，已知椭圆的左右焦点为，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形（1）求椭圆的方程（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由解：（1）由椭圆方程可得为边长是2的三角形（2）设设，由可得：设，则由可得：①联立方程组，消去整理可得：代入到①可得：在定直线上例4：已知椭圆的中心在坐标原点，左，右焦点分别为，为椭圆上的动点，的面积最大值为，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程（2）若直线过定点且与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点，直线分别与轴交于两点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解：（1）因为圆与直线相切椭圆方程为：（2）当直线的斜率存在时，设，由椭圆方程可得点设，联立方程可得：由，可得：，分别令，可得：，设轴上的定点为若为直径的圆是否过，则问题转化为恒成立即①由及可得：代入到①可得：解得：圆过定点当直线斜率不存在时，直线方程为，可得为直径的圆过点所以以线段为直径的圆过轴上定点例5：如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，当直线的斜率为时，（1）求椭圆的标准方程（2）试问以为直径的圆是否过定点（与的斜率无关）？请证明你的结论解：（1）由可得：由对称性可知：由可得椭圆方程为代入，可得：（2）设由对称性可知，由（1）可知设，联立直线与椭圆方程：，整理可得：解得：，代入可得：从而，因为是直线与轴的交点以为直径的圆的圆心为，半径圆方程为：，整理可得：所以令，解得以为直径的圆恒过例6：已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，过点且不垂直轴的直线与椭圆相交于两点（1）求椭圆的方程（2）若点关于轴的对称点是，求证：直线与轴相交于定点解：（1）已知圆方程为：因为与直线相切椭圆的方程为：（2）设直线，联立方程可得：，消去可得：考虑直线直线的方程为：令可得：，而，代入可得：，代入可得：与轴交于定点例7：在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四个点中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上（1）求椭圆的方程（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：必在椭圆上若在椭圆上，则为椭圆的左顶点。但，所以与在椭圆上矛盾在椭圆上椭圆方程为（2）依题意可得，方程为：且共线为中点在椭圆内部设，因为与椭圆交于为中点且于为的中垂线设为中点当时恒过当时，直线为轴，过无论位于哪个位置，直线恒过例8：已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点（1）求动点的轨迹的方程（2）过且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由图像可得：点的轨迹为以为焦点的椭圆（2）设直线，，与椭圆方程联立可得：消去可得：，整理后可得：设，因为以为直径的圆过点①代入到①可得：所以只需：可得所以存在定点例9：已知椭圆和圆，分别为椭圆的左顶点，下顶点和右焦点（1）点是曲线上位于第二象限的一点，若的面积为，求证：（2）点分别是椭圆和圆上位于轴右侧的动点，且直线的斜率是直线斜率的2倍，求证：直线恒过定点解：（1）由椭圆可得设，由在第二象限可得：的面积为，代入圆方程可得：（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立与椭圆方程：代入直线方程可得：联立与圆方程：代入直线方程可得：的方程为：整理可得：直线恒过定点例10：已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是（1）求椭圆的方程（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程解：（1）抛物线的焦点坐标为直线的方程为：椭圆方程为（2）因为直线与椭圆相切联立直线与椭圆方程：即切点坐标即的方程为联立方程：解得在这条定直线上第78炼圆锥曲线中的定值问题一、基础知识：所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。1、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。2、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算二、典型例题：例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于），直线分别于直线交于两点（1）求双曲线的方程（2）试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由解：（1）由可得，且焦点在轴上所以设双曲线方程为：，则渐近线方程为由解得：双曲线方程为（2）由（1）可得：，设设，联立方程解得：同理：设，联立方程可得：下面考虑计算的值在双曲线上所以为定值例2：已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆方程（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，且满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由解：（1）由可得：椭圆方程为代入可得：解得：椭圆方程为（2）设，联立方程可得：消去可得：，整理可得：依题意可知：即①由方程可得：代入①可得：，整理可得：可知为定值，与的取值无关例3：已知椭圆经过点，，动点（1）求椭圆标准方程（2）设为椭圆的右焦点，过作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：的长为定值，并求出这个定值解：（1）由可得：椭圆方程可转化为：，将代入椭圆方程可得：，解得：椭圆方程为（2）由（1）可得：思路一：通过圆的性质可得，而（设垂足为），由双垂直可想到射影定理，从而，即可判定为定值，设与相交于则解得：为圆的直径由射影定理可得：思路二：本题也可从坐标入手，设，则只需证明为定值即可，通过条件寻找关系，一方面：，可得；另一方面由点在圆上，可求出圆的方程，从而，展开后即可得到为定值解：设，则的中点坐标为，以为直径的圆方程为：代入，可得：即例4：已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点（1）求椭圆的方程（2）设，延长分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证：为定值解：（1），设由可得：（2）由（1）可得，设可得：联立方程同理，直线与椭圆交点的坐标为设，代入可得：小炼有话说：本题中注意的变形：可通过直线方程用表示，代入后即可得到关于的表达式例5：已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，求证：为定值解：（1）依可知椭圆方程为代入解得：椭圆方程为（2）思路：由（1）可得：，可设，由题意可知为过作圆切线所产生的切点弦，所以,从而可得，所以，由椭圆方程可得，从而为定值解：由（1）可得：设可知是过作圆切线所产生的切点弦设，由是切点可得：，代入：，即，同理可知对于，有因为在圆上为直线上的点因为两点唯一确定一条直线，即由截距式可知在椭圆上即为定值小炼有话说：（1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后的特点整体消去所得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。（2）本题求直线方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同构”的特点，从而确定直线方程注：切点弦方程：过圆外一点作圆的切线，切点为，则切点弦的方程为：例6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，设为椭圆上任意一点。过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于（1）若直线相互垂直，求的方程（2）若直线斜率存在，并记为，求证：是一个定值（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由解：（1）由可得，即联立方程：或或或的方程为：或或或（2）思路：可设直线，均与圆相切，可得（其中）化简可得：，可发现均满足此方程，从而为的两根。则，再利用椭圆方程消元即可得到定值解：设与相切化简可得：对于，同理可得：为的两根（3）思路：设，，由第（2）问所得结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将坐标分别用进行表示，再判断是否为定值解：当不在坐标轴上时，设同理可得：若在坐标轴上（不妨设在轴）上，则综上所述，为定值例7：已知椭圆，称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为（1）求椭圆的方程及其“准圆”方程（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明②求证：线段的长为定值解：（1）依题意可得：，（2）①由（1）可得，设切线方程为：联立方程：消去可得：整理可得：解得：所以②设则，消去可得：整理可得：整理后可得：同理，对于设切线的斜率为，则有：在“准圆”上所以为“准圆”的直径为定值，例8：已知点在椭圆上，椭圆的左焦点为（1）求椭圆的方程（2）直线过点交椭圆于两点，是椭圆经过原点的弦，且，问是否存在正数，使得为定值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由左焦点可得，由，代入可得：解得：（2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量，直线的另一核心要素为斜率（假设存在），通过可联想到弦长公式，所以分别将直线的方程与椭圆方程联立，进而为关于的表达式，若为常数，则意味着与的取值无关，进而确定的值设直线,，联立方程：设，则所以若是个常数，也为的形式，即此时，当直线斜率不存在时，可得符合题意小炼有话说：本题在判断的取值也可通过精确的计算得到，通过分式变形化为只有一项含的表达式：，若的值与无关，则例9：如图，已知椭圆的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．解（1）圆的圆心椭圆方程为：（2）由圆与椭圆关于轴对称可得：关于轴对称设，则，且有由可得：因为在椭圆上（非长轴顶点）时，，将代入可得即，代入到圆方程可得：（3）思路：依图可知所可翻译为坐标运算即，且分别为直线与轴的交点，可设出，从而结合和计算出的方程，从而可用进行表示，再根据椭圆方程进行消元即可。解：