2025千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第32炼 解三角形中的不等问题含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第32炼解三角形中的不等问题含答案第32炼解三角形中的不等问题一、基础知识：1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：变式：此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值3、三角形面积公式：（1）（为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（其中为外接圆半径）4、三角形内角和：，从而可得到：（1）正余弦关系式：（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦公式：6、辅助角公式：，其中7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效。8、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值二、例题精析：例1：△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是A． B． C． D．思路：从所给条件入手，进行不等式化简：，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示：，可解得：答案：A例2：在中，角所对的边分别为，已知（1）求的大小（2）若，求的取值范围 解：（1）由条件可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”（2）思路：考虑在中，已经已知，从而可求出外接圆半径，进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用这个条件，考虑利用角来解决解：例3：在锐角中，角所对的边分别为，且（1）求角（2）求的取值范围解：（1）方法一：使用余弦定理由余弦定理得：方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理（2）为锐角三角形小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而用代换，所以满足锐角的条件也由来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例4：在中，角所对的边分别为，已知，且（1）当时，求的值（2）若角为锐角，求的取值范围解：（1）或（2）思路：以“角为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而也刚好得到与的关系式，再由可解得的范围解：考虑余弦定理为锐角，例5：若的内角满足，则的最小值是思路：所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可解：由可得：答案：例6：在锐角中、的对边长分别是、,则的取值范围是()A．B．C．D．思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：，只需求出的范围即可。条件所给的是关系，从而，利用减少角的个数：，代入可得：，根据锐角三角形求出的范围即可。解：由因为为锐角三角形解得：答案：B小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是，所以在求表达式范围时将均用来进行表示，以便于求得值域。例7：已知的角所对的边分别是，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为__________思路：由可联想到余弦定理求，所以，从而，所求面积可表示为，则只需解出的最大值即可。由外接圆半径及可得：，所以，而，所以有，所以答案：小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出，在计算面积时有三组边角可供选择：，通常是“依角而选”，从而把目标转向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值。例8：设的内角所对的边为，若成等比数列，则的取值范围是______________思路：由成等比数列可得：，也可视为，所求表达式也可视为。如果从角入手，则无法与联系。所以考虑从边入手。由可得：，在中，若，则，所以，即，同理，若，则，解得：。综上答案：例9：已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，且BC边上的高为，则的取值范围为______．思路：一方面由所求出发，可用均值不等式得到，验证时存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手可联想到余弦定理，而由题目中的底和高可得，所以有：，只需求得的范围即可，考虑，，所以，综上：答案：小炼有话说：（1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消去（比如本题中的），从而整理出一个可操作的表达式（2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角，并用的一个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到的范围，从而确定的范围能经过，所以能够取到例10：（2014，重庆）已知的内角满足，面积满足，记分别是所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.思路：本题需判断的式子比较多，先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得，即，联想到面积公式及可得：，从而可用进行表示求出范围，另一方面可由，利用不等式的传递性即可求出的范围解：即由正弦定理可得：所以由可得：，所以均不正确正确同理，不正确三、近年好题精选1、（2016，上海十校联考）设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.2、（2016江苏高三第一次联考）在中，是的中点，边（含端点）上存在点，使得，则的取值范围是_______3、（2015，新课标I）在平行四边形中，，，则的取值范围是_______4、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为_________5、（2014，新课标全国卷I）已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为_______6、（2016，洛阳12月月考）在的内角所对的边分别为，则下列命题正确的是________①若，则②若，则③若，则为锐角三角形④若，则7、（2014，陕西）的内角的对边分别为（1）若成等差数列，证明：（2）若成等比数列，求的最小值8、设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.9、已知和满足：（1）求证：是钝角三角形，并求最大角的度数（2）求的最小值10、（2016，安徽六校联考）已知函数.（1）求的对称中心（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围习题答案：1、答案：A解析：由锐角可知：，解得，所以，从而2、答案：解析：方法一：若存在点，使得，则为锐角或直角在中代入，可得：方法二（向量法）以为原点，直线为轴建系，则，设，由和可得3、答案：解析：延长交于点，则在中，设，则由正弦定理可得设，则由正弦定理：可得：，整理后可得：，所以，由可知，所以4、答案：解析：由余弦定理可得：，代入可得：，即，所以有：所以当时，有最大值为5、答案：解析：由正弦定理可得：且即6、答案：①②③解析：①由正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：，所以②从而，从而③，所以，即，则，所以最大角为锐角。即是锐角三角形④取满足，则，不符题意7、解析：（1）成等差数列，由正弦定理可得：（2）成等比数列由余弦定理可得：等号成立当且仅当的最小值为8、解析：（1）（2）解得：9、解析：（1）不妨设，由可得：若，则，三式相加可得：，等式显然不成立若，则，显然不成立，此时，三式相加可得：，解得：（2）由（1）可得：且（在处取得）10、解析：（1）对称中心为：对称中心为：（2）由已知可得：（舍）或因为为锐角三角形第67炼圆锥曲线的性质一、基础知识（一）椭圆：1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点的距离和为定值（定值大于）的点的轨迹称为椭圆，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中②焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在轴的椭圆为例：（1）：与长轴的顶点有关：，称为长轴长：与短轴的顶点有关：，称为短轴长：与焦点有关：，称为焦距（2）对称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设，则（4）通径：焦点弦长的最小值①焦点弦：椭圆中过焦点的弦②过焦点且与长轴垂直的弦说明：假设过，且与长轴垂直，则，所以，可得。则（5）离心率：，因为，所以（6）焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为（7）焦点三角形面积：（其中）证明：且因为，所以，由此得到的推论：①的大小与之间可相互求出②的最大值：最大最大最大为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点距离差的绝对值为一个常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：①焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中②焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在轴的双曲线为例：（1）：与实轴的顶点有关：，称为实轴长：与虚轴的顶点有关：，称为虚轴长：与焦点有关：，称为焦距（2）对称性：双曲线关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设，则有或，（4）离心率：，因为，所以（5）渐近线：当或时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出关于的直线即可。例如在中，求渐近线即解：，变形为，所以即为双曲线的渐近线②渐近线的几何特点：直线所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现的关系。（6）通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴，（7）焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则①（可记为“左加右减”）②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在轴正半轴：，焦点坐标（2）焦点在轴负半轴：，焦点坐标（3）焦点在轴正半轴：，焦点坐标（4）焦点在轴负半轴：，焦点坐标小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：，则焦点在轴上，且坐标为3、焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则4、焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）二、典型例题：例1：已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A.B.C.D.思路：先从常系数方程入手，抛物线的焦点为，即双曲线中的，所以，从而双曲线方程为：，其渐近线方程：，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择，右焦点，所以答案：A小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素答案：A例2：已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则（）A.B.C.D.思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以作为核心变量，抛物线的焦点为，所以可得，因为，所以双曲线方程为，可求得渐近线方程为，不妨设与平行，则有。从相切可想到与抛物线联立消元后的方程：，所以解得答案：A例3：如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，将的离心率分别记为，点是在第一象限的公共点，若的一条渐近线是线段的中垂线，则（）A.B.C.D.思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有，所求表达式，本题与焦半径相关，所以考虑。结合的中点与的中点可得双曲线的渐近线与平行，从而，所以有，联系上面条件可得：，所以答案：A例4：已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（）A.B.C.D.思路：因为有公共焦点，所以通过可得，从而，圆的直径为，所以截椭圆的弦长为。由双曲线得，进而与椭圆方程联立，再利用弦长公式即可得到关于（或）的方程，解方程即可解：通过可得，不妨设，则，所以利用弦长公式可得又因为解得：，故选C答案：C例5：（2014，山东，10）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程是，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A.B.C.D.思路：要想求渐近线方程，关键在的比值，所以将两个离心率均用表示，再利用乘积为即可得到关系，进而求出渐近线方程解：设曲线的离心率分别为，则即因为双曲线的渐近线方程为：，代入可得：答案：A小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中的求法不同，从而使得两条曲线在相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出关系例6：椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个交点，那么的值是（）A.B.C.D.思路：所求既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义可得：，，由此联想到两个式子的完全平方公式，进而可求出，则答案：B例7：已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A.B.C.D.思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标，所以，进而可确定抛物线方程：，以及准线方程：。所以，设点横坐标为，则，所以，由焦半径公式可得：，所以，即，可解得：答案：B例8：设为双曲线的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以