自考离散数学命题演算笔记

自考离散数学命题演算笔记一、命题演算的基本概念1.命题：可以明确判断真假的陈述句称为命题。2.命题符号：用字母（如p、q、r等）表示的命题称为命题符号。3.命题演算：研究命题符号之间关系的数学分支。二、命题演算的基本运算1.否定（¬）：表示对命题的否定，如¬p表示对p的否定。2.合取（∧）：表示两个命题的合取，如p∧q表示p和q同时为真。3.析取（∨）：表示两个命题的析取，如p∨q表示p和q至少有一个为真。4.蕴含（→）：表示两个命题的蕴含关系，如p→q表示如果p为真，则q必为真。5.双条件（↔）：表示两个命题的双条件关系，如p↔q表示p和q同时为真或同时为假。三、命题演算的基本法则1.双重否定律：¬¬p=p2.假言三段论：p→q,¬q→¬p3.假言换位：p→q↔¬q→¬p4.交换律：p∧q↔q∧p,p∨q↔q∨p5.结合律：p∧(q∧r)↔(p∧q)∧r,p∨(q∨r)↔(p∨q)∨r6.分配律：p∧(q∨r)↔(p∧q)∨(p∧r),p∨(q∧r)↔(p∨q)∧(p∨r)7.吸收律：p∧(p∨q)↔p,p∨(p∧q)↔p8.德摩根律：¬(p∧q)↔¬p∨¬q,¬(p∨q)↔¬p∧¬q9.互补律：p∨¬p↔1,p∧¬p↔010.等幂律：p∧p↔p,p∨p↔p自考离散数学命题演算笔记四、命题逻辑函数命题逻辑函数是指对命题进行运算的函数，它将命题作为输入，输出也是一个命题。常见的命题逻辑函数包括：1.常函数：常函数的输出是一个固定的命题，无论输入是什么。例如，常真函数T的输出始终为真，常假函数F的输出始终为假。2.投影函数：投影函数的输出是其输入之一。例如，p的投影函数为p。3.合取函数：合取函数的输出是其输入的合取。例如，p∧q的合取函数为p∧q。4.析取函数：析取函数的输出是其输入的析取。例如，p∨q的析取函数为p∨q。5.否定函数：否定函数的输出是其输入的否定。例如，¬p的否定函数为¬p。6.蕴含函数：蕴含函数的输出是其输入的蕴含。例如，p→q的蕴含函数为p→q。7.双条件函数：双条件函数的输出是其输入的双条件。例如，p↔q的双条件函数为p↔q。五、范式范式是命题逻辑中的一种标准形式，用于简化命题逻辑表达式。常见的范式包括：1.合取范式（CNF）：将命题逻辑表达式转换为多个合取项的合取。例如，p∧(q∨r)的合取范式为(p∧q)∨(p∧r)。2.析取范式（DNF）：将命题逻辑表达式转换为多个析取项的析取。例如，(p∧q)∨(p∧r)的析取范式为p∧(q∨r)。六、等价关系等价关系是命题逻辑中的一种关系，表示两个命题逻辑表达式在逻辑上等价。常见的等价关系包括：1.双重否定等价：p↔¬¬p2.德摩根等价：¬(p∧q)↔¬p∨¬q,¬(p∨q)↔¬p∧¬q3.交换等价：p∧q↔q∧p,p∨q↔q∨p4.结合等价：p∧(q∧r)↔(p∧q)∧r,p∨(q∨r)↔(p∨q)∨r5.分配等价：p∧(q∨r)↔(p∧q)∨(p∧r),p∨(q∧r)↔(p∨q)∧(p∨r)6.吸收等价：p∧(p∨q)↔p,p∨(p∧q)↔p7.互补等价：p∨¬p↔1,p∧¬p↔08.等幂等价：p∧p↔p,p∨p↔p自考离散数学命题演算笔记七、逻辑推理逻辑推理是命题演算中的重要应用，它包括演绎推理和归纳推理。在演绎推理中，我们从已知的前提推导出结论。归纳推理则是从具体的实例推导出一般性的结论。1.演绎推理：如果前提是真的，那么结论也必然是真的。例如，如果所有人都喜欢苹果，而小明是人，那么我们可以推出小明喜欢苹果。2.归纳推理：如果前提是真的，那么结论可能是真的。例如，观察到的所有天鹅都是白色的，我们可能推断出所有天鹅都是白色的。八、逻辑证明逻辑证明是使用逻辑规则和已知事实来证明一个命题的过程。常见的逻辑证明方法包括直接证明、间接证明和反证法。1.直接证明：从已知的事实出发，使用逻辑规则推导出结论。2.间接证明：通过证明结论的否定是假的，从而证明结论是真的。3.反证法：假设结论是假的，然后推导出矛盾，从而证明结论是真的。九、逻辑谬误逻辑谬误是指在逻辑推理过程中出现的错误。常见的逻辑谬误包括：1.谬误的前提：推理的前提是错误的。2.谬误的结论：推理的结论是错误的。3.谬误的推理：推理的过程存在逻辑错误。4.谬误的假设：推理的假设是错误的。5.谬误的归纳：归纳推理的结论不是必然的。十、逻辑思维训练逻辑思维训练是提高逻辑推理能力的重要方法。通过解决逻辑题目和练习逻辑推理，我们可以提高我们的逻辑思维能力。常见的逻辑思维训练方法包括：1.分析逻辑题目：分析逻辑题目的条