1.2.2等差数列前n项和（第1课时）课件高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列2.2等差数列前n项和第1课时等差数列前n项和的推导及初步应用北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.探索并掌握等差数列前n项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.3.理解Sn与an的关系,并能运用这个关系解决相关问题.基础落实·必备知识一遍过知识点1

等差数列的前n项和1.数列前n项和的定义对首项为a1,公差为d的等差数列{an},设Sn是等差数列{an}的前n项和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.注意等式两端角标“n”的一致性自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1.(

)(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等.(

)√×知识点2

等差数列的前n项和公式

名师点睛1.两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.2.公式

表明等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.3.当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式

.用此公式时,有时要结合等差数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有Sn=(ak+an-k+1).4.当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式思考辨析高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了此等差数列前100项的和.如果是求1+2+3+…+n(n∈N+),不知道共有奇数项还是偶数项怎么办?提示

我们可以采用倒序相加法来回避这个问题:设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1),∴2Sn=n(n+1),∴Sn=(n∈N+).自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.(

)(2)1+2+3+…+100.(

)(3)等差数列的前n项和,等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(

)√√√2.[人教B版教材例题]已知等差数列{an}的公差为2,且a20=29,求这个等差数列前20项的和S20.解

由等差数列的通项公式可得29=a1+19×2,知识点3

数列中an与Sn的关系对于一般数列{an},设其前n项和为Sn,则有

注意角标中n的取值限制

名师点睛1.这一关系对任何数列都适用.2.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式也适合n=1的情况,数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式不适合n=1的情况,数列的通项公式采用分段形式.思考辨析已知数列{an}的前n项和为Sn=n2,则数列{an}是等差数列吗?提示

当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1;n=1时适合上式,所以数列{an}是等差数列,公差为2.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若数列{an}的前n项和为Sn,则对于任意的n∈N+,an=Sn-Sn-1.(

)(2)在数列{an}中,a5=S5-S4.(

)×√2.若Sn=n2-3n+1,求数列{an}的通项公式.解

∵Sn=n2-3n+1,∴当n=1时,a1=S1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-3n+1-[(n-1)2-3(n-1)+1]=n2-3n+1-(n2-5n+5)=2n-4.经检验,当n=1时,an=2n-4不成立,重难探究·能力素养速提升探究点一等差数列前n项和公式的基本运算【例1】

在等差数列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.规律方法

等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.变式训练1(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若4S1=3S2+S4,a5=5,则a10=(

)A.3 B.7 C.11 D.15D(2)已知在等差数列{an}中,a1=2,a7=4a3,Sn为数列{an}的前n项和,则S10=(

)A.115 B.110 C.-110 D.-115D探究点二

由数列{an}的前n项和Sn求an【例2】

(1)已知数列{an}的前n项和Sn=,则a5的值等于(

)B★(2)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?变式探究若将本例(2)中前n项和改为Sn=n2+n+1,求数列{an}的通项公式.规律方法

已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an,先由a1=S1求得a1,再当n≥2时,an=Sn-Sn-1求得an的表达式,最后验证a1是否符合an的表达式,若符合则统一用一个式子表示,不符合则分段表示.探究点三等差数列在实际生活中的应用【例3】

某文具店开业期间,用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品,其中最下面一层铅笔数为16根,从最下面一层开始,每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根,则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为(

)A.8 B.9 C.10 D.11B解析

从下到上,铅笔数构成以16为首项,以-1为公差的等差数列,Sn=100,整理得(n-8)(n-25)=0,所以n=8或n=25,当n=25时,a25=16-24=-8不合题意,故n=8,a8=16-7=9.故选B.规律方法

当建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.变式训练2李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1日开始,每个月的1日都存入1000元,共存入3年.(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰,则3年后李先生一次可支取本息共多少元?(设每月存款的利息不计入下月本金,下同)(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰,则李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元?解

(1)每1

000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是1

000×2.7‰=2.7(元).第1个1

000元存36个月,得利息2.7×36(元);第2个1

000元存35个月,得利息2.7×35(元);……第36个1

000元存1个月,得利息2.7×1(元).因此,3年后李先生获得利息2.7×36+2.7×35+…+2.7×1=×36=1

798.2(元).所以3年后李先生可支取的本息和为1

000×36+1

798.2=37

798.2(元).(2)每1

000元“零存整取”存一个月能得到的利息是1

000×1.725‰=1.725(元),因此,若是“零存整取”,3年后李先生获得利息1.725×36+1.725×35+…+1.725×1=×36=1

148.85(元).因此,李先生多收益1

798.2-1

148.85=649.35(元).即李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益649.35元.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列前n项和公式的基本运算.(2)由数列{an}的前n项和Sn求an.(3)等差数列在实际生活中的应用.2.方法归纳:方程(组)思想、分类讨论.3.常见误区:(1)项数的确定不准确;(2)由数列{an}的前n项和Sn求an,忽略n≥2.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练1819201.[探究点一]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7等于(

)A.49 B.42 C.35 D.28B解析

2a6-a8=a4=6,S7=(a1+a7)=7a4=42.12345678910111213141516171819202.[探究点一]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am+am-1=73(m≥3),Sm=2020,则m的值为(

)A.100 B.101

C.200

D.202B12345678910111213141516171819203.[探究点一]在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和为(

)A.44 B.88

C.99

D.110B解析

由等差数列的性质可知,a1+a11=a4+a8=16,故前11项的和为故选B.12345678910111213141516171819204.[探究点一](多选题)在等差数列{an}中,公差为d,Sn是数列{an}的前n项和,若d=2,an=11,Sn=35,则a1等于(

)A.-1 B.3 C.5 D.7AB12345678910111213141516171819205.[探究点三·2024湖南湘潭模拟]小张的父亲经营着一家童鞋店,该店提供从25码到36.5码的童鞋,尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天,小张帮助他的父亲整理某一型号的童鞋,以便确定哪些尺寸需要进货,小张在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后,小张的父亲询问那些缺货尺寸是哪些,但小张无法找到标记缺货尺寸的进货单,他只记得其中一个尺寸是28.5码,并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.则另外一个缺货尺寸是(

)A.28码

B.29.5码

C.32.5码 D.34码C12345678910111213141516171819206.[探究点一]在等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,d是公差,S10=4S5,则

=

.

12345678910111213141516171819207.[探究点一]已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N+),那么它的前n项和Sn=

.

n212345678910111213141516171819208.[探究点一]在等差数列{an}中,a10=30,a20=50.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242,求n.

12345678910111213141516171819209.[探究点二·2024黑龙江哈尔滨期末]已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=-2n2+15n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn的最大值.1234567891011121314151617181920解

(1)等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+15n,当n=1时,a1=S1=-2+15=13,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n2+15n-[-2(n-1)2+15(n-1)]=17-4n,显然a1=13满足an=-4n+17,所以数列{an}的通项公式是an=-4n+17.1234567891011121314151617181920B级关键能力提升练

AB1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192011.在等差数列{an}中,+2a3a8=9,且an<0,则S10等于(

)A.-9 B.-11 C.-13 D.-15D123456789101112131415161718192012.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为(

)A.10000 B.8000 C.9000 D.11000A123456789101112131415161718192013.(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则(

)A.S11=0 B.a6=0 C.S6=S5

D.S7=S6ABC解析

因为{an}是等差数列,所以a5+a7=a1+a11=2a6.从而a6=0,S11=0,故选项A,B正确;又因为a6=S6-S5=0,即S6=S5,故选项C正确;对于选项D,S7-S6=a7,根据题意无法判断a7是否为零,故选项D错误.故选ABC.123456789101112131415161718192014.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a4=4,则(

)A.an=4n-8 B.an=2n-4 C.Sn=2n2-6n D.Sn=n2-3nBD123456789101112131415161718192015.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200=

.

100123456789101112131415161718192016.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a1a4=a5,则an=

.

3-n解析

设等差数列{an}的公差为d,∵a3=S5,a1a4=a5,∴a1+2d=5a1+d,a1(a1+3d)=a1+4d,解得a1=2,d=-1,则an=2-(n-1)=3-n.1234567891