2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区九上数学开学联考模拟试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共7页2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区九上数学开学联考模拟试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）用配方法解方程配方正确的是（）A． B． C． D．2、（4分）已知点(-2,)，(-1,)，(1,)都在直线y=-3x+b上，则、、的值大小关系是（）A．>> B．>> C．<< D．<<3、（4分）要使式子有意义，则x的取值范围是()A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣14、（4分）下列各式：（1﹣x），，，，其中分式共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、（4分）我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：111、96、47、68、70、77、105，则这七天空气质量指数的平均数是（）A．71.8 B．77 C．82 D．95.76、（4分）下列各选项中因式分解正确的是（）A． B．C． D．7、（4分）如图，点在反比例函数，的图像上，点在反比例函数的图像上，轴于点．且，则的值为（）A．-3 B．-6 C．2 D．68、（4分）已知一组数据a、b、c的平均数为5，方差为4，那么数据a+2、b+2、c+2的平均数和方差分别为（）A．7，6 B．7，4 C．5，4 D．以上都不对二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，将正五边形ABCDE的C点固定，并按顺时针方向旋转一定的角度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上，则旋转的角度是______________度.10、（4分）平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝_____cm．11、（4分）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____．12、（4分）苏州市2017年6月份最后六大的最高气温分别为31，34，36，27，25，33（单位：℃）．这组数据的极差是_____．13、（4分）不等式2x-1>5的解集为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC上的点F处,已知AB=8,BC=10,求EC.15、（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示：完成下列问题：(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90∘后的△ABC;点B1的坐标为___；(2)在(1)的旋转过程中，点B运动的路径长是___(3)作出△ABC关于原点O对称的△ABC;点C的坐标为___.16、（8分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．17、（10分）(1)因式分解:m3n-9mn；(2)解不等式组:.18、（10分）如图，方格纸中每个小方格都长为1个单位的正方形，已知学校位置坐标为A（1,2）。（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系；（2）写出图书馆B位置的坐标。B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，是直线上的一点，已知的面积为，则的面积为________.20、（4分）如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长__________．21、（4分）抛物线有最_______点．22、（4分）如图，等腰中，，，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于______.23、（4分）已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(-，0)、(0，-1)，把点A绕坐标原点O顺时针旋转135°得点C，若点C在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点D在y轴上，点E在反比例函数y=的图象上，且以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形．请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点D、E的坐标．25、（10分）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份售价比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．（1）一月份甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？26、（12分）（几何背景）如图1，AD为锐角△ABC的高，垂足为D．求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2（知识迁移）如图2，矩形ABCD内任意一点P，连接PA、PB、PC、PD，请写出PA、PB、PC、PD之间的数量关系，并说明理由．（拓展应用）如图3，矩形ABCD内一点P，PC⊥PD，若PA＝a，PB＝b，AB＝c，且a、b、c满足a2﹣b2＝c2，则的值为（请直接写出结果）

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】

本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【详解】解：，，∴，．故选：．此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2、B【解析】

先根据直线y=-1x+b判断出函数的图象特征，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．【详解】∵直线y=-1x+b，k=-1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵-2＜-1＜1，∴y1＞y2＞y1．故选B．本题考查的是一次函数的图像与性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．3、C【解析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于1，可得答案．【详解】要使有意义，得x-1≥1．解得x≥1，故选C．考点：二次根式有意义的条件．4、A【解析】

分式即形式,且分母中要有字母，且分母不能为0.【详解】本题中只有第五个式子为分式，所以答案选择A项.本题考查了分式的概念，熟悉理解定义是解决本题的关键.5、C【解析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，因此，。故选C。6、D【解析】

直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．【详解】解：A.，故此选项错误；B.，故此选项错误；C.，故此选项错误；D.，正确．故选D．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．7、B【解析】

先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知S△AOM，S△BOM=||，则S△AOM：S△BOM=3：|k|，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，则3：|k|=1：2，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定k的值．【详解】∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点M，∴S△AOM，S△BOM=||，∴S△AOM：S△BOM：||=3：|k|．∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2，∴|k|=1．∵反比例函数的图象在第四象限，∴k＜0，∴k=﹣1．故选B．本题考查了反比例函数y的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|=1：2，是解题的关键．8、B【解析】

根据数据a，b，c的平均数为5可知a+b+c=5×3，据此可得出（-2+b-2+c-2）的值；再由方差为4可得出数据a-2，b-2，c-2的方差．【详解】解：∵数据a，b，c的平均数为5，∴a+b+c=5×3=15，∴（a-2+b-2+c-2）=3，∴数据a-2，b-2，c-2的平均数是3；∵数据a，b，c的方差为4，∴[（a-5）2+（b-5）2+（c-5）2]=4，∴a-2，b-2，c-2的方差=[（a-2-3）2+（b-2-3）2+（c--2-3）2]=[（a-5）2+（b-5）2+（c-5）2]=4，故选B．本题考查了平均数、方差，熟练掌握平均数以及方差的计算公式是解题的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1°【解析】

由于正五边形的每一个外角都是1°，所以将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转1°，就可使新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上．【详解】解：将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转1度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上．

故答案为：1．本题考查正多边形的外角及旋转的性质：

（1）任何正多边形的外角和是360°；

（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．10、1．【解析】

根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．【详解】解：∵平行四边形的周长为20cm，∴AB+BC=10cm；又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，∴BC﹣AB=2cm，解得：AB=1cm，BC=6cm．∵AB=CD，∴CD=1cm故答案为1．11、1【解析】

作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=PC=1，根据角平分线的性质解答即可.【详解】作PE⊥OA于E，∵CP∥OB，∴∠OPC=∠POD，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠POA=∠POD=15°，∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，∴PE=PC=1，∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD=PE=1，故答案为：1．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12、32【解析】

根据极差的定义进行求解即可得答案．【详解】这组数据的最大值是36，最小值是25，这组数据的极差是：36﹣25=1（℃），故答案为1．本题考查了极差，掌握求极差的方法是解题的关键，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．13、x>1【解析】考点：解一元一次不等式．分析：先移项，再合并同类项，系数化为1即可．解：移项得，2x>5+1，合并同类项得，2x>6，系数化为1得，x>1．故答案为x>1．点评：本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、EC=1【解析】

根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD为矩形，

∴DC=AB=8cm；∠B=∠C=90°；

由题意得：AF=AD=10，

设EF=DE=xcm，EC=8-x；

由勾股定理得：BF2=102-82，

∴BF=6，

∴CF=10-6=4；

在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+（8-x）2，

解得：x=5，

EC=8-5=1．

故答案为：1此题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；运用勾股定理得出方程是解决问题的关键解题的关键．15、（1）图见解析，;（2）；（3）图见解析，（2，3）.【解析】

（1）如图，画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△ABC；（2）如图，根据弧长公式，计算点B运动的路径长；画出△ABC后的△ABC；（3）如图，画出△ABC关于原点O对称的△ABC．【详解】(1)如图所示：点B1的坐标为(3,−4)；故答案为：(3,−4)(2)由勾股定理得：OB==5，∴故答案为：；(3)如图所示,点C2的坐标为(2,3)故答案为：(2,3).此题考查作图-旋转变换，掌握作图法则是解题关键16、（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（，3）；（3）≤S≤．【解析】

（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；

（2）①根据HL证明即可；

②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；

（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD==4，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=，∴BH=，∴H（，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=•DE•DK=×3×（5-）=，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=×D′E′×KD′=×3×（5+）=．综上所述，≤S≤．本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．17、（1）；（2）.【解析】

（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解：（1）原式；（2），由①得：，由②得：，则不等式组的解集为．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18、（1）见解析；（2）(−3,−2)；【解析】

(1)利用点A的坐标画出直角坐标系；(2)根据点的坐标的意义描出点B；【详解】(1)建立直角坐标系如图所示：(2)图书馆(B)位置的坐标为(−3,−2)；故答案为：(−3,−2)；此题考查坐标确定位置，解题关键在于根据题意画出坐标系.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】

根据平行四边形面积的表示形式及三角形的面积表达式可得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半．【详解】根据图形可得：△ABE的面积为平行四边形的面积的一半，又∵▱ABCD的面积为52cm2，∴△ABE的面积为26cm2.故答案为：26.本题考查平行四边形的性质，解题关键在于熟练掌握三角形的面积公式.20、1【解析】

先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△AED，从而求出PQ=AE．【详解】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△AED∴PQ=AE==1．故答案是：1．本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．21、低【解析】

因为：，根据抛物线的开口向上可得答案．【详解】解：因为：，所以根据抛物线的开口向上，抛物线图像有最低点．故答案：低．本题考查的符号决定抛物线的图像的开口方向，掌握抛物线的图像特点是解题关键．22、45°【解析】

由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．【详解】∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，∵DE是线段AB垂直平分线的交点，∴AE=BE，∠A=∠ABE=30°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=75°-30°=45°．此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23、1【解析】

因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为1．【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，∴这个菱形的面积为6×8÷2＝1故答案为1此题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）y=；（2）示意图见解析，E（-，-），D（0，-1-）或E（-，-），D（0，-1+）或E，D【解析】

（1）根据旋转和直角三角形的边角关系可以求出点C的坐标，进而确定反比例函数的关系式；（2）分两种情况进行讨论解答，①点E在第三象限，由题意可得E的横坐标与点A的相同，将A的横坐标代入反比例函数的关系式，可求出纵坐标，得到E的坐标，进而得到AE的长，也是BD的长，因此D在B的上方和下方，即可求出点D的坐标，②点E在第一象限，由三角形全等，得到E的横坐标，代入求出纵坐标，确定E的坐标，进而求出点D的坐标．【详解】（1）由旋转得：OC=OA=，∠AOC=135°，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，则∠COM=135°-90°=45°，在Rt△OMC中，∠COM=45°，OC=，∴OM=CM=1，∴点C（1，1），代入y=得：k=1，∴反比例函数的关系式为：y=，答：反比例函数的关系式为：y=（2）①当点E在第三象限反比例函数的图象上，如图1，图2，∵点D在y轴上，AEDB是平行四边形，∴AE∥DB，AE=BD，AE⊥OA，当x=-时，y==-，∴E（-，-）∵B（0，-1），BD=AE=，当点D在B的下方时，∴D（0，-1-）当点D在B的上方时，∴D（0，-1+），②当点E在第一象限反比例函数的图象上时，如图3，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，∵ABED是平行四边形，∴AB=DE，AB=DE，∴∠ABO=∠EDO，∴△AOB≌△END

（AAS），∴EN=OA=，DN=OB=1，当x=时，代入y=得：y=，∴E（，），∴ON=，OD=ON+DN=1+，∴D（0，1+）考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、以及全等三角形的判定和性质等知识，画出不同情况下的图形是解决问题的关键．25、（1）一月份甲型号手机每台售价为4500元；（2）共有5种进货方案．【解析】

（1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型号手机每台售价为（x-500）元，根据数量=总价÷单价结合一二月份甲型号手机的销售量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机（20-m）台，根据总价=单价×数量结合总价不多于7.6