2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第七章平行线的证明7.4平行线的性质 教案

第七章平行线的证明4平行线的性质教学目标1.掌握平行线的三个性质；2.会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算；3.通过对比，理解平行线的性质和判定的区别.教学重难点重点：理解并掌握平行线的性质公理和定理．难点：能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．教学过程导入新课问题1:我们以前探究过的平行线的判定,平行线有哪些判定方法?（同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行)问题2:在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们.探究新知活动一:平行线的性质定理1问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？问题3：你能说说证明的思路吗？如图：已知直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角，求证：∠1=∠2.【证明】假设∠1≠∠2，则过点O可作直线GH，使得∠EOH=∠2.∵∠EOH=∠2,∴直线GH∥CD.又∵直线AB∥CD,且AB、BH代表不同直线，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.∴∠1≠∠2的假设不成立，∴∠1=∠2.定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.定理2：两直线平行，内错角相等.如图：已知直线∥,∠1和∠2是直线、被直线截出的内错角，求证：∠1=∠2.【证明】∵l1∥l2(已知)，∴∠1＝∠3(两条直线平行，同位角相等).∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠2(等量代换).定理3：两直线平行，同旁内角互补.学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,全班交流,集体订正.例1如图所示，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？【解】∠A=∠C,∠B=∠D，理由：∵AB∥CD（已知），∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又∵AD∥BC（已知），∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B=∠D（同角的补角相等）.同理，∠A=∠C.例2已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.【证明】∵AB∥DC（已知），∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠B=∠D（已知），∴∠D+∠C=180°（等量代换），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.例3如图，b∥a,c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.证明：b∥c.【证明】∵b∥a(已知)，∴∠2＝∠1(两条直线平行，同位角相等).∵c∥a(已知),∴∠3=∠1(两直线平行，同位角相等).∴∠2=∠3(等量代换)．∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.议一议完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形．先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．课堂练习1.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝80°，则∠1等于()A．120°B．110°C．100°D．80°2.如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为()A．70°B．100°C．110°D．120°3.如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作CD∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为()A．60°B．65°C．70°D．75°4.()A．122°B．151°C．116°D．97°5．已知：如图，AB∥DE，BC∥FE.求证：∠B＋∠E＝180°.6．如图，E，G分别是AB,AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°.(1)判断AD与EF的位置关系，并说明理由；(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数.参考答案1.C2.C3.D4.B5.证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠1.∵BC∥EF，∴∠1＋∠E＝180°，∴∠B＋∠E＝180°.6.解：（1）AD∥EF.∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD.∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF.（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°.∵DG是∠ADC的平分线，∴∠1＝∠GDC＝40°.∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝40°.课堂小结（学生总结，老师点评）平行线的性质平行线的传递性布置作业习题7.5第2，3题板书设计第七章平行线的证明4平行