量子力学 2 波函数与薛定格方程

第二章波函数与薛定格(dìnɡɡé)方程问题(wèntí):(1)如何描述微观粒子的状态？

(2)微观粒子的状态变化时应遵循什么样的运动规律？

共八十七页§1

波函数一.“波动性”与“粒子性”矛盾(máodùn)的分析:1)研究对象-----微观粒子:既不是经典意义(yìyì)上的粒子,

也不是经典意义上的波.例:通过对光的认识过程可知,光就是光

--------它既不是粒子也不是波.2)“波动性”与“粒子性”的矛盾与分析:历史上曾有过的错误认识:a)波包:夸大了波动性的一面,从而实际上抺杀了粒子性的一面-----有片面性.b)波是大量粒子集体运动的表现:这种观点夸大了粒子性的一面,从而实际上抺杀了波动性的一面而被实践证明是错误的.共八十七页3)分析(fēnxī):现在的研究对象——微观粒子:

具有一定的质量,电荷等属性被称为物质的“原子性”,“整体性”或“粒子性”。但不是经典(jīngdiǎn)的粒子,抛弃了“轨道”概念.具有干涉,衍射现象——本质上是波的相干迭加性.但又不是经典的波,具有明确的局域性.结论:1926年,玻恩(M.Born)把微观粒子的“原

子性”和“波的相干迭加性”统一起来,提出了“几率波”的概念.4)电子双缝衍射实验:目的:

通过分析电子双缝衍射实验,去寻找正确理解和认识象电子这样的微观客体的行为特征的途径.共八十七页名人名言

Feynman认为:

这一实验设计的包含了量子力学的一切(yīqiè)秘密之处,它把自然的疑难,特异和神奇性百分之百地摆在你的面前.降低所发射的

电子束的强度,使其低到足以

分开每一个事件特点：实验共八十七页A)

电子是逐个到达荧光屏上的，所谓逐个的意思就是对每个事件在屏上只能观察到一个亮点，而且各亮点涉及到的范围很小。不会出现(chūxiàn)一大片光斑或光晕（粒子性的表现）。

实验结果①

先只打开缝1并遮上缝2开始对应于每个事件的亮点在屏上出现的位置是随机的。但积累(jīlěi)了大量事件后就可看到单缝衍射的图样。反之亦然。②当两个缝同时打开时：开始亮点在屏上出现的位置仍是随机的但积累了大量事件后就可看到的结果并不是①中两个单缝衍射的图样简单相加，而是双缝的衍射的图样。结论:既不是经典的粒子也不是经典的波.C)

为说明问题，实验按以下顺序进行：B)

只要时间足够长就可记录下大量的事件，其结果就会看到衍射条纹（波动性的表现）。共八十七页若以来描述电子衍射花样的强度分布共八十七页的存在的A)相干迭加的结果充分显示了微观粒子与经典粒子的区别

.若是经典粒子,如细沙粒或子弹,它们一个一个地穿过狭缝,虽然两个缝都是打开的,但穿过缝2的粒子是无法感知缝1,反之亦然.所以只能出现经典的结果。.B)如何理解相干迭加的这一结果呢?试想遵循下面的推理:对实验结果的解释µµ某处衍射条纹的强度该处附近出现亮点的次数打在该处附近的电子的数目µ一个电子在该处附近出现的几率结论:以

描述电子衍射花样的强度分布,则应正比于电子在该处附近出现的几率.2Y共八十七页8BulletDouble-slitInterference共八十七页结论:(1)函数

(r)在双缝衍射中对电子的状态具有重要意义,即可以用(r)来描写经双缝衍射后电子在到达屏上时所处的状态.(2)使用(r)的描述,可以统一“波动性”与“粒子性”的矛盾------“几率波”二.波函数:1)量子力学中使用波函数来描述微观粒子的运动状态,

一般以

(r,t)来表示.①波函数本身它并不是一个力学变量------这是与经典力学的一个重要区别.------从一开始量子力学就与经典力学(jīnɡdiǎnlìxué)完全不同②它可以向我们提供(tígōng)被研究的微观粒子的各种力学量的取值及其变化的全部信息.共八十七页2)波函数的几率(jīlǜ)解释:①

为微观粒子

t时刻在

r处附近

r

→

r+dr区间内出现的几率.②归一化条件(tiáojiàn):③(r)与C(r)(C为一常数)所描写的是同一个微观状态.

A)“几率波”与经典波动有本质的不同:y0Cy0X

对经典波动:波动方程前乘以C,相当与波的振幅被放大了C倍,强度被放大了C2倍,因此它们是完全不同的两个波.讨论:共八十七页B)归一化系数(xìshù):设

(r,t)为一个没被归一化的波函数,若有常数C满足:其中(qízhōng)或C被称为

(r,t)的归一化系数.若有(r,t)=C(r,t)且(r,t)和(r,t)描述的是同一个状态.C)波函数位相的不确定性:当为实数时与描述的是同一个状态且都是归一化的现象被称为波函数位相的不确定性.共八十七页3)波函数的标准化条件(tiáojiàn):

物理上要求：波函数满足(mǎnzú)单值、连续和有限的条件.

有限性它不排除对某些孤立点有:但04)自由粒子平面波的波函数:总体思路由经典平面波波动方程的复数形式，利用德布罗意关系式，把经典理论中描写粒子性的物理量E和P揉入其中，形成自由粒子的波函数的表达式。再去经受实践的检验。共八十七页其复数(fùshù)形式为：A）经典的沿X方向传播(chuánbō)的平面波的波动方程：波的强度波的强度取其实部则可还原为其实数形式。复数形式的优点：a)方便运算。B)自由粒子与平面波:自由粒子不受外界作用,其动量为确定值德布罗意关系式对应的波长与波矢为恒定平面波b)初位相f以的形式出现，因此可以被包含在复振幅A中。共八十七页C）量子力学中自由粒子的波函数：)(0),(xpEtixetx--Y=Yh对应代换关系量子力学经典力学),(txy),(txYn频率hE/能量l波长xph/动量A振幅0Y复振幅量子力学中自由粒子的波函数共八十七页一般情况(qíngkuàng)下的表示:特点1)具有波动方程的形式.2)包含经典理论中描述粒子特征的物理量

E

和p在空间各点发现自由粒子的概率相同。这时粒子的动量是完全确定的，但其位置就完全不确定。常数=Y2),(trr对自由粒子

波函数统计诠释涉及(shèjí)对微观世界本质的认识与争论至今仍未完结。哥本哈根学派爱因斯坦共八十七页设归一化因子(yīnzǐ)为C，则归一化的波函数为

(x)=C

exp(-

2x2/2)例题：将波函数归一化解:由:可得:则归一化后的波函数为利用积分公式:得:共八十七页量子力学(liànɡzǐlìxué)与经典力学共八十七页§2

薛定格方程一.自由粒子(lìzǐ)薛定格方程的建立:自由(zìyóu)粒子波函数1)为讨论其随时间的变化两边对t求偏导得:2)它启发我们波函数随时间的变化与能量有关：自由粒子的能量表达式为:在直角坐标系中的形式为：这个式子当然也可写为:共八十七页3)注意到自由粒子波函数对坐标的导数是与动量有关(yǒuguān)的,而且对自由粒子来讲，能量是可以由动量完全确定下来的。因此要讨论波函数对坐标的导数:同理4)再由:同理有：共八十七页5)所以(suǒyǐ)有:6)把1)和5)代入2)的两边(liǎngbiān)可得:----自由粒子波函数所满足的薛定格方程该方程的特点:A)是一个线性微分方程,迭加原理适用.若体系具有一系列不同的可能状态则也是其可能的状态B)方程系数中不包含与微观粒子状态有关的参量.共八十七页通过上述过程，能得到自由粒子(lìzǐ)波函数所满足的微分方程，这是好的。但是得到该方程的方法是我们所不感兴趣的。有意义是我们仍可以从上述过程中得到一些重要(zhòngyào)的启示。再把这些启示进一步升华就可得到另外一种产生上述方程的方法。这种新方法的一个重要特征就是：可以在不知道自由粒子波函数的情况下，仍然能得到正确的关于自由粒子波函数随时间变化的偏微分方程。给出我们这种启示的是在前面的的推导过程中所出现过的下述等式：共八十七页当然，在前述过程中这些等式是在自由粒子的波函数为已知的条件(tiáojiàn)下被“推导”出来的。这些等式可以给出的启发是：但是如果我们(wǒmen)认为在不知道波函数的具体形式时这些等式也是正确的。当然，这一认识对于自由粒子的情况一定是没有问题的。

②动量

px对波函数的作用与算符对波函数的作用是相同的。(其中x=x,y,z)

③动量平方

px2对波函数的作用与算符对波函数的作用是相同的。(其中x=x,y,z)那么就可以使用这些等式在不知道自由粒子波函数的情况下得到自由粒子波函数随时间变化的偏微分方程。对其具体的操作过程可表通过下面三个步骤完成：

①能量E对波函数的作用与算符对波函数的作用是相同的。共八十七页

①假设：对未知的波函数，上述(shàngshù)等式都是正确的。即承认对未知的波函数下述的物理量与算符之间的对应关系是正确的。

②写出经典力学的自由(zìyóu)粒子的能量表达式：并对任意函数ψ可以得到等式：

③使用①中给出的算符，替换②中最后一个等式中相应的各个物理量就可得到与前面经过推导得到的完全相同的自由粒子的波函数所满足的偏微分方程。共八十七页----这就是自由粒子波函数所满足的薛定格(dìnɡɡé)方程再强调一遍，这方法的一个重要特点就是：可以在不知道自由粒子波函数的情况下，仍然能得到(dédào)正确的关于自由粒子波函数随时间变化的偏微分方程。正是由于这个原因，使得使得这种方法更容易向一般的情况，即事先不知道波函数的具体形式，但是还要寻求波函数所满足的微分方程的这种情况去推广。二.一般情况下的薛定格方程:1)一维的情况：为了得到对于非自由粒子，即一般情况下的薛定格方程我们假设：前述的反映力学量与算符的对应关系的等式在一般情况下，即非自由粒子的情况下也是正确的。共八十七页

由此可以得到(dédào)等式：使用前面的“算符关系(guānxì)等式”代换掉上式中的物理量可得到：2)三维情况：其中：

其中ψ（x,t）为未知的，可用来描写该粒子状态的波函数。在一维情况下，非自由粒子的经典力学能量表达式应写为：共八十七页

该方程于1926被Schödinger首次给出,并为此(wéicǐ)荣获1933年诺贝尔物理奖.Schödinger方程是非相对论量子力学的基本动力学方程.其在量子力学中的地位(dìwèi)与牛顿定律在经典力学中的地位(dìwèi)是相同的.

三维情况下的粒子经典力学的能量表达式为：再使用“算符关系等式”代换掉上式中的物理量就可得到：

并由此可以得到等式：共八十七页三.定态薛定格(dìnɡɡé)方程:1)定态薛定格(dìnɡɡé)方程A)分离变量:

若在所研究的问题中U=U(r)与时间t无关,则可设:(r,t)=(r)f(t)对薛定格方程分离变量可得:其中E为常数.B)本征值与本征值方程:E为算符

或

的本征值而上述方程被称为该算符的本征值方程.共八十七页C)与时间有关部分的解:

由方程可解出:D)定态:

这时

在这种状态下微观粒子在各处(ɡèchǔ)出现的几率与时间无关-----因此被称为定态

被称为定态波函数.

E)定态薛定格(dìnɡɡé)方程:

方程被称为定态薛定格方程.共八十七页定义(dìngyì):对定态情况(qíngkuàng)时有:这里被称为系统的哈密顿量.

定态薛定格方程也可表示为:这时E被称为H的本征值,而

(r)被称为H的本征函数.2)多粒子系统的定态薛定格方程:研究对象:总粒子数=N,粒子的质量mi(i=1,2,3…N)共八十七页粒子(lìzǐ)间的相互作用势能为:外场(wàicháng)与粒子间的相互作用势能为:若V与Ui都与时间无关,则我们可以研究其定态问题.以表示系统的定态波函数.A)波函数:其物理意义为:归一化条件为:共八十七页C)多粒子系统的定态薛定格(dìnɡɡé)方程:这里的E就是(jiùshì)该多粒子系统的能量本征值.B)多粒子系统的哈密顿量:经典力学:量子力学:共八十七页2024/9/2432

微观粒子的状态(zhuàngtài)可用波函数来描写,而波函数随时间的演化遵从薛定格方程:共八十七页一、物理背景与简化(jiǎnhuà)近似:§3、一维无限(wúxiàn)深势阱简化近似：x)(xU0U势阱深度一维有限深势阱物理背景：)(xU金

属

体0U势阱深度金属中自由电子的势能曲线x共八十七页x¥®0U势阱深度一维无限深势阱Ur)(rU原子核0U势阱深度原子核中质子的势能曲线物理(wùlǐ)背景简化(jiǎnhuà)近似一维无限深势阱的势能函数axxU<<=00)(axxxU><¥=或0)(势阱宽度a=共八十七页二、一维无限(wúxiàn)深势阱的定态薛定格方程：势阱中粒子的经典力学能量关系mPEx22=应用前面得到的物理启示22222xppxx¶¶-ºÞÙh)(d(x)d2222xExm

=

-h其定态薛定格方程可写为：边界条件0)(=

x时axx³£,0x¥®0U势阱深度势能曲线Ua0

Ⅰ区03=

01=

Ⅱ区

Ⅲ区共八十七页三、一维无限深势阱(shìjǐnɡ)问题的解：1、方程(fāngchéng)的通解：222kmE=h0dd222=+yykx)sin()(jy+=kxAx令:2、确定常数

f势阱无限深所以阱外有：y(x)=0（x£0x³a）由波函数连续性，

边界条件

：

y(0)=0

y(a)=0j

=0y(0)=Asinj=0x=0处有共八十七页ka=npF(a)=Asinka=0n=1.2.3……n=0?注意到在x=a处有3

、能量本征值

E

的确定：222kmE=hka=np22222manEEnhp==n=1.2.3……一维无限深势阱中运动的微观粒的能量只能取分立值。其中n---被称为量子数。

能量的不连续这一结论并不用出自于普朗克假设。它是量子力学的自然结果。基态能量¹0----波动性。22212maEhp=共八十七页kxAx

sin)(=1d)(20=òxx

anaA2=122=aA4、确定能量本征波函数：ka=npxanAx

npsin)(=22222manEnhp=对应于能量本征值为

的本征波函数。5、由归一化条件确定系数A：归一化条件为1)(2-=

ò+¥¥dxxn

(x)=0（

x£0x³a）1sin20=òdxxanAap共八十七页xanAx

npsin)(=a2（

0<x<a

）一维无限深势阱定态薛定格方程全部解完。6、一维无限深势阱问题小结：1）一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度n=1n=2n=3a22212maEhp=2nn

w=124EE=1w2w3w139EE=0xnExaa

psin21=xaa

p2sin22=xaa

p3sin23=n

0xnEa共八十七页htEinnnex

tx-=Y)(),(tinexanapnp2)sin(2-=驻波

？A)考虑

时间因子

是沿

x轴正向、负向传播的波，形成

驻波。两端为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。n的取值不同,能量不同，腹的数目不同。波腹的数目等于

n的数目。a为半波长的整数倍.ieeii2sinqqq--=2）讨论：共八十七页C)束缚态与扩展(kuòzhǎn)态:B)基态能量与测不准(bùzhǔn)关系:束缚态:在│r│

→

∞

时波函数为零的状态称为束缚态.

n(x)=0（

x£0x³a)xanAx

npsin)(=束缚态共八十七页扩展(kuòzhǎn)态:如对自由粒子的波函数有:因此(yīncǐ)一般有:所以自由粒子的状态为扩展态.D)宇称:可以证明对势阱的势能函数为:axxU<<=-a0)(axxxU><¥=

或-a)(势阱宽度2a=的一维无限深势阱中粒子其定态波函数为:共八十七页该波函数具有(jùyǒu)下列性质:当n为偶数(ǒushù)时:当n为奇数时:这来源于势函数U(x)对x=0处的对称性U(x)=U(-x)①宇称算符:P称为宇称算符.以P表示把X变为负X的运算,则有:②P的本征值:由知P2的本征值为1,因此P的本征值为+1或-1,即有:偶宇称奇宇称共八十七页四、量子力学(liànɡzǐlìxué)处理问题的基本步骤：1)写出哈密顿量及哈密顿算符.4)由初始条件和边界条件,并依据(yījù)波函数的

标准化条件的要求,求出能量本征值.3)解出通解,其中包含待定常数:

能量本征值及一些待定常数.5)求出与本征值相应的本征波函数.6)进行必要的讨论.2)建立薛定格方程.共八十七页§4、一维谐振子1)势函数:m—振子质量(zhìliàng)，

—固有频率，x—离开平衡位置的位移2)哈密顿量:一、哈密顿量及哈密顿算符:3)哈密顿算符:由得:为定态问题(wèntí)。共八十七页二.定态薛定格(dìnɡɡé)方程:1)定态薛定格(dìnɡɡé)方程:由得:2)明确边界条件:因为严格的一维谐振子是个一维无限深势阱

------只存在束缚态.所以有:这就一维谐振子的波函数应满足的边界条件.(1)共八十七页三.解出定态薛定格方程(fāngchéng)的通解:1)方程(fāngchéng)的化简:代入方程(1)可得:共八十七页2)求出渐近解:注意(zhùyì)到方程(fāngchéng)变为:该方程在

∞时有:形式的解.且满足边界条件的渐近解为:(2)共八十七页〖〗因为(yīnwèi)

不满足边界条件的要求(yāoqiú),所以舍去.因此得方程在

∞时的近似解为:共八十七页3)厄米方程(fāngchéng):设方程(2)的通解为:则有:代回方程(fāngchéng)(2)中可得:共八十七页(3)

方程(3)在数学上被称为(chēnɡwéi)厄米方程,显然，只要由该方程求出函数u

就可得到方程(1)的解.共八十七页4)厄米方程(fāngchéng)的级数解法:设:则有:代回方程(fāngchéng)

(3)中可得:共八十七页在第一个求和(qiúhé)号中取

-

则有

+

，且有求和范围由:(4)欲使该式对任何都等于零,就要求(yāoqiú)

各次幂的系数均为零:这样，前面的方程就可写为：共八十七页则有:c)系数(xìshù)间的递推关系:b)当时有:s=0或s=-1a)当时有:s=0或s=1因此,只需确定系数(xìshù)

a0和a1,则其它的系数都可通过该递推关系完全确定.5)根据波函数的标准化条件,确定能量本征值:

一般情况下

u(

)

=

H

是一个无穷级数.当∞时其渐近行为具有如下形式:A)对(4)中的结果进行分析:共八十七页〖〗①②共八十七页不满足边界条件的要求,也不满足标准化条件中关于有限性的要求.B)解决办法:为保证

(x)的有限性且满足边界条件，就要求(yāoqiú)级数从某一项开始其系数等于零,这样无穷级数就变成一个(yīɡè)有限项的多项式,若有:共八十七页C)确定能量(néngliàng)本征值:注意到(若如此则不能满足(mǎnzú)有限性的要求.)①设:这时有s=0或s=1两种情况:这时必有

=偶数s=0时,定义:n=+s=为偶数.s=1时,定义:n=+s=+1为奇数.综上有:n=+s=正整数.n=0,1,2,3,...注意到:该式给出了薛定格方程(1)的能本征值.②可以说明,若设时s=0,s=-1,并不给出新的结果.共八十七页6)求解(qiújiě)本征波函数:①注意(zhùyì)到

x

则有:其中

Hn

=Hn

x

称厄米多项式.其具体的形式为:③Hn

的最高次幂的项为2n

n②可以证明有:n=0,E0=(1/2)

,H0

n=1,E1=(3/2)

,H1

2

n=2,E2=(5/2)

,H2

4

2-2-----------------------------n=n,En=(n+1/2)

,共八十七页④波函数的归一化:为此(wéicǐ)计算积分:分部(fēnbù)积分一次可得:由厄米多项式表达式可得:共八十七页而HnHn-1

为关于的多项式,其最高次幂为:2n

n2n-1

n-1=22n-1

2n-1

它与相乘,当

±

时必为零.因此有:把这种分部积分反复(fǎnfù)进行n次可得:但有:和共八十七页归一化后的波函数为:7)讨论(tǎolùn):①正交性:一维谐振子的波函数

n(x)满足(mǎnzú):(6)证明:对m

=

n的情况在归一化时已讨论过,

对m

,

n不相等的情况,不妨设m<n,这时有:对其分部积分m+1次后可得:0m=nm=n1共八十七页注意(zhùyì)到:所以(suǒyǐ)有:这一结果被称为一维谐振子本征波函数

n(x)的正交性.②完备性:

完备性是指本征函数系具有如下的性质:相当一部分以x为自变量的函数可以按该函数系展开成级数的形式.如对函数f(x)可写为:所谓“完备性”从某种意义上可以认为就是：展开式中的系数an

是可由f(x)和

n(x)来唯一确定的。共八十七页

对此可作如下说明:若把前式两边(liǎngbiān)同乘以

n*(x)并对x积分有:利用(lìyòng){

n(x)}的正交性可得:则有:即:共八十七页③本征波函数

n

x

的函数(hánshù)曲线:节点(jiédiǎn):A)使函数

n

x=0的点称为该函数的节点.

B)显然

n

x

的节点决定于Hn(x),而Hn是x的n次多项式,因此Hn(x)=0就有n个根,也就是说

n

x

有n个节点.(除x=∞外)

n=0n=1n=2共八十七页④粒子在各处(ɡèchǔ)出现的几率的分布:由波函数的几率解释,粒子(lìzǐ)处在量子数为n的本征态时,其位置在xx+dx区间内的几为:共八十七页⑤与经典(jīngdiǎn)谐振子的比较:A)能量(néngliàng)状态:经典:可取连续值且可以为零.量子:只能可取分立值最小值E0=ħω/2不为零------测不准关系的体现.B)几率分布:量子:以基态波函数为例.显然:共八十七页经典(jīngdiǎn):与量子基态具有相同能量时即在找到粒子的几率为零.而按量子力学,在处找到粒子的几率为:C)量子(liàngzǐ)结果与经典结果间的联系:可以证明:当n>>1时,量子力学的结果在平均值上与经典力学的结果相符合.差别只在于

|

n(x)|2

是迅速振荡着的.共八十七页线性谐振子n=11时的几率密度(mìdù)分布共八十七页§4、势垒贯穿(guànchuān)与扫描遂穿显微镜一、E>U0时势垒的反射(fǎnshè)与贯穿:1)势函数:2)薛定格方程:(I区,III区)(II区)3)边界条件:0aU0I区II区III区U(x)共八十七页4)通解(tōngjiě):令对E>0且E>U0的情况(qíngkuàng),其解可写为:I区:II区:III区:5)物理意义:

这里eikx和e-ikx分别表示沿X轴正方向和沿负方向传播的波矢为k的平面波.所以:A为入射波振幅,A’为反射波振幅.C为透射波振幅,C’必须为零.共八十七页6)解的情况(qíngkuàng):把上述(shàngshù)通解代入边界条件可得四个方程.从这四个方程中可解出B,B’,C及A’———它们为A,k1,k2,a的函数.其中有:共八十七页二.几率(jīlǜ)流密度:----几率(jīlǜ)密度本段讨论w(r,t)随时间变化的情况：（1）一维时的情况：由薛定谔方程：1.几率流密度:共八十七页把该式取复数(fùshù)共轭可得：把这两式代入前式可得：定义(dìngyì)：-----几率流密度共八十七页上式可写为：（2）三维时的情况(qíngkuàng)：把该式取复数(fùshù)共轭可得：(1)(2)共八十七页这里使用了有关的矢量运算(yùnsuàn)公式：定义(dìngyì)：-----几率流密度共八十七页上式可写为：-----连续性方程(fāngchéng)（3）连续性方程(fāngchéng)的物理意义：由数学中的散度定理：可得：讨论该式的物理意义。共八十七页①质量守恒方程(fāngchéng)：②电荷(diànhè)守恒方程----质量密度----质量流密度-----质量守恒方程。----电荷密度----电流密度-----电荷守恒方程。共八十七页③讨论：这里的几率守恒有定域的性质：当微观粒子在空间某处出现的几率小了，必然在另一些地方(dìfāng)出现的几率增加了以使总的几率保持不变。如讨论：由定域条件(tiáojiàn)可知必有：则可得：所以有：结论：在整个空间找到粒子的几率与时间无关。如果波函数是已经归一化的，那末它将保持归一化的性质而不随时间改变。共八十七页①

入射波的几率(jīlǜ)流密度:②

透射波与反射(fǎnshè)波的几率流密度:同样的计算可以说明有:③

透射系数与反射系数:由定义:2、反射系数与透射系数:共八十七页R0这说明(shuōmíng),既使在E>U0的情况下也有一部分粒子被反射回I区.三、E<U0情况(qíngkuàng)下的势垒贯穿:1)E<U0时的情况:这时因E

-

U0

<

0所以k2为虚数.可设:k2=ik3,而k3为实数.共八十七页把前面(qiánmian)结果中的k2换成ik3可得:这说明既使在E<U0的情况下仍有透射系数D>0,