7.5.1三角形内角和定理课件北师大版八年级数学上册

7.5.1三角形内角和定理1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°．2.会运用三角形内角和定理进行计算.重点难点学习目标通过撕纸实验，我们发现，三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关.你还记得这个结论是怎么探索的吗？(1)如图，如果我们只把∠A

移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么办法可以达到同样的效果？新课引入(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这个结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一探究过程吗？与同伴交流.证明：三角形三个内角的和等于180°.已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.分析：延长BC

到D，过点

C

作射线CE∥BA，这样就相当于把∠A

移到了∠1的位置，把∠B

移到了∠2的位置.∠1∠2CD、CE

称为辅助线，通常画成虚线.新知学习证明：作BC

的延长线CD，过点C

作射线CE∥BA.∵CE∥BA，∴∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)，

∠A=∠ACE

(两直线平行，内错角相等).∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

(平角等于180°)，∴∠A+∠B+∠ACB=180°

(等量代换).∠1∠2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.归纳总结你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A

处，他过点A

作直线PQ∥BC，如图，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同伴进行交流.议一议已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：过点A

作PQ∥BC，∵PQ∥BC(已作)，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C

(两直线平行，内错角相等).∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角等于180°)，∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).1.作辅助线为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.2.思路总结为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.归纳例1 如图，在△ABC

中，∠B=38°，∠C=62°，AD

是△ABC

的角平分线，求∠ADB

的度数.解：在△ABC

中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°，∠C=62°(已知)，∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).∵AD

平分∠BAC(已知)，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义).ABDC

在△ADB

中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°(已知)，∠BAD=40°(已证)，∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).ABDC例2 如图，△ABC

中，D

在BC

的延长线上，过D

作DE⊥AB

于E，交AC

于F.已知∠A

=30°，∠FCD

=80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA

=90°．∵在△AEF

中，∠FEA

=90°，∠A

=30°，∴∠AFE

=180°

-∠FEA

-∠A

=60°.又∵∠CFD

=∠AFE，∴∠CFD

=60°.∴在△CDF

中，∠CFD=60°，∠FCD=80°，∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.直角三角形的两个锐角的和是多少度？证明你的结论。ACB解：直角三角形的两个锐角的和是90度；证明如下：如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=180°-90°=90°∴直角三角形的两个锐角的和是90度.证明例3下图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A

岛的北偏东50°方向，B岛在A

岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ACBDE北北50°80°40°分析：A，B，C

三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB

是△ABC

的一个内角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.解：∠CAB=∠BAD-∠CAD =80°-50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°ACBDE北北50°80°40°答:从B

岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.你还有其他解法吗？ACBDE北北50°80°40°F添加辅助线分析：过点C

作CF//AD，则CF//BE，可得∠ACF=∠DAC=50°，∠BCF=∠CBE=40°，所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=90°.∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，所以∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=60°.解法二：同学们，自己动手写出证明过程吧！三角形的内角和定理证明内容了解添加辅助线的方法三角形内角和等于180°应用∠1+∠2+∠3=180°方法一方法二

课堂小结2.直线l1∥l2，把一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．40°1.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°D

随堂练习3.已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在AB和AC上，且DE//BC.求证：∠ADE=50°.ABCDE证明：∵DE//BC（已知）∴∠AED=∠C=70°（两直线平行，同位角相等）又∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°-70°-60°=50°（三角形内角和定理）

4.若三角形中三角之比为1:2:3，则三个角各为多少度？解：因为三角形的三角之比为1:2:3，所以设最小的角为x，则剩下两个角分别是2x，3x.由三角形内角和为180°，得x+2x+3x=180°，6x=180°，x=30°.则其余两个角分别为60°，90°.答：三个角分别是30°，60°，90°.5.已知：如图，在△ABC

中，∠A=2∠C=2∠B，(1)求∠B

的度数.CBA解：(1)∵∠A=2∠C=2∠B

，且∠A+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠B=45°.6.已知：如图，在△ABC

中，∠A=2∠C=2∠B，(2)若AD

是BC

边上的高，求∠DAC

的度数.CBAD解：(2)∵AD⊥BC，∴∠CDA=90°.又∵∠B=∠C=45°，∴∠DAC=180°-90°-45°=45°.7.

如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则

这个三角形缺损的顶角∠C的度数为(

B

)A.60°B.64°C.74°

第7题图BD.80°8.

在△ABC中，∠C＝45°，∠A＝2∠B，则△ABC是(

B

)A.

锐角三角形B.

直角三角形C.

钝角三角形D.

无法确定B9.(一题多变)

9.1

改变已知角求角度如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，连接DE且DE∥BC，已知

∠A＝80°，∠B＝60°，则∠AED的度数为(

C

)A.20°B.30°C.40°D.60°第9.1题图C9.2

将平行线改为一般线段求角度如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上.若∠1＋∠2＝128°，

∠C＝74°，则∠B的度数为(

D

)A.36°B.42°C.48°D.54°第9.2题图D9.3

添加角平分线求角度如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC

于点E.

若∠A＝50°，∠B＝66°，则∠CDE的度数为(

C

)第9.3题图A.16°B.24°C.32°D.40°C10.(教材P180第4题改编)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分

∠ABC，且∠1＝∠2，则∠ADB的度数为

⁠.第10题图90°11.吊桥在古代是城门的第一防线.如图为一城门外的吊桥及其侧面简化示意图.已知吊桥的绳索AC与绳索AE之间的夹角为168°，ED，AB均与地面垂直，AD，BC均与地面平行.若∠AED＝68°，则∠C的度数为

⁠.第11题图34°12.如图是说明三角形内角和为180°的一种方法，在△ABC中，点D是BC边上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，请利用此图，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.第12题图证明：∵DE∥AC(已知)，∴∠A＝∠BED，∠C＝∠BDE(两直线平行，同位角相等)，∵DF∥AB(已知)，∴∠EDF＝∠BED(两直线平行，内错角相等)，∠B＝∠CDF(两直线平

行，同位角相等)，∴∠A＝∠EDF(等量代换).∵∠EDF＋∠CDF＋∠BDE＝180°(平角的定义)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换).第12题图13.

如图，AC与BD相交于点O，已知OC＝OD，∠B＝27°，∠C＝44°，

则∠A的度数为(

A

)A.61°B.68°C.75°D.81°第13题图A14.含30°角的直角三角板DEF与△ABC如图放置，△ABC的两个顶点B，C分别在△DEF的DE，DF边上，若∠ABD＋∠ACD＝n°，则∠A的度数为(

B

)A.90°＋n°B.90°－n°C.45°＋n°D.180°－n°第14题图B15.李阿姨准备在文化活动室墙外安装如图①的遮阳篷，便于社区居民休憩.在图②的侧面示意图中，若某时刻光线AD射入篷内，光线AD与篷AB的夹角∠BAD是61°，与地面DE的夹角是45°，则篷AB与墙面BC的夹角∠B为

⁠.图①

图②第15题图74°16.

如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AC边上的点F处.若∠ADF＝20°，∠BAC＝75°，则∠B的度数为

⁠.第16题图50°17.

如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线.第17题图(1)若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠DAE的度数为

⁠；

【答案】10°第17题图(2)若∠B＝30°，∠BAC＝90°，则∠DAE的度数为

⁠；

15°第17题图(3)若∠C－∠B＝α，求∠DAE的度数(∠C＞∠B，用含α的代数式表示)；第17题图

(4)如图②，若∠B＝α，∠ACB＝β(β＞90°)，则∠DAE与α和β之间有怎

样的关系？请说明理由.第17题图

∵AD⊥BC(已知)，∴∠D＝90°(垂直的定义)，在△ABD中，∠D＋∠B＋∠BAD＝180°(三角形内角和定理)，∴∠BAD＝180°－∠D－∠B＝90°－α(等式的性质)，

第17题图18.

在三角形中，若存在一个内角的度数是另一个内角的度数的n倍，那么称这个三角形为n倍角三角形.已知在△ABC中，∠C＝90°，且