结构力学 第五章 力法

第五章超静定结构(jiégòu)的解法—力法共九十三页§

5-1超静定(jìnɡdìnɡ)结构概述和力法基本概念静力特征:仅由静力平衡方程(fāngchéng)不能求出所有内力和反力.超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、平衡”.几何特征:有多余约束的几何不变体系。

超静定结构是相对于静定结构而言的。静定结构是几何不变而又没有多余约束的体系，其反力和内力只需静力平衡方程即可求得。所谓几何不变体系是指如果不考虑材料应变所产生的变形，体系在受到任何载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系。超静定结构有以下几个特征：概述共九十三页

拱

组合(zǔhé)结构

1）超静定结构的类型

桁架(héngjià)

超静定梁

刚架

桁架§

5-1超静定结构概述和力法基本概念共九十三页（1）超静定次数——结构多余约束或多余未知力的数目，即为超静定次数。（2）确定超静定次数的方法(fāngfǎ)——通过去掉多余约束来确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。（3）去掉（解除）多余约束的方式2）超静定(jìnɡdìnɡ)次数确定a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆——去掉1个约束（联系）；X1§

5-2超静定次数和力法基本概念共九十三页b、去掉一个单铰或一个固定(gùdìng)铰支座——

去掉2个约束；c、切断刚性(ɡānɡxìnɡ)联系（梁式杆）或去掉一个固定端——去掉3个约束；X1X2X1X2X3X1X2X3§

5-1超静定结构概述和力法基本概念共九十三页d、将刚性连接(liánjiē)改为单铰——去掉1个约束。注意事项（1）对于同一超静定结构(jiégòu)，可以采取不同方式去掉多余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总个数应相同。（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因此，某些约束是不能去掉的。X1§

5-1超静定结构概述和力法基本概念共九十三页几何可变体系不能作为(zuòwéi)基本体系§

5-1超静定(jìnɡdìnɡ)结构概述和力法基本概念共九十三页举例(jǔlì)：X1X2X1X2X1X3X2§

5-1超静定结构(jiégòu)概述和力法基本概念共九十三页X4X3X1X2X1X2举例：§

5-1超静定结构(jiégòu)概述和力法基本概念共九十三页X1X1X2X2X3X3X1X2X3平衡(pínghéng)方程个数：2×8＝16

未知数个数：16+3=19多余(duōyú)约束力：19-16＝3计算桁架超静定次数的简单公式(m+r)-2j=16+3-2×8=3m（杆个数）；r（支反力数目）；j（节点数）§

5-1超静定结构概述和力法基本概念共九十三页X1X2X3X1X2X3每个无铰封闭(fēngbì)框超三次静定超静定(jìnɡdìnɡ)次数3×封闭框数=3×5=15超静定次数3×封闭框数－单铰数目=3×5－3=12举例：§

5-1超静定结构概述和力法基本概念共九十三页一个(yīɡè)无铰封闭框有三个多余约束.3×封闭(fēngbì)框数－单铰数目=3×3－4=53×封闭框数－单铰数目=3×3－3=6§

5-1超静定结构概述和力法基本概念共九十三页此两链杆任一根都不能去掉此链杆不能去掉共九十三页

力法的基本思想:1.找出未知问题(wèntí)不能求解的原因,2.将其化成能求解的问题,3.找出改造后的问题与原问题的差别,4.消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程

解除多余约束，转化为静定结构。将多余约束以多余未知力代替。这种把多余约束力作为基本量的计算方法——力法。共九十三页§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程看下面(xiàmian)简单的例子：llq123

如图3-6所示的双跨梁，它是二次超静定结构。在用力法计算时，可将其两个多余联系去掉。llR1R2qllM1M2M2(2)122图3-6a图3-6c图3-6b共九十三页§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程

为了求出基本结构中多余的约束力，必须考虑原结构在多余联系处的已知变形条件。下面(xiàmian)以求M1和M2（图3-6b）为例来说明。原结构（图3-6a）在均布载荷q作用下在固定端处的转角为零，在中间支座处转角连续。为使基本结构的受力和变形与原结构完全一致，就应使基本结构在多余约束力M1

、M2

载荷q作用下在支座1处的转角为零，在支座2处的转角连续，即：支座1处的转角支座2处的转角共九十三页§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程

上式即为变形协调条件(tiáojiàn)。利用两端自由支持单跨梁的弯曲要素表，可以得到转角与弯矩和外载荷之间的关系式，并将他们代入到上式，得到：根据变形条件求解：共九十三页§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程

求出基本未知量M1和M2后，就可分别(fēnbié)对两个静定单跨梁进行计算，并用叠加法画出梁1-2和2-3的弯矩图和剪力图，此即原双跨梁的弯矩图和剪力图。0.071ql2

0.107ql2-0.125ql2-0.125ql2

0.5ql-0.5ql0.036ql0.036ql-0.5ql0.5ql

-0.107ql-0.107ql0.393ql0.464ql

0.607ql0.536ql0.713ql2

0.107ql2

共九十三页第二种等效(děnɡxiào)方法固定(gùdìng)端支反力在均布载荷q作用下:变形条件求解：

0.464ql0.536ql0.607ql0.393ql0.713ql20.107ql2§

3-2力法的基本原理及典型方程在集中载荷R1作用下:在集中载荷R2作用下:共九十三页

力法基本原理：把去掉原结构上的多余联系后所得的静定结构作为基本结构，以多余约束力作为基本未知量，根据原结构在多余联系处的变形条件列力法方程，解之即得多余约束力；而以后的计算与静定结构相同。必须指出(zhǐchū)，基本结构的选取虽然可以不同，但它必须是几何不变的。否则不能用作计算超静定结构的计算图形。上述基本原理可以用于分析任何类型的超静定(jìnɡdìnɡ)结构，例如连续梁，刚架和桁架等。§

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三页

如果把图3-6b中的M1称为第一个多余约束力，记做X1；M2称为第二个多余约束力，记做X2。并且(bìngqiě)把力法方程组改写成：

式中：(a)§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程共九十三页

与图3-6b对照，可以看出(kànchū)：力法方程组(c)中的系数

11就是当X1=1单独作用于基本结构时，在X1作用点沿X1方向的转角（广义位移），而

21就是在X2作用点沿X2方向的转角；

22就是当X2=1单独作用于基本结构时，在X2作用点沿X2方向的转角（注意基本结构有一对X2），而

12在X1作用点沿X1方向的转角；

1p就是当外载荷单独作用于基本结构时在X1作用点沿X1方向的转角；而2p就是当外载荷单独作用于基本结构时在X2作用点沿X2方向的转角§

3-2力法的基本原理及典型(diǎnxíng)方程共九十三页

对于n次超静定(jìnɡdìnɡ)结构，其力法方程组可写为。（3-1）

注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于(děngyú)已知位移（沉降量），而不等于(děngyú)零。§

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三页（1）系数(xìshù)（柔度系数(xìshù)）、自由项

主系数δii(i＝1,2,…n)——单位多余未知力单独作用(zuòyòng)于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；Xi＝1

副系数δ

i

j(

i≠j)——单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，可为正、负或零，且由位移互等定理：δi

j=δj

iX

j＝1

自由项ΔiP

——荷载FP单独作用于基本体系时，所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。

ii和ΔiP的计算，一般可用材料力学中的位移计算方法，如单位力法§

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三页（3）最后(zuìhòu)弯矩（2）典型(diǎnxíng)方程的矩阵表示§

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三页力法基本思路小结(xiǎojié)

解除多余约束，转化为静定(jìnɡdìnɡ)结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法方程。

从力法方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。§

3-2力法的基本原理及典型方程共九十三页§

3-3刚性支座上连续梁与不可(bùkě)动节点简单刚架计算共九十三页§

3-3刚性支座上连续(liánxù)梁与不可动节点简单刚架计算1）刚性支座上连续梁与三弯距方程

1i-12I1l1n-1ii+1nIi-1IiIn-1li-1liln-1qi-1qiM1l1M2I1Mi-1li-1MiIi-1qi-1Mi+1MiliIiqiMn-1ln-1MnIn-1图3-1(a)图3-1(b)共九十三页

图(3.1a)所示的为n-1跨的刚性支座上的连续梁，其两端刚性固定。首先判断它是一个n次超静定梁（无轴向载荷，故无轴向约束反力），将连续梁两端的刚性固定端改为固定铰支座，并以相应的多余约束力（端面弯距）代替，在每个中间支座处将梁切断，并以相应的约束反力（梁截面上的弯距）代替。得到如图（3.1b）所示的基本(jīběn)结构—单跨梁。它会使得力法方程简化。§

3-3刚性支座(zhīzuò)上连续梁与不可动节点简单刚架计算共九十三页

根据原结构在刚性固定端转角为零和在支座(zhīzuò)处转角连续性条件，列出方程：（3-2a）i=2,3,…,n-1§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点(jiédiǎn)简单刚架计算共九十三页

将上式整理(zhěnglǐ)后得到：（3-2b）§

3-3刚性支座(zhīzuò)上连续梁与不可动节点简单刚架计算共九十三页

式中，i＝2,3,…,n-1；

i(qi-1)——第i-1跨梁上所有外荷引起(yǐnqǐ)得在支座i处的梁右端的转角；

i(qi)表示第i跨梁上所有外荷引起的在支座i处梁左端的转角；1(q1)、n(qn-1)同理，并规定沿顺时针方向的转角为正，反之为负。由式（3-2）可见，每个方程中最多含三个未知弯距，故式（3-2）称为三弯距方程，改写为矩阵形式为：§

3-3刚性支座(zhīzuò)上连续梁与不可动节点简单刚架计算共九十三页（3-3）§

3-3刚性支座上连续(liánxù)梁与不可动节点简单刚架计算共九十三页式中系数(xìshù)矩阵是对称矩阵，

ij=ji,且（3-4）§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点(jiédiǎn)简单刚架计算共九十三页

式中，i＝2,3,…,n-1。（3-5）

式中，i＝2,3,…,n-1。

式（3-3）在数学上称为三对角方程。当连续梁上支座(zhīzuò)数目较多时，可以采用追赶法在计算机上求解。§

3-3刚性支座(zhīzuò)上连续梁与不可动节点简单刚架计算共九十三页

例题(lìtí)

1：计算图3.2所示的等截面三跨连续梁。已知l＝8m，P=ql/2=40kN,q=10kN/m

解：取其基本结构如图(b)所示。根据基本结构在支座1处的转角为零，在中间支座处转角连续(liánxù)的条件，列出三个力法方程。M3M1M2M2M3q(b)l/2l/2llPq1234图3-2(a)共九十三页

将以上(yǐshàng)三个方程两边同乘以6EI/l，整理得：

解得：共九十三页

得到固定(gùdìng)端和各截面的弯距后，就可以采用叠加法绘制剪力图和弯距图。共九十三页

对于仅受到均布载荷的等截面、等跨度的连续梁，则连续梁每一跨度的变形均相同，中间支座处的转角为零。这种连续梁可作简化计算，只需取出一跨，将其作为两端(liǎnɡduān)刚性固定的单跨梁计算，无需对整个连续梁进行计算。目前，船体结构中的甲板纵骨及船体纵骨大都满足以上条件，所以都可以作为两端(liǎnɡduān)刚性固定的单跨梁处理。共九十三页

回顾(huígù)：超静定(jìnɡdìnɡ)结构静定结构多余联系多余约束力力法方程连续性条件力法共九十三页

船体结构中的甲板纵骨、舷侧纵骨和船底纵骨这些纵向构件（超静定结构）可以采用三弯矩方程得以解决(jiějué)。对于由横梁、肋骨和肋板组成的横向框架结构？共九十三页2）不可动节点简单刚架计算

船体结构中的刚架大都是由横梁、肋骨和肋板组成的横向(hénɡxiànɡ)框架结构。刚架中杆件的相交点叫作刚架的节点。多个杆件（多余两根）汇交于一个节点复杂刚架两根杆件汇交于一个节点简单刚架图3.3共九十三页

实际(shíjì)结构中，大多数刚架受力变形后节点位移可以不计，于是计算强度时在节点处加上固定铰支座，称为不可动节点刚架。少数情况，对于大开口船舶，舱口端横梁在载荷作用下会有较大线位移，因此在计算强度时只能加弹性支座或给定一个已知线位移，这种刚架称为可动节点刚架。可动节点刚架共九十三页

例题2：计算图3.3所示的单甲板船在舱口部位(bùwèi)的肋骨刚架l1l2l3q1q1q2q2q3I1I1I2I2I3q1q1q2q2q3M2M2M3M3M4M2M4M5M5图3.4a图3.4b共九十三页

解：对图3.4a所示的刚架，可将其作为刚性支座上连续梁“折合”的结果,可以按照连续梁的方法求解。取其基本结构(jiégòu)形式如图3.4b所示，另由于此刚架结构为左右载荷对称、结构形式对称结构，所以M2=M5、M3=M4,这样就可以根据原结构在刚性支座处转角的连续性条件，列出两个力法方程：共九十三页共九十三页

求出节点(jiédiǎn)弯距后，就可以绘制刚架的弯距图。由上式可见，刚架的内力与各杆的截面惯性距的比值有关，因而并不需要给出各杆件的惯性距，只要给出各杆件之间惯性距的比值即可。此外，当肋板的刚度远远大于肋骨的刚度时，即I3>>I2时，

2→0，故可得：共九十三页l1l3q1q2I1I2

这说明肋板可以作为肋骨的刚性(ɡānɡxìnɡ)支撑，肋骨相当于刚性(ɡānɡxìnɡ)固定在肋板上，这也就是如图3.5所示的肋骨刚架的计算结果。图3.5共九十三页

例题3：计算(jìsuàn)图3.6所示的刚架，画出弯距图，不计各杆的拉压变形。已知P=16kN，l=1m,I2/I1=61243l/2l/2lI1I2I2I1PP图3.6a图3.6b1443I1I2PI112I22P3M1M2M2M3M3M4M1M4共九十三页

解：图3.6a所示的刚架，自身处于平衡状态，在不计刚架各杆件拉压变形的情况下，节点1、2、3、4处的线位移为零。因此，刚架属于不可动节点刚架，取其基本结构如图3.6b所示。由于刚架为几何对称(duìchèn)结构，载荷也完全对称(duìchèn)，所以由M1=M2=M3=M4。因此未知弯距只有一个，只需根据一个节点的转角连续性条件，列出一个力法方程即可。共九十三页2.2861.7141.7142.286弯距图共九十三页§

3-4弹性支座(zhīzuò)与弹性固定端的实际概念1）弹性支座

上一章我们曾经对弹性支座和弹性固定端下(duānxià)了定义，那么弹性支座和弹性固定端的实际概念是从何而来的呢？

我们看一下这个结构。12345II1图3.7a图3.7bRl1/2l1/2Rl/2l/2l/2l/2A2图3.7c共九十三页

我们采用力法对其进行求解(qiújiě)，取原结构的基本结构如图3.7b所示。根据在节点2处的位移连续条件，建立立法方程：

上式与图3.7c所示的梁节点2的挠度(náodù)算式：完全相同。这说明原结构中的梁1-3相当于梁4-5的弹性支座，其柔性系数A=l31/(48EI1)：柔性系数A仅与梁的尺寸和两端支座形式有关。当梁1-3为刚性固定时，A=l31/(192EI1)。共九十三页注意：梁1-3之所以可以作为梁4-5的弹性支座，是因为梁1-3仅受到两梁之间的相互作用力，而且，此力的方向与梁挠度的方向相同，力的大小与挠度的大小成正比，即v∝R。这也与上一章讲到的弹性支座定义相同。显然如果梁上还有其他载荷，那么挠度就不单仅取决于R了。因此一根梁之所以能作为其他梁的弹性支座的条件是，此梁没有外荷重复(chóngfù)作用。共九十三页

在计算弹性支座的柔性系数时，只需把受外载荷(zàihè)的梁和不受外荷的梁在相交点处拆开，并在拆开处加上相互作用力R，计算无外荷重作用的梁在R作用处沿R方向的挠度v，v与R的比值就是柔性系数A。事实上，由于v∝R，所以，只需假定R=1，求出挠度v，求出挠度v该挠度就是柔性系数A。

例：如图3.8所示一空间(kōngjiān)刚架结构，试求杆1-2刚性固定端处的弯距。已知各杆截面惯性矩均相同。共九十三页图3.8al/2l/2lq123456lR34562l/2l/2lq12l图3.8b图3.8c共九十三页解：因杆5-3、3-4、4-6组成的平面刚架上无外荷重作用，故它可作为杆1-2的一个弹性支座(zhīzuò)，于是杆1-2就变成一端刚性固定一端自由支持在弹性支座上的单跨梁3.7b。弹性支座的柔性系数A，可通过计算图3.7c所示刚架求得。534634R共九十三页

利用上一节的方法可以计算得到节点3和4的弯距M3=M4=Rl/2,再由两端自由支持(zhīchí)单跨梁弯曲要素表，求出在M3、M4和R共同作用下杆3-4中点的挠度：v=Rl3/96EI,即A=l3/96EI。

既而利用第二章介绍的初参数法求出梁在刚性(ɡānɡxìnɡ)固定端处的弯距。可以计算得到节点3和4的弯距M1=3ql3/22,共九十三页2）弹性固定端

如图3.8所示的刚架结构（船舶上，双甲板船结构，上甲板横梁与甲板间肋骨组成(zǔchénɡ)的刚架），选取其基本结构如图3.8b。根据原结构在节点2处相邻两杆转角连续性条件，列出力法方程。3l1I1M12图3.8Alq1l1I1I12alq1Ilq1I23bcM共九十三页

图c所示的弹性(tánxìng)固定端表达式为：

这两个式子完全相同。由此可见，原结构中甲板间肋骨（杆1-2）相当于横梁（杆2-3）的弹性固定端。弹性固定端的柔性(róuxìnɡ)系数A

=l1/3EI1,：A

仅与杆1-2尺寸及其支座形式有关。若杆1-2下端为刚性固定，则A

=l1/4EI1。共九十三页注意几点：（1）甲板间肋骨（1-2杆）能够作为横梁（杆2-3）的弹性固定端是因为将它们拆开后，1-2杆的1端仅受未知弯距M作用，且此弯距与该端的转角始终同方向成正比，即有∝M。这也与上一章(yīzhānɡ)讲到的弹性固定端定义相同。显然如果梁上还有其他载荷，那么转角就不单仅取决于M了。由此可知，实际结构中杆件的弹性固定端是与其相邻的不受外载荷的杆件作用的结果；换言之，受载杆件与不受载杆件相连时，不受载杆件是受载杆件的弹性固定端。共九十三页

（2）为了计算弹性固定端的柔性系数A

，我们只需把受外载荷杆与不受外载荷杆在他们相连处切开并加上相互作用的未知弯距M，计算无外载杆在弯距M作用处的转角，与M的比值就是柔性系数A

。由于在计算柔性系数时M的大小不需知道(zhīdào)，所以只需假定M＝1，求出转角，该转角就是柔性系数A

的值。（3）柔性系数的数值主要取决于无载杆件的长度与断面惯性距，而与无载杆件端点的固定情况关系不大。

共九十三页

（4）在实际(shíjì)船体结构中，甲板间肋骨的下端还与下甲板横梁及主肋骨相连接，如图3.9所示。它们将影响甲板间肋骨下端的固定程度。实际上甲板间肋骨下端的固定是介于自由支持和刚性固定之间的某种情况。数值介于l1/3EI1,

和l1/4EI1之间。数值范围不大，在近似计算时，可不必考虑下甲板横梁及主肋骨对上甲板横梁的影响。

结论：在杆系结构(jiégòu)计算中，如果要计算受外载荷的杆件，则可以只考虑与它直接相连的不受外载荷的杆件对它的影响，无须考虑不与它直接相连的不受外载荷的杆件对它的影响。图3.9l1l2l1l212345II1I2I3q共九十三页例：将图3-10所示的刚架中杆1-2化为单跨梁来计算，试确定其弹性固定端的(duāndì)柔性系数A

。1234ll2l1II2I1lIqq234l2l1M＝1234l2l1M2M1（a）（b）图3.10（c）M2M3共九十三页解：由前所述，将原结构在节点2处拆开为杆1-2（受外载荷杆）和杆3-2-4（不受外载杆），并假定拆开处的弯距M=1（图(b)所示）。在将杆3-2-4从节点2处拆开为两根单跨梁，在拆开处分别(fēnbié)加上未知弯距M1和M2（图(c)所示）。现以图b、c为研究对象，节点2处有弯距M=1的作用，依据节点2处弯距平衡条件，得：共九十三页根据节点2处转角(zhuǎnjiǎo)连续性条件，列力法方程：根据节点(jiédiǎn)3处转角为0，列力法方程：共九十三页这说明(shuōmíng)弹性固定端的刚性系数等于杆3-2单独作用时的刚性系数和杆2-4单独作用时的刚性系数之和共九十三页3）弹性固定端的固定系数

由上面的分析可知，如果杆系结构所有的杆件上都有外载荷作用，那么其中任一根杆件都不能作为其他杆件的弹性固定端。因为柔性系数无法求出。这时为了实际结构的分析需要，人们又引入了一个关于弹性固定端固定程度的新定义，叫“固定系数”，它是弹性固定端断面的弯距与假想为刚性固定时的断面弯距之比，常用(chánɡyònɡ)表示：（3-6）共九十三页3）弹性固定端的固定系数

根据此定义

＝0，即Melastic＝0；表示自由支持(zhīchí)端，若

＝1，即

Melastic

＝Mrigid；表示刚性固定端。因此在0到1变化。

虽然和A

都用来表示弹性固定端的系数，但是在定义时，并没有要求固定端的转角一定与其弯距成正比。因此(yīncǐ)用定义的弹性固定端固定系数和用A

定义的弹性固定端的意义并不相同。换言之，如果一根梁的固定端的转角与弯距不成正比，则A

无意义，但存在。共九十三页§

3-5弹性支座上连续(liánxù)梁计算

上一节应用弹性支座的概念可将某些板架结构化为具有弹性支座的连续梁。在船体结构计算中，还会遇到弹性支座上连续梁的的计算问题。比如，船舶在建造过程中，将船体搁置在船坞内的墩木上，图3-11a所示，墩木对船体的支持就相当于弹性支座。由于墩木的柔性系数可能不相同，船体横截面的惯性距沿船长又是变化的，因此(yīncǐ)船体搁置在墩木上就可近似地化为图3-11b所示的弹性支座上的连续梁。共九十三页§

3-5弹性(tánxìng)支座上连续梁计算a1a2P1P2(a)共九十三页M1=P1a1M2=P2a2I1A1I2A2I3A3I4A4I5A5I6A6I7A7I8A8I9A9(b)(图3-11)

一般起见，我们讨论如图3-12a所示的弹性支座(zhīzuò)梁，它是n次超静定结构。A1I1A1i-1A2Ii-1Ai-1IiAii+1Ai+1In-1An-1InAnq1q1q1q1l112in-1nli-1liln-1An(图3-12a)共九十三页

选取用力法计算的基本结构如图3-12b所示，它与弹性(tánxìng)支座上连续梁的基本结构不同之处在于各支座处还存在挠度v1、v2，···vn。故在建立支座处转角连续方程时，应考虑因相邻支座处的挠度不同而引起的转角。1A1A

1M1q1v1v2A22A33i-1Ai-1vi－1qi-1viqii+1Ai+1Aiivi+1vn-1vnAn-1n-1InAn1AnA

n(图3-12b)共九十三页

由各支座处转角(zhuǎnjiǎo)连续性，列力法方程：

支座(zhīzuò)1(3-8)

中间支座：

式中i=2,3,…,n-1：

支座n(3-8)(3-8)共九十三页

式中在红框内的为挠度引起(yǐnqǐ)的转角项。其他各项与刚性支座上连续梁相同：

由以上n个方程并不能求解未知弯距M1，M2,…,Mn，因为方程中各支座处挠度v1、v2，···vn也是未知的。但是我们可以通过支座的柔性系数(xìshù)和支反力来求解。支座反力与支座处梁的剪力有关，而剪力又与梁上的载荷和未知弯距有关。下面就来寻求这些关系。共九十三页

将单跨梁取出，去掉支座(zhīzuò)以截面处剪力代之如图3-13所示，根据静力平衡条件，列静力平衡方程。M1M2q1N1,1N2,1l1Mi-1Miqi-1Ni-1,i-1Ni,i-1l-1qi+1MiMi+1Ni,iNi＋1,iliMn-1Mnqn-1Nn-1,n-1Nn-1,nln-1(图3-13)左端面上(miànshànɡ)剪力右端面上剪力(3-9)共九十三页

Ni(qi)表示第i跨梁上所有外载荷(zàihè)引起的梁左端截面上的剪力(向下为正)；

Ni(qi-1)表示第i-1跨梁上所有外载荷引起的梁右端截面上的剪力(向上为正)；

弹性支座上连续(liánxù)梁的支反力（向上为正）与该支座处梁截面上剪力的关系为：(3-10)

根据弹性支座的定义可知：(3-11)共九十三页

将式(3-9)代入到式(3-10),在代入到(3-11)，得：(3-12)

式(3-8)和(3-12)共有(ɡònɡyǒu)2n个方程，可解出2n个未知量M1，M2，…,M3。和v1,v2,…,vn

利用式(3-12)消去式(3-8)中所有的挠度，便可得到用矩阵(jǔzhèn)表示的方程：共九十三页(3-13)式中系数矩阵是对称(duìchèn)矩阵，

ij=ji,每个

ji和

ip（j,i=1,2,..,n）的具体表达式见课本P47和P47页。共九十三页式（3-13）从第三式起至倒数第三式止，每一式中仅包含五个未知弯距，故称为五弯距方程。数学上也称为五对角方程。在连续(liánxù)梁的弹性支座很多时，计算一般采用电子计算机编程计算。例1：求图3-14所示的阶梯变截面(jiémiàn)梁中点挠度v2。123llI2I123llI2IA=

(图3-14)IRRM113v22M2M2R1R2(a)(b)(c)RN21N232共九十三页

解：在梁的截面突变(tūbiàn)处增加一个柔性系数为无穷大的弹性支座，这样阶梯变截面梁就变成弹性支座上的连续梁(3-14b)。然后我们就可以选取用力法计算的基本结构(3-14c)所示。

根据连续梁在节点1处转角(zhuǎnjiǎo)为0和节点2处转角的连续性条件，列力法方程：

因A=

，所以支座反力等于零，利用式（3-9）和（3-10）注意节点2上有集中力R，得：共九十三页联立求解(qiújiě)得：共九十三页例2：求图3-15所示的弹性(tánxìng)支座上的连续梁，试求其固定端弯距和弹性(tánxìng)支座上的力。A＝11l3/(216EI)。4IIIl4llAAq12344IIIl4lAA123l234v2M1M2M2M3=

M2M4=

M1(图3-15)(a)(b)共九十三页解：考虑结构的对称性，选取(xuǎnqǔ)基本结构如图3-15b所示。根据节点1处的转角为零和节点2处的转角连续性条件及v2=AR2,列出三个力法方程：联立求解(qiújiě)得：共九十三页§

3-5简单(jiǎndān)板架计算板架的节点(jiédiǎn)双向交叉梁系主向梁（数目较多）交叉构件共九十三页

如图所示船体结构中，相互交叉(jiāochā)的梁系叫做板架。板架受垂直于杆系平面的载荷作用而弯曲，板架中梁的交叉(jiāochā)点又叫做板架的节点。船体结构中的板架为双向正交梁系。其中数目较多的叫主向梁，与其正交数目较少的为交叉构件。

用力(yònglì)法计算板架时，步骤如下：

1、将主向梁和交叉构件在相交点处拆开，代之以相互作用的集中力，（在忽略梁的扭转的情况下）；

2、利用拆开