《数列的概念与简单表示法》（数学人教A版必修）

《数列的概念与简单表示法（第1课时）》教学设计

教材分析

本节选自高中新教材人教A版必修5第二章1.1.2的内容，是数列的开启课。数列是高

中数学的重要内容之一，不仅有着广泛的实际应用，还起着承前启后的作用。一方面，数列

与前面学习的函数等知识有着密切的联系，另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限

等内容奠定了基础。因此有必要研究数列。

教学目标

【知识与技能】

1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；

2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.

【过程与方法】

L采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

【情感态度与价值观】

L通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究

精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；

2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

教学重难点

教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.

教具准备

课件

教学过程

导入新课

师课本图2.1T中的正方形数分别是多少？

生1,3,6,10,

师图2.『2中正方形数呢？

生1,4,9,16,25,

师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？

生~1的正整数次整:T,1,T,1,

无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,….

生一些分数排成的一列数：—,—,—,—,

315356399

【设计意图】由学生们熟悉的找规律入手，学生易接受。

推进新课

［合作探究］

折纸问题

师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试（学生们兴趣

一定很浓）.

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次

折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

生随着对折数厚度依次为：2,4,8,16,256,•••；①

随着对折数面积依次为,•••,▲，….

24816256

生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分1口256式，再折下去太

困难了.

师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的

这一列一列的数，看它们有何共同特点？

生均是一列数.

生还有一定次序.

师它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.

【设计意图】合作探究，培养学生合作能力，折纸实验，锻炼学生的动手能力。

［教师精讲］

1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.

注意：

（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，

那么它们就是不同的数列；

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

2.数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首

项），第2项，…，第〃项，….同学们能举例说明吗？

生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项（或首项），“16”是这

个数列中的第4项.

3.数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数歹!J.例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列.

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列.

2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.

常数数列：各项相等的数列.

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

请同学们观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？

生这六组数列分别是（1）递增数列，（2）递增数列，（3）常数数列，（4）递减数列，（5）摆动数

列，（6）1.递增数列，2.递减数列.

【设计意图】

［知识拓展］

师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第"项？

生256是这数列的第8项，我能写出它的第〃项，应为a=2：

【设计意图】师生共同得出新知，让学生体验得到新知的乐趣。

［合作探究］

同学们看数列2,4,8,16,…，256,…①中项与项之间的对应关系，

项2481632

IIIII

序号12345

你能从中得到什么启示？

生数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)的函数

a产f(〃)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x),如果

f(i)(i=l、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(l),f⑵，f⑶，…,f®,….

师说的很好.如果数列｛a｝的第〃项品与〃之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公

式就叫做这个数列的通项公式.

【设计意图】合作探究，发现新知通项公式。

［例题剖析］

1.根据下面数列｛aj的通项公式，写出前5项：

(1)a十---;(2)劣二(-1)”•77.

〃+1

师由通项公式定义可知，只要将通项公式中力依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5

项.

12345

生解：(1)比1,2,3,4,5.3i=-；3z=­；33=—；&=—；3s=—.

23456

(2)TFI,2,3,4,5.ai=~l;az=2;a3=-3;a=4;a=-5.

师好！就这样解.

2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

/、c,/、246810

(1)3,5,7,9,11,…；(2)一,—,—，—,—，…；

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,•••；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,•••；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,

师这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定

的思考时间)

生老师，我写好了！

In

解：(l)a0=2〃+l；(2)a=⑶

n(2n-l)(2n+l)2

(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,

，+,-i-+--(---i--r-

(5)将数列变形为1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,…,

a„=(-1)^77(77+1).

师完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出

的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.

【设计意图】讲练结合，巩固新知。

［合作探究］

师函数与数列的比较(由学生完成此表)：

函数数列(特殊的函数)

定义域R或R的子集N或它的有限子集U,2,…，加

解析式y=f(x)akf(77)

图象点的集合一些离散的点的集合

师对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公

式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列：

4,5,6,7,8,9,10…；②1,-,-,-，…③的图象.

234

生根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

以

0

9

8

7

6

5

41

-

32

21

-

14-1,

-8.1.,•

0\123456789~no|12345678«

师数列4,5,6,7,8,9,10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？

生与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.

师数列1,,1，…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？

234

生与我们学过的反比例函数丁=」的图象有关.

x

师这两数列的图象有什么特点？

生其特点为：它们都是一群孤立的点.

生它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.

本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用,

体现新课程的理念.

【设计意图】合作探究，研究数列和函数的关系，让学生对知识之间的联系有个认识研究。

课堂小结

对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数

列的前〃项求一些简单数列的通项公式.

【设计意图】引导学生学会自己总结，让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善

的过程。

布置作业

课本第33页习题2.1A组第1题.

板书设计

数列的概念与简单表示法（一）

定义

1.数列例1

3.一般形式例2函数定义

备课资料

一、备用例题

列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:

1x2,2x3'3x4'4x5'

分析：

(1)项：1=2X1-13=2X2-15=2X3-17=2X4-1

序号：1234

所以我们得到了a.=2hl；

(2)序号：1234

33I

项分母：2=1+13=2+14=3+15=4+1

1l

项分子：22-1=(1+1)2-13-1=(2+1)-142T=(3+1)2-15-1=(4+1)-1

(n+1)2-(〃+2)•"

所以我们得到了a产或

n+1n+1

⑶序号：1234

]1

1111

1x22x33x44x5

13JJ

1111

lx(l+l)2x(2+l)3x(3+l)4x(4+l)

所以我们得到了a尸---------

Hx(n+1)

2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前〃项分别是下列各数:

,1+(—1严八

(1)1,0,1,0;(a-，刀£/)

2

小23456----二一)

38152435(“+1)2-1

7

(3)7,77,777,7777;〔2=—x(10"-l))

9

(4)-1,7,-13,19,-25,31;(a二(T)"(6/?-5))

,「、35917,2"+1、

⑸一，—，—，---•为一〃1〕

241625622

点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出

这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根

据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分

子和分母之间的关系.

3.已知数列面｝的通项公式是a产2*〃，那么()

430是数列｛aj的一项区44是数列｛aj的一项

C.66是数列U｝的一项D.90是数列｛aj的一项

分析：注意到30,44,66,90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出

现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正

整数解的方法加以解决.

答案：C

点评：看一个数4是不是数列｛aj中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数

使得a„=A.

4.（链接探究题）假定有一张极薄的纸，厚度为'em就是每200张叠起来刚好为1cm,

200

现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为

包，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为as,这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排

列，就得到一个数列：az,as,•••,a,

你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a5。，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少

厘米吗？是否有10层楼高呢？

2"

答案：这个数列的通项公式为a产——,

200

裁了50次、叠了50次后的厚度是5629499534213.12cm>56294995km,大于地球

到月球距离的146倍.

二、阅读材料

无法实现的奖赏

相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王

学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔.

达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就

可以了：在我的棋盘上（它有64个格）第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四

格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，

但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.

请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？

【设计意图】课堂练习，加深对知识的理解。给出阅读材料，让学生在理解知识的过程中,

更增加了学习数学的兴趣。

教学反思:

1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

4.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究

精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；

5.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

《数列的概念与简单表示法（第2课时）》教学设计

教材分析

本节选自高中新教材人教A版必修5第二章1.1.2的内容。数列是高中数学的重要内容

之一，不仅有着广泛的实际应用，还起着承前启后的作用。一方面，数列与前面学习的函数

等知识有着密切的联系，另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容奠定了基础。

因此有必要研究数列。这节课承接上一课时，通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一

步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同。

教学目标

【知识与技能】

1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.

【过程与方法】

1.经历数列知识的感受及理解运用的过程；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验；

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

【情感态度与价值观】

通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

教学重难点

【教学重点】

根据数列的递推公式写出数列的前几项.

【教学难点】

理解递推公式与通项公式的关系.

教具准备

多媒体

教学过程

导入新课

师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一

谈什么叫数列的通项公式？

生如果数列｛a｝的第〃项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做

这个数列的通项公式.

师你能举例说明吗？

生如数列0,1,2,3,…的通项公式为ftF/rlSeN);

1,1,1的通项公式为-=1D,1W〃W3);

1,-,-,-，…的通项公式为a产工(nGN).

234n

【设计意图】复习引入，回顾知识。

［合作探究］

数列的表示方法

师通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？

生〃为横坐标，相应的项&为纵坐标，即以(〃,2)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前

面提到的数列1,』,工，,，…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤

234

立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.

从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.

师说得很好，还有其他的方法吗？

生……

师下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法

知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下

图：钢管堆放示意图（投影片）.观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数

学模型.

生模型一：自上而下

第1层钢管数为4,即14=1+3;

第2层钢管数为5,即25=2+3;

第3层钢管数为6,即36=3+3;

第4层钢管数为7,即47=4+3;

第5层钢管数为8,即58=5+3;

第6层钢管数为9,即69=6+3;

第7层钢管数为10,即710=7+3.

若用为表示钢管数，〃表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a产加3（1W〃W7）.

师同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运

用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同

学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）

生模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,

即ai=4；a2=5=4+l=ai+l；a3=6=5+l=a2+l.

依此类推：a产a^i+1（2WA（7）.

师

对于上述所求关系，同学们有什么样的理解？

生若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.

师看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.

推进新课

1.递推公式定义：

如果已知数列｛aj的第1项（或前几项），且任一项为与它的前一项a片1（或前〃项）间的关系

可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

注意：递推公式也是给出数列的一种方法.

如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89.

递推公式为：ai=3,3i=5,a0=aki+a巾2(3.

2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、

图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析

式法.

【设计意图】由具体情景切入，引出递推公式，让学生自主发现新知。

［例题剖析］

%=1

【例1】设数列｛aj满足|,1.写出这个数列的前五项.

%=1+一

〔an-l

师分析：题中已给出｛aj的第1项即a=1,题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再

求出二到五项即可.这个递推公式：a〃=l+」一我们将如何应用呢？

生这要将n的值2和&=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可

以了.

师请大家计算一下！

］12158

生解：据题意可知：31=1,32=1+=2,as=l+——，&=1+=—,ck=一

axa23a335

师掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中

的前项与后项，或前后几项之间的关系.

【例2】已知ai=2,aMi=2,a„,写出前5项，并猜想为.

师由例1的经验我们先求前5项.

生前5项分别为2,4,8,16,32.

师对，下面来猜想第〃项.

2

生由a=2,a2=2X2=2,国=2X2三23观察可得，我猜想&=2".

师很好！

生老师，本题若改为求a〃是否还可这样去解呢？

师不能.必须有求解的过程.

生老师，我由a.Ea”变形可得arfae即％=2,依次向下写，一直到第一项，然后

an-l

2

将它们乘起来，就有-…义一=2"1,所以昕a-21=2".

an-lan-2an-3。

师太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式

求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.

【设计意图】讲练结合，巩固新知。

［知识拓展］

已知ai=2,,a^i=a„-4,求a„.

师此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢?

生1与出：Si-2,a?=-2,a3=-6,a=-10,…

观察可得：3^=2+(77-1)(zr4)=2-4(zrl).

生2他这种解法不行，因为不是猜出劣，而是要求出a.

我这样解：由a.「a产-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，

a『a0=-4

a^i-a^2=-4

a^2_a^3=_4

+)&2—q=14

Cln_%=—4(/7—1)

a〃=2-4(/7-1).

师好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.

【设计意图】变式训练，触类旁通，提升学生举一反三的能力，并且给出了累加和累乘方法,

这在之后数列求通项时便可直接总结了。

［教师精讲］

(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始

值，那么这个数列是不能确定的.

例如，由数列｛aj中的递推公式a.尸2al+1无法写出数列｛a｝中的任何一项，若又知a=1,

则可以依次地写出32=3,a3=7,&=15,….

(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出

通项公式.

【设计意图】由老师精讲，让学生知识又上一个层面。

［学生活动］

根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)

(1)ai=O,=(2/7-1)心；

(2)ai=l,a*=—①；

氏+2

(3)ai—3,a"i=3a「2①.

(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)