3-2函数与方程不等式之间的关系-2022-2023学年高一数学知识梳理考点精讲精练人教B版201

第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系知识梳理1.函数的零点一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)；（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点；（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点．3.零点存在性定理（判定函数零点的）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。注意：=1\*GB3①不满足的函数也可能有零点.=2\*GB3②若函数在区间上的图象是一条连续曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件.4.用二分法求函数零点近似值在函数零点存在定理的条件满足时，即f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f(a)·f(b)＜0，给定近似的精确度ε，可用二分法求零点x0的近似值x1，常见考点考点一求函数的零点典例1．函数的零点为（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】【分析】令，求出方程的解，即可得到函数的零点.【详解】解：令，即，解得，所以函数的零点为；故选：D变式1-1．二次函数的零点是（

）A．， B．，1C．， D．，【答案】A【解析】【分析】函数的零点转化为方程的根，求解即可．【详解】解：二次函数的零点就是的解，解得，或，故选：A．变式1-2．函数f（x）＝﹣x2+5x﹣6的零点是（）A．（﹣2，3） B．2，3 C．（2，3） D．﹣2，﹣3【答案】B【解析】【分析】根据零点的概念，令求出的值即为答案.【详解】解：由﹣x2+5x﹣6＝0得x＝2或x＝3．所以函数的零点为2或3．故选：B．变式1-3．函数的零点是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令即得解.【详解】令.所以函数的零点是.故选：B考点二判断函数零点的个数典例2．函数在区间(1，3)内的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】先证明函数的单调递增，再证明，即得解.【详解】因为函数在区间(1，3)内都是增函数，所以函数在区间(1，3)内都是增函数，又所以，所以函数在区间(1，3)内的零点个数是1.故选B【点睛】本题主要考查零点定理，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式2-1．已知函数，则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】将函数的零点问题转化为方程的解的问题，通过对方程求解，得出函数的零点.【详解】当时，令，解得或（舍）；当时，令，解得或（舍）∴或为函数的零点，则函数有个零点.故选：B.变式2-2．方程在内实根的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【详解】试题分析：令，由得或；由得；又f（0）=7＞0，f（2）=-1＜0，∴方程在（0，2）内有且只有一实根．故选B．考点：函数的零点．变式2-3．已知函数，则函数零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】当时和时，分别化简函数的解析式可直接判断零点的个数.【详解】当时，，所以不存在零点；当时，，也不存在零点，所以函数的零点个数为0.故选：A.考点三判断零点所在区间典例3．已知函数的零点所在区间（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分别验证选项中区间端点处的符号，由零点存在定理可得结果.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；由零点存在定理可知：单调递增函数的零点所在区间为.故选：B.变式3-1．函数的零点所在区间为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理即可判断求解.【详解】∵f(x)定义域为R，且f(x)在R上单调递增，又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，∴f(x)在(1，2)上存在唯一零点.故选：B.变式3-2．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由函数解析式判断单调性，再应用零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】因为在R上单调递减，且，所以的零点所在区间为．故选：A变式3-3．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据零点存在定理说明．【详解】解：因为，所以，故选：C.【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题．考点四根据函数零的个数求参数的范围典例4．如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】首先根据题意得到，再解不等式即可.【详解】因为二次函数有两个不同的零点，所以，解得或.故选：C【点睛】本题主要考查根据函数零点个数求参数，属于简单题.变式4-1．已知二次函数在上有且只有一个零点,则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题可知：本题可以转化为方程在上有唯一实根问题.利用一元二次方程的判别式以及二次函数的相关知识分类讨论,可以求出实数的取值范围【详解】当方程在上有两个相等的实数根时，有，此时无解.当方程有两个不相等的实数根时,分下列三种情况讨论:①有且只有一根在上时,有,即,解得.②当时,,方程化为，解得，,满足题意；③当时,,方程可化为解得,,满足题意.综上所述:实数m的取值范为.故选D.【点睛】本题考查了已知二次函数在闭区间有唯一零点求参数取值范围问题,考查了分类讨论思想.变式4-2．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则()A．k＝0 B．k>0C．0≤k<1 D．k<0【答案】B【解析】【分析】令，变为，画出和的图像，有两个交点的地方即是的取值范围.【详解】令，变为，画出和的图像如下图所示，由图可知可以取任何的正数，故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断.将原来一个函数，变为两个函数，然后分别画出两个函数的图像，有两个交点的地方即原函数有两个零点.属于基础题.变式4-3．已知函数若函数有2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围.【详解】由题意，与有2个交点，当时，递增且值域为；当时，在上递减，上递增且值域为；所以的图像如下：由图知：时，有2个零点.故选：A考点五二分法求零点近似值典例5．下面关于二分法的叙述，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【答案】B【解析】【分析】根据二分法的概念对进行判断,可以排除,从而选B.【详解】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，オ可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选B.【点睛】本题考查了二分法的概念,属于基础题.变式5-1．下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据能用二分法求函数零点的条件进行判断可知.【详解】只有的图象是连续不断的，且在零点左右两侧函数值异号，オ能利用二分法求零点，选项C中恒成立.因此不能用二分法求零点.故选C.【点睛】本题考查了二分法求函数零点的条件,属于基础题.变式5-2．下列函数中能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据用二分法求函数零点的条件逐个分析判断可得.【详解】在A和D中，函数虽有零点，但在零点左右两侧函数值同号，因此它们都不能用二分法求零点；在B中，函数无零点；在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点并且其零点左右两侧函数值异号，所以C中的函数能用二分法求零点.故选C【点睛】本题考查了用二分法求函数零点的条件,属于基础题.变式5-3．用二分法研究的零点时，第一次经过计算，，可得其中一个零点________，第二次计算________，以上横线应填的内容分别是（

）A．； B．；C．； D．；【答案】A【解析】【分析】根据二分法思想分析可得.【详解】的图像在上连续并且，，可得其中一个零点，使得.根据二分法思想可知在第二次计算时，应计算，故选A.【点睛】本题考查了二分法求函数零点的步骤,属于基础题.巩固练习练习一求函数的零点1．函数零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接求出函数的零点即可求解.【详解】令可得，因为，所以函数零点所在的区间是，故选：A.2．函数的零点是（

）A．，1 B． C．，-1 D．【答案】A【解析】【分析】令函数值为0，解方程，即可得出结论．【详解】令，解得或函数的零点为故选：．3．函数的零点是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，解方程求得结果.【详解】由得：，解得：，的零点是.故选：A.【点睛】易错点睛：函数零点指的是函数与轴交点的横坐标，不可写成点的坐标的形式.4．函数零点是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【解析】解方程，即可得出函数的零点.【详解】解方程，即，解得或.因此，函数的零点是和.故选：B.练习二判断函数零点的个数5．方程|x|－＝0(a>0)的零点有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．至少1个【答案】A【解析】【分析】转化成函数的交点问题即可.【详解】令，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个.故选：A6．函数的零点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】将原问题转化为函数交点个数的问题，绘制函数图像确定其个数即可.【详解】令可得，则原问题等价于考查函数与的交点的个数，绘制函数图像如图所示，观察可得，交点的个数为2个，即零点个数为2.故选：C7．方程的解的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】将题意转化为的图象与的图象交点的个数即可得结果.【详解】∵，∴.而的图象如图，∴的图象与的图象总有两个交点，即方程的解的个数是2，故选：B.【点睛】本题主要考查了方程根的问题，利用数形结合思想是解题的关键，属于基础题.8．已知函数，则函数的零点的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】将函数零点转化为两个函数图象的交点个数得出即可．【详解】本题考查函数零点个数的判定，属于基础题．函数的零点个数即为与的交点个数在同一坐标系内作出两函数图象如图所示：由图象可知与有2个交点，即函数的零点有两个．故选：B【点睛】本题主要考查了求函数零点的个数，属于基础题.练习三判断零点所在区间9．已知方程仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据根的存在性定理对选项判断即可．【详解】设，因为，，所以根据根的存在性定理可知，函数的零点所在的区间为，故A选项正确；而，，，所以和，不能根据根的存在性定理判断，故B、C、D不正确．故选：A10．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据零点存在定理判断．【详解】，，，所以零点在上．故选：D．11．方程的根所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】计算各个区间的端点的函数值，根据零点存在性定理可得结果.【详解】设，因为，。，，，因为，所以根据零点存在性定理可得函数在区间内存在零点，所以方程的根所在的区间为.故选：B12．下列区间中，函数一定存在零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，可得，由零点的存在性定理，可得函数一定存在零点的区间是.故选：B.练习四根据函数零的个数求参数的范围13．函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题知为一次函数，进而根据零点存在性定理得，再解不等式即可.【详解】解：当时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，所以为一次函数，因为在内恰有一个零点，所以，即，解得或.故的取值范围是.故选：C14．已知函数，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】将方程有两个不等的实根转化为函数与的图象有两个交点，作出图象，利用数形结合的数学思想即可得出结果.【详解】方程恰有两个不等的实根，等价于与的图象有两个交点，的图象如图所示，平移水平直线可得，故选：B.15．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】画出的图象，根据图象与有两个交点来求得的取值范围.【详解】当时，，所以函数在上单调递减.，.令，得.作出函数、的大致图象如图所示，观察可知，.故选：D16．函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】令，根据图象交点有两个即可求解参数．【详解】由得令，如图所示：当时，即，有两个根；当时，即，有两个根；所以或时，函数有两个不同的零点．故选：D练习五二分法求零点近似值17．关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（

）A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值【答案】D【解析】【分析】根据二分法求函数零点的原理依次判断即可得答案.【详解】解：根据二分法求函数零点的原理，当零点左右两侧的函数值必须异号才可以求解，故A选项错误；对于B选项，二分法求函数零点与函数零点的特征没有关系，故B选项错