2022-2023学年苏教版选择性必修第一册 512瞬时变化率-导数 学案

课题:§5.1.2瞬时变化率一一导数

目标要求

1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.

2、理解导数的概念，导数的几何意义.

3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程.

学科素养目标

通过具体背景与实例的抽象.经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，

使学生对变量数学的思想方法(无穷小算法数学)有新的感悟.进一步发展学生的数学思维

能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数

学的价值.也为后继进一步学习微积分等课程打好基础.

导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联.具有“集成”的特点，进

而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法,

提高分析问题、解决问题的能力.

重点难点

重点：导数的概念，导数的几何意义；

难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程.

教学过程

基础知识积累

1.曲线上某点处的割线与切线

名称割线切线

当点。无限逼近点P时，直线PQ最

设点。为曲线C上不同于产的一点，则_______

定义终就成为在点P处_________的直线/,

称为曲线的割线

这条直线/称为曲线在点尸处的切线

当点Q沿曲线C向点尸运动，并无限

靠近点P时，割线PQ逼近点尸的切

设曲线C上一点P(x,/(x)),另一点Q(x+线/,从而割线的斜率逼近切线/的斜

斜率

f(x+Ax))t则割线PQ的斜率为_____________率，即当4%无限趋近于0时，

_____________________无限趋近于点

P(x,/⑨)处的切线的斜率

【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”却“无限逼近”的数学

思想.

2.瞬时速度和瞬时加速度

(1)瞬时速度

如果当/f无限趋近于0时，运动物体位移s(f)的平均变化率S(>)-无限

趋近于,那么这个常数称为物体在1=作时的瞬时速度；

(2)瞬时加速度：如果当4f无限趋近于。时，运动物体速度了⑺的平均变化率

v(卜)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时加速

度.

【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率：瞬时加速度就是速度对于时间

的瞬时变化率.

3.导数

某设函数y=/G)在区间(a,b)上有定义，用£(小引，当_______________时，

比值/=___________无限趋近于一个_______,则称八外在“=而处亘导，

点

定义八X

处并称该常数A为函数了⑺在％=沏处的导数，记作_______.可用符号“一”

的表示“__________"

导几何意

导数/⑶)的几何意义就是曲线y=/(x)在点___________处的___________

数义

【友情提醒注意】(i)r(xo)是一种新的记号，表示函数/⑺在处的导数.

(2)瞬时速度：运动物体的位移S0对于时间，的导数，即uG)=S'⑺.

(3)瞬时加速度：运动物体的速度uS对于时间，的导数，即a(D=MS.

4.导函数

(1)导函数的定义

若/(x)对于区间(小6)内都可导，则/⑺在各点的导数也随着自变量x的变化而变

化，因而也是的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.在不引起混淆时,

导函数/(x)也简称为f(x)的导数.

(2)/(3的意义

/G)在工=照处的导数/3)就是导函数/(%)在工=照处的.

【友情提醒注意】/G)也是一个函数，称为/G)的导函数.

【课前预习思考】

(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？

（2）求/（x）在x=&处的导数的一般步骤是什么？

（3）如何理解/G）在x=x）处的导数/（M）?

【课前小题演练】

题1.某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其

40

位移M单位：加关于时间：（单位：S）的函数关系式为"S=-y—2z+w,则"（1）的实

O

际意义是（）

A.汽车刹车后1$内的位移

B.汽车刹车后1s内的平均速度

C.汽车刹车后1s时的瞬时速度

D.汽车刹车后15时的瞬时加速度

题2.一质点沿直线运动，运动的距离s（单位：加）与时间/（单位：s）之间的函数关系为

s=-t2+t,则当f=l时，该质点的瞬时速度为()

4

53

A.—m/sB.—m!sC.2m/sD.-m/s

422

题3.函数y=/(x)在X=刈处的导数可表示为y'|x=x。，即()

A.f(Xo)=/(xo+Jx)—f(xo)

B.fr(xo)=lim[/(xo+Jx)—/(xo)]

AXTO

,..「f(Xo+Ax)—f(Xo)

C./5)—iim.

AxDAx

f(Xo+Ax)—f(Xo)

D.f'(xo)=

△x

题4.一质点按规律5=2,运动，则其在，=2时的瞬时速度等于（）

A.2B.8C.16D.24

题5.某物体做自由落体运动的位移s（f）=gg/，g=9.8m/$2,若业子二迪=24.5m/s,

则24.5m/s是该物体（）

A.从1s到（1+Z\f）s这段时间的平均速度

B.从0s到1s这段时间的平均速度

C.在f=ls这一时刻的瞬时速度

D.在】=这一时刻的瞬时速度

题6.（多除下列说法塔测勺是'：）

4.函数y=/G）在x=x。处的导数/N）的几何意义是函数y=f（x）在点％=»处的函数值.

区函数y=/U）在元=用处的导数/N）的几何意义是函数）=f（x）在点（跖/U）））处的切线

与x轴所夹锐角的正切值.

C.函数y=/（x）在工=照处的导数/Cvo）的几何意义是曲线y=f（x）在点（照，/（沏））处的切线

的斜率.

。.函数y=/（x）在4=&处的导数/（X。）的几何意义是点（M,/V。））与点（0,0）连线的斜率.

题7.函数），=丁+1在4=2处的导数为.

4JTr3

题8.已知球的体积V是关于半径〃的函数，V（r）=—：-,则r=2时，球的体积的瞬时变

化率为________.

题9.一个小球作简谐振动，其运动方程为x（/）=2sin（加+工），其中xj）（单位：cm）是小

3

球相对于平衡点的位移，/（单位：s）为运动时间，则小球在，=2时的瞬时速度为

_________cm!s.

题10.求曲线），=f（x）=f+l在点尸（1,2）处的切线方程.

题11.一物体做直线运动，运动的路程s•⑺（单位：⑼与运动的时间，（单位：s）满足:

^（/）=l/3+/2+3r.

（1）求该物体在第Is内的平均速度：

（2）求/（2）,并解释它的实际意义：

（3）经过多长时间物体的运动速度达到19〃z/s.

【当堂巩固训练】

题12.函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（)

A.f（3）</⑵</（3）-/（2）

B.f⑵</（3）一82）</（3）

C./⑵</（3）</（3）-/（2）

D./（3）一/⑵</（2）</（3）

题13.一个小球作简谐振动，其运动方程为/?（/）=lOsin（加-令，其中力⑴（单位：cm）是

小球相对于平衡点的位移，/（单位：s）为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，

/=（）

A.1B.-C.-D.-

623

题14.如图，函数y=/G）的图象在点尸处的切线方程是y=-x+6,则/（3）+/（3）=

（）

A.-B.1C.2D.0

乙

题15.已知曲线)，=端上一点A(l,2),则点4处的切线斜率等于()

A.2B.4

C.6+6/x+2(dx)2D.6

题16.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则/(5)等于()

A.5B.3C.0D.-1

题17.已知函数/(动=以2+4若/(1)=2,则。=()

A.4B.2C.1D.0

题18（多本题）.若函数/G）在尸此处存在导数，则

「f（Xo+h）—f（Xo）g包/

lim---------r----------的值（)

hfoh

A.与照有关B.与人有关

C.与Xo无关D.与/?无关

题19.（多选题）对于函数f（x）,若

•••

f（xo）=2,则当力无限趋近于。时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（）

f（xo+h）-f（Xo）

h

f（xo+h）—f（Xo）

B.

2h

f(Xo+2h)—f(XD)

C'h

f(xo+2h)—f(xo)

D.

2h

题20.已知函数f(x)=±，贝！/(2)=

AI1

题21.如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为a=工，传输带以0.9//加〃

4

的速度送煤，则「关于时间r的函数是,当半径为36时，7■对时间，的变

化率为____________.

【分析】由题意可得=从而可得。=r,利用圆锥的体积公式即可求解「关于时间，

r

的函数，对/求导，由，=3可得对应的时刻“，代入导函数中即可求解变化率.

题22.若直线），=一彳+"为函数图象的切线，求b及切点坐标.

题23.水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当

水深10米时，水面上升的速度.

【课堂跟踪拔高】

题24.若函数/（x）在x=a处的导数为A,则当/x-0时，,「（a”x）

乙dX

f（）

A.0B.AC.2AD.A2

题25.一物体做加速直线运动，假设，$时的速度为“力=，+3,则f=2时物体的加速度

为（）

A.4B.3C.2D.1

题26.一物体做直线运动，其位移y（单位：加）与时间/（单位：s）的关系是y=-/+9r,

则该物体在，=3s时的瞬时速度为（）

A.3m/sB.6mlsC.T2，n/sD.\6tn/s

题27.侈选殿设P0为曲线/（x）=f+x—2上的点，且曲线在A处的切线平行于直线y

=4x—1,则R)点的坐标为()

4.(1,0)B.(2,8)

C.(-1,-4)D.(-2,-12)

题28.设某质点的位移y(单位：m)与时间f(单位：s)的关系是J")=/+4],则质点在

第3s时的瞬时速度等于mis.

题29.己知曲线)，=/G)=2f+以在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为_______,

点P处的切线方程为.

题30.已知凡0=丁,利用(1)=2,Jx=0.03,求/(I.03)的近似值.

题31.一质点做直线运动，在％(单位：s)时离出发点的距离(单位：加)为

2

f(x)=—X3+x2+2x.

(1)求质点在第Is内的平均速度；

(2)求质点在第1s末的瞬时速度；

(3)经过多长时间质点的运动速度达到14〃“s?

题32.已知某物体的位移S(米)与时间/(秒)的关系是S«)=3f-r.

(I)求f=O秒到，=2秒的平均速度；

(II)求此物体在1=2秒的瞬时速度.

编号：033课题：§5.1.2瞬时变化率一一导数

目标要求

1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.

2、理解导数的概念，导数的几何意义.

3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程.

学科素养目标

通过具体背景与实例的抽象.经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，

使学生对变量数学的思想方法(无穷小算法数学)有新的感悟.进一步发展学生的数学思维

能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数

学的价值.也为后继进一步学习微积分等课程打好基础.

导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联.具有“集成”的特点，进

而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法,

提高分析问题、解决问题的能力.

重点难点

重点：导数的概念，导数的几何意义；

难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程.

教学过程

基础知识积累

1.曲线上某点处的割线与切线

名称割线切线

当点。无限逼近点P时，直线PQ最

设点。为曲线C上不同于尸的一点，则直线PO终就成为在点P处最逼近曲线的直线

定义

称为曲线的割线/,这条直线/称为曲线在点P处的切

线

当点Q沿曲线C向点尸运动，并无限

靠近点尸时，割线PQ逼近点尸的切

设曲线C上一点P(x,f(x)),另一点Q(x+4x,

线/,从而割线的斜率逼近切线/的斜

斜率f(x+/x)),则割线PO的斜率为kpo=

率，即当4%无限趋近于0时，

f(x+Ax)—f(x)

f(X+△X)-f(X)丁旧"七十上

Ax-、无限趋近于点

Ax一

p(x,fCO)处的切线的斜率

【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”却“无限逼近”的数学

思想.

2.瞬时速度和瞬时加速度

(1)瞬时速度

如果当无限趋近于。时，运动物体位移5(f)的平均变化率,()十△：；一1C。)无限

趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度；

(2)瞬时加速度：如果当4无限趋近于0时，运动物体速度口⑺的平均变化率

V无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在，=而时的瞬时加速

度.

【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间

的瞬时变化率.

3.导数

某设函数)，=/(%)在区间(m㈤上有定义，b),当/x无限趋近于。时,

点比值Ax-Ax—无限趋近于个常数A,则称/G)在x—

定义

处戒处可导,并称该常数A为函数/(外在4=刖处的导数，记作£(刘).可用

的符号“一”表示“无限趋近于”

导几何意

导数/(与的几何意义就是曲线Y=f(由在点f(r))处的切线的斜率

数义

【友情提醒注意】(1)，(疝)是一种新的记号，表示函数/⑺在x=a处的导数.

(2)瞬时速度：运动物体的位移S(f)对于时间，的导数，即uS=S'⑺.

(3)瞬时加速度：运动物体的速度”。对于时间1的导数，即a(/)=MS.

4.导函数

(1)导函数的定义

若f(x)对于区间(m6)内任二直都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,

因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数，记作尸⑺.在不引起混淆时，导函

数/⑺也简称为/(%)的导数.

(2)/(城的意义

/("在X=H处的导数/3)就是导函数/G)在工=照处的函教值.

【友情提醒注意】/G)也是一个函数，称为/(x)的导函数.

【课前预习思考】

(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？

提示：不是.如y=£在点（1,1）处的切线与曲线有2个公共点.

（2）求/G）在”=两处的导数的一般步骤是什么？

提示：①求4y；②求辛；③当时，#=',~~'（X。）-A（常数），则

△XdXAX

常数4即为/（x）在％=照处的导数.

（3）如何理解/（%）在x=x）处的导数/（刖）？

提示：/（x）在工=园处的导数/G）是函数/（x）在X=刈处的函数值，而不是/（照）的导数.

【课前小题演练】

题1.某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2$内完成刹车，其

位移从单位：加关于时间：（单位：s）的函数关系式为人⑺=一/一2，+与，则工⑴的实

际意义是（）

4.汽车刹车后15内的位移

B.汽车刹车后1S内的平均速度

C.汽车刹车后1s时的瞬时速度

D.汽车刹车后1s时的瞬时加速度

【解析】选C由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.

题2.一质点沿直线运动，运动的距离s（单位：m）与时间/（单位：s）之间的函数关系为

s=-r+t,则当，=1时，该质点的瞬时速度为（）

4

535

A.—misB.—m!sC.2mlsD.—mls

422

【分析】利用导数的计算公式和几何意义求解即可.

【解答】解：+

42

Ia

,当［=1时,s'=—，+1=—・

22

即当，=1时，该质点的瞬时速度为3m/s,

2

故选：B.

【点评】本题主要考查导数的计算公式和几何意义，属于基础题.

题3.函数)，=/(%)在工=心处的导数可表示为y'|x=x。，即()

A.f(Xo)=/(Xo+Jx)—/Cxb)

B.f(xo)=lim[/(xo+Jx)—/(Xo)]

Ax—>0

Go)=limf(xo+Ax)-f(x«)

Ax—>0Ax

f(Xo+Ax)—f(Xo)

D.f(xo)=

Ax

【解析】选c/1x是，(浦的另一种记法，根据导数的定义可知C正确.

题4.一质点按规律s=2,运动，则其在，=2时的瞬时速度等于()

A.2B.8C.16D.24

【解析】选D/s=2X(2+403-2X23

=24Jr+12(Jz)2+2(Jr)3,

As

所以式Y=24+12J/4-2(J/)2,

,,△s

当zk—0时，1y--24.

题5.某物体做自由落体运动的位移s(f)=；g/，g=9.8m//,若祗斗二迎=24.5m/s,

则24.5m/s是该物体()

A.从1s到(1+Z\f)s这段时间的平均速度

B.从0s到1s这段时间的平均速度

C.在1=1$这一时刻的瞬时速度

D.在，=△/$这一时刻的瞬时速度

【分析】根据题意，由平均变化率公式分析可得答案.

【解答】解：根据题意，对于式。=3"，s(l+j)T⑴=245m/S,

即从Is到(1+△t)s这段时间的平沟速度为24.5m/s；

故选：A.

【点评】本题考查平均变化率的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题.

题6.(多造)下列说法镣误的是()

A.函数y=/(x)在工=刈处的导数/(戊)的几何意义是函数)，=.f(X)在点工=此处的函数值.

8.函数y=f(x)在％=照处的导数/(而)的几何意义是函数)，=/卜)在点(.，/G。))处的切线

与x轴所夹锐角的正切值.

C.函数y=/G)在1=沏处的导数了(心)的几何意义是曲线y=/(x)在点(尬，/U0)处的切线

的斜率.

。.函数y=/(x)在处的导数f(照)的几何意义是点(照，/(H))与点(0,0)连线的斜率.

【答案】ABD

［解析】4.X.函数y=f(x)在x=xo处的导数/(元)的几何意义是函数y=f(x)在点x=xo处

的导数值.

B.X.函数），=/。）在4=沏处的导数，（XD）的几何意义是函数y=/G）在点（加J（H））处的切

线倾斜角的正切值.

CJ.函数y=/G）在尸&处的导数/3）的几何意义就是曲线y=75）在点3,/（均）处的

切线的斜率.

D.x.函数产治）在刀=向处的导数/（.⑹的几何意义是曲线产危）在点Go凡时）处的切线的斜率不是点Go,

孔⑹）与点（0,0）连线的斜率.

题7.函数），=9+1在％=2处的导数为一

【解析】芸AY=(2+Ax)2+1一(22+1)

Ax

4+(Ax)'+4Ax+l-5

△x

=zfx+4,

当4rf0时，Jx+4-*4,

所以+1在x=2处的导数为4.

答案：4

4JIr3

题8.己知球的体积V是关于半径，的函数，V（r）=^-,则r=2时，球的体积的瞬时变

化率为_______.

・5皿、mI\小、（2+Ar）34JT23

【解析】zir=V（2+Jr）-V（2）=--------7-----------------7—=

JJ

4冗・Ar[12+6Ar+（Ar）

3'

AV4JiAV

所以=_7_[124-6Jr+(Jr)*2],当“趋于。时工-趋于167r.

△rJ

答案：16兀

题9.一个小球作简谐振动，其运动方程为x（r）=2sin（m+马，其中武。（单位：cm）是小

球相对于平衡点的位移，，（单位：s）为运动时间，则小球在f=2时的瞬时速度为

_________cm!s-

【分析】利用导数的实际意义求解.

[解答]解：x(t)=2sin(%f+—),/.x")=2〃COS(R+—),

33

二小球在t=2时的瞬时速度为2%cos(2乃+y)=2乃8so=Tran/s,

故答案为:兀・

【点评】本题主要考查了导数的实际意义，属于基础题.

题10.求曲线y=/（x）=F+l在点p（l,2）处的切线方程.

【解析】因为勿=f（l+4x）—/■⑴=2JX+（』X）2,所以#=2+/x,当』x-0时，f（1）

△X

=2.

所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y-2=2（x-lj,即2x-y=0.

题11.一物体做直线运动，运动的路程s（f）（单位：m）与运动的时间，（单位：s）满足:

s（t）=-P+r+3t.

（1）求该物体在第Is内的平均速度；

（2）求U（2）,并解释它的实际意义：

（3）经过多长时间物体的运动速度达到

【分析】（1）根据平均速度的公式进行计算$⑴一''⑼即可;

1-0

（2）求函数的导数，利用导数的几何意义为瞬时速度即可；

（3）解导数方程*。=19,即可.

【解答】解：（1）1s内的平均速度为s⑴一，°）=2---------=2（〃?/s）

1-012

（2）s\t）=-t2+2t+3,则V（2）=-X22+2X2+3=6+4+3=13（/W/5）,

22

即该物体在2s末的瞬时速度为13（m/s）,

（3）由sd）=y+2/+3=19,得3/+41-32=0,

即（r+4）（3r-8）=0,

得z=T（舍）或/=

3

即经过号s物体的运动速度达到19/〃/5.

3

【点评】本题主要考查导数的定义以及导数的几何意义，根据平均变化率和瞬时变化率的公

式是解决本题的关键.

【当堂巩固训练】

题12.函数/（X）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）

A./（3）＜/（2）＜/（3）-/（2）

B.f（2）＜/（3）-/（2）＜/（3）

C.f⑵＜/（3）＜/（3）-/（2）

D./（3）-/（2）＜/⑵＜/（3）

【解析】选A

设A⑵/（2））,B（3,/（3））,

所以必8」⑶二;⑵=/（3）—/（2）,

设点A处的切线为A0点B处的切线为8。，得—<34孙所以/（2）</（3）-/（2）

</（3）.

题13.一个小球作简谐振动，其运动方程为〃（/）=lOsin（加-工），其中人⑺（单位：cm）是

3

小球相对于平衡点的位移，f（单位：s）为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，

/=（）

A.1B.-C.-D.-

623

【分析】由题意可知瞬时速度为/⑺=10乃cos（R-匹），当瞬时速度最大时8式加-巳）=1,

33

再结合余弦函数进行求解.

【解答】解：•.,运动方程为力（/）=10sin（m-为，

3

二瞬时速度为〃'⑺=10;rcos（衣-二）»

3

当瞬时速度最大时，cos（加-。）=1,

冗八I

Tit---=2k冗,

3

.•I=；+2k（kGZ）,

当2=0时，为小球瞬时速度首次大到最大值，此时/=,，

3

故选：D.

【点评】本题主要考查了导数的实际意义，属于基础题.

题14.如图，函数y=f（x）的图象在点尸处的切线方程是y=-x+6,则f（3）+/（3）=

（）

y

1

4-8C2O

2D.

【解析】选C.当x=3时，产一3+6=3,所以/(3)=3,因为函数)，=/(x)的图像在点P处

的切线方程是y=-x+6,所以/(3)=-1,

所以/(3)+/(3)=3+(—1)=2.

题15.已知曲线y=2f上一点A(l,2),则点A处的切线斜率等于()

A.2B.4

C.6+6/x+2(dx)2D.6

【解析】选。.因为y=2V所以第=

2(1+Ax)3-2x12(Ax)‘+6(Ax)」+6Ax

AxAx

=[2(JX)2+6JX4-6].

当衣-0时，尹=6.即点A(1,2)处切线的斜率为6.

Ax

题16.已知曲线y=/(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则/(5)等于()

4.5B.3C.0D.-1

【解析】选D由y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,可知切线的斜率为一1,易得

f(5)=-1.

题17.已知函数/(x)=0^+6,若/(1)=2,则。=()

A.4B.2C.1D.0

■、4八E、rAyf(x+Ax)—f(X)

【解析】选C.因为7上=---------;----------

△xAx

a(x+Ax)2+b—(ax2+b)

=-----------;------------=2ax-ra•Ax,

△x

△y

当Nx-O时，———2",

△x

所以，(x)=2or,因为/(1)=2a=2»所以a=l.

题18(多本题).若函数/(%)在x=x°处存在导数，则

「f(x(i+h)—f(xo)Ak+,、

hm-------------------的值()

h->0h

A.与Xo有关B.与人有关

C.与沏无关D.与力无关

【解析】选AD由导数的定义，得

「f(x(i+h)—f(xo)”.、

lim-------------------=fW,

h->0h

即函数/(x)在x=x0处的导数与沏有关，与〃无关.

题19.(多选题)对于函数/(X),若

9•9

f(X。)=2,则当人无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有()

f(xo+h)-f(Xo)

Lh

「(xo+h)-f(xo)

,2h

f(Xo4~2h)—f(xo)

二h

f(Xo+2h)—f(xo)

)•2h

_e、，f(xo+h)—f(xo)f(xo+h)—f(xo)

［解析］选AD.因为--------:---------当人一0时,

nh

f(xo),故选项A正确；因为f(x“+h(X。),

X；

当力—0时，「('+h；―f(X。)="(Xo)=1,故选项B错误;

乙II乙

E、jf(xo+2h)-f(xo)

因为,

当人-0时，‘(x"2h：T(x")=2f(xo)=4,故选项C错误;

f(xo4-2h)—f(xo)

因为--------------------，

当人-0时，,卜+2［-f5)=f，(Xo)=2,故选项。正确.

题20.已知函数/⑺=七，贝!/(2)=

AI1

【解析】氏=f(x+△X)—f(x)

11

x+AX+1-7+1

=

_______________________

=(x+Ax+1)(x+1)'

△y—1

当4L0时，——i、？，

Ax(x+1)

-1-11

所以f所=(x+1)°，故f(2)=—

答案：一!

题21.如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为。=工，传输带以/min

4

的速度送煤，则「关于时间［的函数是,当半径为时，「对时间/的变

化率为____________.

【分析】由题意可得匕na=B,从而可得〃=「，利用圆锥的体积公式即可求解关于时间/

的函数，对，求导，由，=3可得对应的时刻石，代入导函数中即可求解变化率.

【解答】解：由题意值，tana=",所以"=rtana=rtanM=r,

r4

设切加时煤堆的体积为V,

贝UV='力T%=,万尸=0.9,,①

33

所以「=行",②

对/求导可得，（/）=上

3

当/*=3时，对应的时刻为小

由①得%=104，

代入③式可得，⑺T户/T户（1。万）一汽3空-击.

3V43V437：10万

故答案为：r=拦工—.

V兀10乃

【点评】本题主要考查圆锥体积公式，变化率，导数的应用，考查运算求解能力，属于中档

题.

题22.若直线），=—x+8为函数了=：图象的切线，求b及切点坐标.

11

【解析】箕AVx+Axx—1

Axx(x+△x)

Ay

当，X-0时，-T-----2,

Axx

设切点（XD,,贝ljk=—=-1,得XD=±1,

当即=1时，切点（1,1）,代入y=-x+b得b=2,

当H=-1时，切点（一L—1）,代入y=—x+力得b=-2,

综上6=2,切点为（1,1）或6=—2,切点为（-1,-1）.

题23.水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当

水深10米时，水面上升的速度.

【分析】利用平行线分线段成比例定理得到水面的半径与水高的关系；利用圆锥的体积公式

求出水深与时间的函数关系；对水深求导数即为水上升的速度.

【解答】解：设容器中水的体积在f分钟时为V,水深为〃则丫=20/,又丫=」乃产〃

3

由图知,=色，:.r=—h»/.V=—^（―）2/z3=—A3,/.20/=—/i3»h=

h305357575Vn

0S

于是〃二楞gF.当力=10时,——71>此时〃=—

37T

当力=10米时，水面上升速度为』米/分.

n

【点评】本题考查圆锥的体积公式、平行线分线段成比例定理、对水深求导即为水上升的速

度.

【课堂跟踪拔高】

f(a+Ax)—f(a—Ax)

题24.若函数/(x)在x=a处的导数为A,则当小一0时,

2Ax

f()

A.0B.AC.2AD.A2

【解析】选A因为当时，fA?T⑷一人

”，(a—Ax)—f(a).

所以----------7-------------1A(/m用一/x替换/x),

f(a+Ax)—f(a—Ax)

所以当/x-O时,

2・Ax

1f(a+Ax)—f(a),1f(a)—f(a—Ax)

=5x-------------内--------+]x-------------------------------

[A+^-~](当0时,-4x-*0)fJU+A)=A.

Z-AxL

题25.一物体做加速直线运动，假设f$时的速度为“f)=，+3,贝卜=2时物体的加速度

为()

A.4B.3C.2D.1

【解析】选4因为言="+力：3T—3=力+九

AV

所以当4—0时，--*2/.

所以/=2时物体的加速度为4.

题26.一物体做直线运动，其位移)，(单位：加)与时间/(单位：s)的关系是'=-/