2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题(总分：150.00，做题时间：180分钟)一、选择题(总题数：10，分数：50.00)1.当x→0时，时x7的（

）。

（分数：5.00）

A.低阶无穷小

B.等价无穷小

C.高阶无穷小

√

D.同阶但非等价无穷小解析：因为当x→0时，，正确答案为C。2.函数，在x=0处（

）。

（分数：5.00）

A.连续且取极大值

B.连续且取极小值

C.可导且导数为0

D.可导且导数不为0

√解析：3.设函数f(x)=ax-blnx(a＞0)有两个零点，则的取值范围是（

）。

（分数：5.00）

A.(e,+∞)

√

B.(0,e)

C.

D.解析：4.设函数f（x,y）可微，且f（x+1，ex）=x（x+1）2，f（x,x2）=2x2lnx，则df（1,1）=（

）。

（分数：5.00）

A.dx+dy

B.dx-dy

C.dy

√

D.-dy解析：5.二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为（

）。

（分数：5.00）

A.2,0

B.1,1

√

C.2,1

D.1,2解析：

令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故应选B。6.设A=(a1，a2，a3，a4)为4阶正交矩阵，若矩阵，

k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=（

）。

（分数：5.00）

A.a2+a3+a4+ka1

B.a1+a3+a4+ka2

C.a1+a2+a4+ka3

D.a1+a2+a3+ka4

√解析：因为A=(a1，a2，a3，a4)为4阶正交矩阵，所以向量组a1，a2，a3，a4是一组标准正交向量组，则r(B)=3，，

故线性方程组Bx=0的通解为ka4，而，故线性方程组Bx=β的通解为x=a1+a2+a3+ka4，其中k为任意常数，故应选D。7.已知矩阵，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取（

）。

（分数：5.00）

A.

B.

C.

√

D.解析：8.设A，B为随机事件，且0<P(B)<1，下列命题中不成立的是（

）。<p(b)<1，下列命题中不成立的是<p="">

（分数：5.00）

A.

B.

C.

D.

√解析：9.（

）

（分数：5.00）

A.

B.

√

C.

D.解析：10.设总体X的概率分布为，利用来自总体的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为（

）。

（分数：5.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：二、填空题(总题数：6，分数：30.00)11.若=________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：）解析：12.________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：6）解析：13.设平面区域D由曲线与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：）解析：14.差分方程Δyt=t的通解为________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：）解析：15.多项式中x3项的系数为________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：-5）解析：，所以展开式中含x3项的有-x3，-4x3，即x3项的系数为-5。16.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数________。

（分数：5.00）填空项1:__________________

（正确答案：）解析：三、解答题(总题数：6，分数：70.00)17.已知存在，求a的值。

（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(要想极限存在，则左右极限相等；

)解析：18.求函数的极值。

（分数：12.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：19.设有界区域D是x2+y2=1和直线y=x以及x轴在第一象限围城的部分，计算二重积分。

（分数：12.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(

)解析：设n为正整数，y=yn(x)是微分方程xy'-(n-1)y=0满足条件的解。（分数：12）(1).求yn(x)。（分数：6）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：(2).求级数的收敛域及和函数。（分数：6）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：20.设矩阵仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。

（分数：12.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(

当b=3时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则

)解析：在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，。（分数：12）(1).求X的概率密度。（分数：4）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：(2).求Z的概率密度。（分数：4）_____________________________________________________________