第七章 突破3 立体几何中的动态问题

第七章立体几何与空间向量突破3立体几何中的动态问题命题点1

空间位置关系的判定问题

A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B.当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值BD训练2例1训练1例2训练3例3

图1图1训练2例1训练1例2训练3例3对于选项B，当μ＝1时，点

P

在棱

B

1

C

1上运动，如图2所示，图2

图2训练2例1训练1例2训练3例3

解法一由多选题特征，排除A，C，故选BD.解法二对于选项D，易知四边形

ABB

1

A

1为正方形，所以

A

1

B

⊥

AB

1.设

AB

1与

A

1

B

交于点

K

，连接

PK

，要使

A

1

B

⊥平面

AB

1

P

，需

A

1

B

⊥

KP

，所以点

P

只能是棱

CC

1的中点，故选项D正确.综上，选BD.训练2例1训练1例2训练3例3

图3训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧解决空间位置关系的动点问题的方法(1)特殊位置法.(2)应用位置关系定理转化法.(3)建立空间直角坐标系计算法.训练2例1训练1例2训练3例3训练1

[2023惠州第一次调研]如图，在四棱锥

P

－

ABCD

中，

PA

⊥底面

ABCD

，且

底面各边都相等，

AC

∩

BD

＝

O

，

M

是

PC

上的动点，当点

M

满足

⁠

时，平面

MBD

⊥平面

PCD

.

(只要填写一个你认为正确的条件即可)DM

⊥

PC

(答

案不唯一)

训练2例1训练1例2训练3例3[解析]由题意知，四边形

ABCD

为菱形，∴

AC

⊥

BD

，∵

PA

⊥底面

ABCD

，∴

PA

⊥

BD

，又

PA

∩

AC

＝

A

，

PA

，

AC

⊂平面

PAC

，∴

BD

⊥平面

PAC

，又

PC

⊂平面

PAC

，∴

BD

⊥

PC

.

∵平面

PCD

为固定平面，平面

MBD

为运动平面，且运动平面

MBD

中的固定直线

BD

垂直

PC

，∴只需在运动平面

MBD

中找到一条与

BD

相交且

垂直于

PC

的直线即可使平面

MBD

⊥平面

PCD

，则

DM

⊥

PC

，

BM

⊥

PC

等都满足

要求.训练2例1训练1例2训练3例3命题点2

轨迹问题

A训练2例1训练1例2训练3例3[解析]如图1，取

AD

的中点

H

，连接

EH

，

FH

，则

EH

∥

AA

1.

训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧与立体几何有关的轨迹问题的解题方法(1)几何法：利用几何图形的性质找满足题意的点.(2)排除法：利用特殊位置或者特殊值进行排除.(3)定义法：转化为平面轨迹问题，利用解析几何相关知识计算.(4)建系法：建立空间直角坐标系，设出动点坐标，根据题意建立方程(组)，得出轨

迹方程.训练2例1训练1例2训练3例3

[解析]

如图，连接

AD

1，

D

1

F

，易证

AD

1∥

EF

，从而

A

，

E

，

F

，

D

1四点共

面，平面

AEF

即平面

AEFD

1.记

AA

1，

A

1

D

1的中点分别为

M

，

N

，连接

MN

，

NC

1，

MC

1，可得

MN

∥

AD

1，

MC

1∥

AF

.

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

D.[18，27]C训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧立体几何中的范围问题的解题方法(1)几何法：分析变化过程，找到满足条件的最值位置.(2)代数法：通过引入变量，将动态问题转化为关于变量的代数式，利用函数思想或

不等式思想求最值.训练2例1训练1例2训练3例3训练3

如图，在棱长为2的正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，点

E

，

F

分别是棱

BC

，

CC

1的中点，

P

是侧面

BCC

1

B

1内一点，若

A

1

P

∥平面

AEF

，则线段

A

1

P

的长度的

取值范围是(

B

)B训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

1.在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

是侧面

BB

1

C

1

C

内一动点.若

P

到直线

BC

的

距离等于它到直线

C

1

D

1的距离，则动点

P

的轨迹所在的曲线是(

D

)A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线D12345678[解析]

如图，连接

C

1

P

，过点

P

作

PE

⊥

BC

，

E

为垂足，易知

PC

1就是点

P

到直

线

C

1

D

1的距离，则

PC

1＝

PE

，

(点

P

到定点

C

1的距离与到定直线

BC

的距离相等)

所以动点

P

在侧面

BB

1

C

1

C

内的一段抛物线上.123456782.如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，点

M

是平面

A

1

B

1

C

1

D

1内一点，且

BM

∥平面

ACD

1，则tan∠

DMD

1的最大值为(

D

)B.1C.2

D123456783.在空间直角坐标系

Oxyz

中，正四面体

P

－

ABC

的顶点

A

，

B

分别在

x

轴、

y

轴上

移动.若该正四面体的棱长是2，则｜

OP

｜的取值范围是(

A

)B.[1，3]A12345678

12345678

A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.△AEF的面积与△BEF的面积相等D.三棱锥E－AFB的体积为定值ABD12345678

12345678

A.三棱锥D1－ADF的体积为定值C.不存在点F使平面DEF⊥平面BB1C1CAB12345678

12345678

123456786.[多选/2024浙江名校联考]已知正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为2，点

P

为平

面

ABC

内一动点，则下列说法正确的是(

BCD

)C.若点P满足PD1⊥DC1，则动点P的轨迹是一条直线BCD12345678

图1

图1图212345678图2对于选项C，如图3，连接

CD

1，

A

1

B

，则在正方体中，易知

A

1

D

1⊥

DC

1，

DC

1⊥

CD

1，又

A

1

D

1∩

CD

1＝

D

1，

A

1

D

1，

CD

1⊂平面

A

1

BCD

1，所以

DC

1⊥平面

A

1

BCD

1，又

P

在平面

ABC

内，平面

ABC

∩平面

A

1

BCD

1＝

BC

，所以要使

PD

1⊥

DC

1，则

P

∈

BC

，即动点

P

的轨迹是一条直线，所以选项C正确.图3图312345678

图4123456787.[2023高三名校联考]在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，已知

AA

1＝7，点

O

在棱

AA

1上，且

AO

＝4，则该正方体表面上到点

O

距离为5的点的轨迹的总长度为

⁠

⁠.

π

12345678

123456788.[解题创新/2023石家庄市质检(二)]长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

BC

＝1，

AA

1＝2，平面

AB

1

C

与直线

D

1

C

1的交点为

M

，现将△

MCB

1绕

CB

1旋转一周，在

旋转过程中，动直线

CM

与底面

A

1

B

1

C

1

D

1内任一直线所成角中的最小角记为α，

则sinα的最大值是

⁠.

12345678[解析]如图1，延长

D

1

C

1至

M

1，使

C

1

M

1＝1，连接

B

1

M

1，

CM

1，则

B

1

M

1∥

AC

，

B

1

M

1＝

AC

，所以四边形

AB

1

M

1

C

为平行四边形，因此

M

1为直线

D

1

C

1与平

面

AB

1

C

的交点，即

M

与

M

1重合.将△

B

1

MC

绕

CB

1旋转一周，得到的图形如图2.

在△

B