第七章 第6讲 空间角和空间距离

第七章立体几何与空间向量第6讲空间角和空间距离

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.能用向量语

言表述直线

与直线、直

线与平面、

平面与平面

的夹角.求异面直线

所成的角2021全国卷乙T5该讲每年必

考，主要考查

利用几何法或

向量法求解线

线角、求线面角2023全国卷乙T9；2023全国卷甲

T18；2022全国卷乙T18；2022全国

卷甲T7；2022全国卷甲T18；2020新

高考卷ⅠT20；2020新高考卷ⅡT20；

2020全国卷ⅡT20课标要求命题点五年考情命题分析预测2.能用向量

方法解决

点到直

线、点到

平面、相

互平行的

直线、求二面

角2023新高考卷ⅠT18；2023新高考卷ⅡT20；

2023全国卷乙T19；2023天津T17；2022新高

考卷ⅠT19；2022新高考卷ⅡT20；2021新高考

卷ⅠT20；2021新高考卷ⅡT19；2021全国卷乙

T18；2021全国卷甲T19；2020全国卷ⅠT18；

2020全国卷ⅢT19；2019全国卷ⅠT18；2019

全国卷ⅡT17；2019全国卷ⅢT19线面角、面面

角、空间距离

等问题，课标要求命题点五年考情命题分析预测相互平行的平面的距离

问题和简单夹角问题，

并能描述解决这一类问

题的程序，体会向量方

法在研究几何问题中的

作用.求空间距离2023天津T17；2023上

海春季T17；2022新高

考卷ⅠT19方法比较固定，备

考时注意对空间角

与向量夹角关系的

梳理.

1.空间角(1)异面直线所成的角：已知两条异面直线

a

，

b

，经过空间任一点

O

分别作直线

a'∥

a

，b'∥

b

，我们把a'与b'所成的角叫做异面直线

a

与

b

所成的角(或夹角).异面直线夹角的范围是①

⁠.

(2)直线与平面所成的角a.平面的一条斜线和它在平面上的②

⁠所成的角，叫做这条直线和这个平面

所成的角.一条直线垂直于平面，则它们所成的角是③

⁠；一条直线和平面平

行或直线在平面内，则它们所成的角是④

⁠.b.线面角θ的取值范围：⑤

⁠.c.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内

任一条直线所成角中最小的角.射影

90°

0°

(3)二面角与两个平面的夹角a.从一条直线出发的两个⑥

所组成的图形叫做二面角.b.二面角的平面角：如图，在二面角α－

l

－β的棱

l

上任取一点

P

，以点

P

为垂足，

在半平面α，β内分别作垂直于棱

l

的射线

PA

和

PB

，则射线

PA

和

PB

构成的∠

APB

叫做二面角α－

l

－β的平面角.c.二面角的范围：⑦

⁠.半平面

[0，π]

2.利用向量法求空间角空间角求法注意事项异面直

线所成

角设异面直线l，m的方向向量分别为a，b，

若直线l与m的夹角为θ，则cosθ＝⑧

⁠

⁠.角θ的范围为⑨

⁠，所以线线角的余弦

值非负.线面角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为

n，若直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ

＝⑩

⁠.角θ的范围为⑪

，注意θ与＜a，n＞的

关系.｜

cos＜a，b＞｜

｜cos＜a，n＞｜

空间角求法注意事项两个平

面的夹

角平面α，β的法向量分别为n1，n2，若设平面

α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝｜cos＜

n1，n2＞｜.两个平面夹角的范围为

⑫

⁠，二面角的

范围是⑬

⁠.

[0，π]

易错警示1.线面角θ与向量夹角＜

a

，

n

＞的关系

图12.二面角θ与两平面法向量夹角＜

n

1，

n

2＞的关系图2(2)(4)中θ＝π－＜

n

1，

n

2＞；图2(1)(3)中θ＝＜

n

1，

n

2＞.图2

(5)如图，异面直线

a

，

b

之间的距离即直线

a

上一点

P

到a'与

b

所确定的平面α的距

离(a'∥

a

，a'∩

b

＝

O

).

1.[教材改编]如图，正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的侧面展开图是边长为4的正方

形，则在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，异面直线

AK

和

LM

所成的角的大小为

(

D

)A.30°B.45°C.60°D.90°D1234

12342.[教材改编]在长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝3，

AD

＝4，

AA

1＝4，过点

D

1作直线

l

，与直线

A

1

B

，

AC

所成的角均为60°，则这样的直线

l

有(

C

)A.2条B.3条C.4条D.无数条C1234

1234

30°

12344.已知空间直角坐标系

Oxyz

中，过点

P

(

x

0，

y

0，

z

0)且一个法向量为

n

＝(

a

，

b

，

c

)的平面α的方程为

a

(

x

－

x

0)＋

b

(

y

－

y

0)＋

c

(

z

－

z

0)＝0.用以上知识解决下面问

题：已知平面α的方程为

x

＋2

y

－2

z

＋1＝0，直线

l

是两个平面

x

－

y

＋3＝0与

x

－2

z

－1＝0的交线，试写出直线

l

的一个方向向量

，直线

l

与平面α所成角

的余弦值为

⁠.(2，2，1)

1234

1234

命题点1

求异面直线所成的角例1

[2021全国卷乙]在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

为

B

1

D

1的中点，则直线

PB

与

AD

1所成的角为(

D

)D例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5方法技巧求异面直线所成角的方法几何法将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两

异面直线的夹角或其余弦值.向量法例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

C例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

(1)证明：

BD

⊥

PA

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5[解析]

如图所示，取

AB

的中点

O

，连接

DO

，

CO

，则

OB

＝

DC

＝1.又

DC

∥

OB

，所以四边形

DCBO

为平行四边形.又

BC

＝

OB

＝1，所以四边形

DCBO

为菱形，所以

BD

⊥

CO

.

同理可得，四边形

DCOA

为菱形，所以

AD

∥

CO

，所以

BD

⊥

AD

.

因为

PD

⊥底面

ABCD

，

BD

⊂底面

ABCD

，所以

PD

⊥

BD

，又

AD

∩

PD

＝

D

，

AD

，

PD

⊂平面

ADP

，所以

BD

⊥平面

ADP

.

因为

PA

⊂平面

ADP

，所以

BD

⊥

PA

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

(2)求

PD

与平面

PAB

所成的角的正弦值.例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5方法技巧求直线与平面所成角的方法几何法利用直线与平面所成角的定义求解，具体步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所

求的角；(3)通过解该角所在的三角形求解.注意

直线与平面平行或垂直的特殊情况.向量法例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5训练2

[2023全国卷乙]已知△

ABC

为等腰直角三角形，

AB

为斜边，△

ABD

为等边三

角形，若二面角

C

－

AB

－

D

为150°，则直线

CD

与平面

ABC

所成角的正切值为(

C

)[解析]如图所示，取

AB

的中点

M

，连接

CM

，

DM

，则

CM

⊥

AB

，

DM

⊥

AB

，

故∠

CMD

即为二面角

C

－

AB

－

D

的平面角，于是∠

CMD

＝150°.又

CM

，

DM

⊂平面

CMD

，

CM

∩

DM

＝

M

，所以

AB

⊥平面

CMD

.

C例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5训练3

[新高考卷Ⅰ]如图，四棱锥

P

－

ABCD

的底面为正方形，

PD

⊥底面

ABCD

.

设

平面

PAD

与平面

PBC

的交线为

l

.(1)证明：

l

⊥平面

PDC

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5[解析]因为

PD

⊥底面

ABCD

，所以

PD

⊥

AD

.

又底面

ABCD

为正方形，所以

AD

⊥

DC

.

又

PD

∩

DC

＝

D

，

PD

，

DC

⊂平面

PDC

，因此

AD

⊥平面

PDC

.

因为

AD

∥

BC

，

AD

⊄平面

PBC

，

BC

⊂平面

PBC

，所以

AD

∥平面

PBC

.

又

AD

⊂平面

PAD

，平面

PBC

∩平面

PAD

＝

l

，所以

l

∥

AD

.

因此

l

⊥平面

PDC

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

(2)已知

PD

＝

AD

＝1，

Q

为

l

上的点，求

PB

与平面

QCD

所成角的正弦值的最大值.例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

可取

n

＝(－1，0，

a

).

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

(1)证明：

EF

∥平面

ADO

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

又

E

，

D

分别为

AP

，

BP

的中点，所以

EF

∥

PC

，

OD

∥

PC

，所以

EF

∥

OD

，又

OD

⊂平面

ADO

，

EF

⊄平面

ADO

，所以

EF

∥平面

ADO

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

(2)证明：平面

ADO

⊥平面

BEF

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

(3)求二面角

D

－

AO

－

C

的正弦值.例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

设平面

DAO

的法向量为

n

1＝(

a

，

b

，

c

)，例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

易知平面

CAO

的一个法向量为

n

2＝(0，0，1)，

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5解法二如图，过点

O

作

OH

∥

BF

交

AC

于点

H

，设

AD

∩

BE

＝

G

，连接

GF

，

DH

.

由(2)知

DO

⊥

AO

，又

DO

∩

HO

＝

O

，

DO

⊂平面

DOH

，

HO

⊂平面

DOH

，所以

AO

⊥平面

DOH

，故∠

DOH

为二面角

D

－

AO

－

C

的平面角.∵

D

，

E

分别为

PB

，

PA

的中点，∴

AD

，

BE

的交点

G

为△

PAB

的重心，

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5方法技巧求二面角常用的方法几何法根据定义作出二面角的平面角求解.向量

法例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5训练4

[2023新高考卷Ⅰ]如图，在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝2，

AA

1＝

4.点

A

2，

B

2，

C

2，

D

2分别在棱

AA

1，

BB

1，

CC

1，

DD

1上，

AA

2＝1，

BB

2＝

DD

2

＝2，

CC

2＝3.(1)证明：

B

2

C

2∥

A

2

D

2.例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

解法二以点

C

为坐标原点，

CD

，

CB

，

CC

1所在直线分别为

x

轴、

y

轴、

z

轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则

B

2(0，2，2)，

C

2(0，0，3)，

A

2(2，2，1)，

D

2(2，0，2)，

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

(2)点

P

在棱

BB

1上，当二面角

P

－

A

2

C

2－

D

2为150°时，求

B

2

P

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5命题点4

求空间距离例4

[2023天津高考]如图，在三棱台

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，已知

A

1

A

⊥平面

ABC

，

AB

⊥

AC

，

AB

＝

AC

＝

AA

1＝2，

A

1

C

1＝1，

N

为线段

AB

的中点，

M

为线段

BC

的中点.(1)求证：

A

1

N

∥平面

C

1

MA

.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

解法二(向量法)以

A

为坐标原点，

AB

，

AC

，

AA

1所在的直线分别为

x

轴、

y

轴、

z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系

Axyz

，例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

又

A

1

N

⊄平面

C

1

MA

，所以

A

1

N

∥平面

C

1

MA

.

则有

A

(0，0，0)，

M

(1，1，0)，

N

(1，0，0)，

A

1(0，0，2)，

C

1(0，1，2).

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

(2)求平面

C

1

MA

与平面

ACC

1

A

1所成角的余弦值.(3)求点

C

到平面

C

1

MA

的距离.例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5方法技巧1.求点到平面的距离的常用方法几何

法找到点到平面的距离，通过解三角形求出距离，若点到平面的距离不易求，还可转化为过已知点且与相关平面平行的直线上的其他点到平面的距离求解.等体

积法利用已知的点和平面构造四面体，利用四面体能够以任何一个面作为底面去求体积的特征，把四面体的体积以不同面为底表示两次，列出方程，解方程即可求出距离.向

量

法2.求直线到平面的距离以及两平行平面的距离时，往往转化为求点到平面的距离.例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5训练5

[2023上海春季高考改编]如图，已知三棱锥

P

－

ABC

中，

PA

⊥平面

ABC

，

AB

⊥

AC

，

PA

＝

AB

＝3，

AC

＝4，

M

为

BC

的中点，过点

M

分别作平行于平面

PAB

的直线交

AC

，

PC

于点

E

，

F

.

(1)求直线

PM

与平面

ABC

所成角的正切值.例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5[解析]

如图，连接

AM

.

因为

PA

⊥平面

ABC

，所以∠

PMA

即直线

PM

与平面

ABC

所成的角.因为

AB

⊥

AC

，

AB

＝3，

AC

＝4，

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5[解析]

因为

ME

∥平面

PAB

，

MF

∥平面

PAB

，

ME

∩

MF

＝

M

，且

ME

，

MF

⊂平面

MEF

，所以平面

MEF

∥平面

PAB

.

因为

PA

⊥平面

ABC

，

AE

⊂平面

ABC

，所以

PA

⊥

AE

.

又

AB

⊥

AC

，即

AE

⊥

AB

，而

AB

，

PA

⊂平面

PAB

，

AB

∩

PA

＝

A

，所以

AE

⊥平面

PAB

，所以直线

ME

到平面

PAB

的距离等于

AE

的长.(2)证明：平面

MEF

∥平面

PAB

，并求直线

ME

到平面

PAB

的距离.

例3训练2例1训练1例2训练3训练4例4训练5

1.[命题点1/2023河南省重点中学测试]正四棱锥

S

－

ABCD

的所有棱长都相等，

E

为

SC

的中点，则

BE

与

SA

所成角的余弦值为(

C

)C1234

12342.[命题点1]如图所示，在四棱锥

E

－

ABCD

中，底面

ABCD

是菱形，∠

ADC

＝60°，

AC

与

BD

交于点

O

，

EC

⊥底面

ABCD

，

F

为

BE

的中点，

AB

＝

CE

.

(1)求证：

DE

∥平面

ACF

.

[解析]如图，连接

OF

，由题可知

O

为

BD

的中点，又

F

为

BE

的中点，所以

OF

∥

DE

，又

OF

⊂平面

ACF

，

DE

⊄平面

ACF

，所以

DE

∥平面

ACF

.

1234

(2)求异面直线

EO

与

AF

所成角的余弦值.1234

12343.[命题点2，3/2022天津高考]如图，直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AA

1＝

AB

＝

AC

＝2，

AC

⊥

AB

，

D

为

A

1

B

1中点，

E

为

AA

1中点，

F

为

CD

中点.(Ⅰ)求证：

EF

∥平面

ABC

.

1234[解析]因为

ABC

－

A

1

B

1

C

1是直三棱柱，且

AC

⊥

AB

，所以

AB

，

AA

1，

AC

两

两垂直，所以分别以

AB

，

AA

1，

AC

所在直线为

x

，

y

，

z

轴，建立空间直角坐标

系，如图所示.因为

AB

＝

AC

＝

AA

1＝2，且

D

，

E

分别为

A

1

B

1，

AA

1中点，所以

E

(0，1，0)，

C

(0，0，2)，

D

(1，2，0).

易知平面

ABC

的一个法向量为

n

＝(0，1，0)，

1234

(Ⅱ)求直线

BE

与平面

CC

1

D

所成角的正弦值；

1234

令

y

2＝1，则

z

2＝1，所以平面

A

1

CD

的一个法向量为

n

2＝(0，1，1).

(Ⅲ)求平面

A

1

CD

与平面

CC

1

D

夹角的余弦值.12344.[命题点4]如图，正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝3，

AB

＝2，

E

，

F

分

别为棱

BC

，

B

1

C

1的中点.(1)求证：平面

BD

1

F

∥平面

C

1

DE

.

1234[解析]

解法一在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，因为

E

，

F

分别为

BC

，

B

1C

1的中点，所以

FC

1∥

BE

，且

FC

1＝

BE

，所以四边形

FC

1

EB

为平行四边形，所以

BF

∥

C

1

E

.

又因为

BF

⊄平面

C

1

DE

，所以

BF

∥平面

C

1

DE

.

连接

EF

，则有

EF

∥

CC

1∥

DD

1，且

EF

＝

CC

1＝

DD

1，所以四边形

DD

1

FE

为平行四边形，所以

D

1

F

∥

DE

，又因为

D

1

F

⊄平面

C

1

DE

，所以

D

1

F

∥平面

C

1

DE

.

因为

BF

∩

D

1

F

＝

F

，所以平面

BD

1

F

∥平面

C

1

DE

.

1234解法二如图，分别以

DA

，

DC

，

DD

1所在直线为

x

，

y

，

z

轴建立空间直角坐

标系，则

D

(0，0，0)，

C

(0，2，0)，

D

1(0，0，3)，

C

1(0，2，3)，

B

1(2，2，3)，

B

(2，2，0)，

E

(1，2，0)，

F

(1，2，3)，

1234

因为

D

1

F

⊄平面

C

1

DE

，所以

D

1

F

∥平面

C

1

DE

.

因为

BF

⊄平面

C

1

DE

，所以

BF

∥平面

C

1

DE

.

又

D

1

F

∩

BF

＝

F

，

D

1

F

⊂平面

BD

1

F

，

BF

⊂平面

BD

1

F

，所以平面

BD

1

F

∥平面

C

1

DE

.

1234

(2)求平面

BD

1

F

与平面

C

1

DE

间的距离.1234

1234

1.[2023广西联考]如图，直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AC

⊥

BC

，若

AA

1＝

AC

＝

BC

＝1，则异面直线

A

1

C

与

AB

所成角的大小是(

C

)C123456789

图1图1123456789

图2123456789

1234567892.[2024河北邢台南宫中学模拟]在四棱锥

P

－

ABCD

中，底面

ABCD

为菱形，

PB

⊥

底面

ABCD

，

AC

＝8，

BD

＝

PB

＝4，

E

为棱

PB

的中点，

F

为线段

CE

的中点，则

点

F

到平面

PAD

的距离为(

B

)B.2B123456789

1234567893.[2024湖北罗田一中模拟]如图，在平行六面体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

AD

＝

AA

1＝1，∠

BAD

＝∠

A

1

AB

＝∠

A

1

AD

＝60°，

E

为

CC

1的中点，则点

E

到直线

AC

1的距离为(

D

)D123456789

1234567894.[2024青岛市检测]如图，在长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

BB

1＝2，

BC

＝

4，

AB

1与

A

1

B

交于点

E

，点

F

为

BC

的中点.(1)求证：

AE

⊥平面

A

1

BC

.

[解析]因为

BC

⊥平面

ABB

1

A

1，

AE

⊂平面

ABB

1

A

1，所以

BC

⊥

AE

.

因为四边形

ABB

1

A

1为正方形，所以

AE

⊥

A

1

B

，又

BC

∩

A

1

B

＝

B

，

BC

，

A

1

B

⊂平面

A

1

BC

，所以

AE

⊥平面

A

1

BC

.

123456789(2)求平面

AEF

与平面

AA

1

C

的夹角的余弦值.

123456789

123456789

5.[2023新高考卷Ⅱ]如图，三棱锥

A

－

BCD

中，

DA

＝

DB

＝

DC

，

BD

⊥

CD

，∠

ADB

＝∠

ADC

＝60°，

E

为

BC

的中点.(1)证明：

BC

⊥

DA

.

123456789[解析]如图，连接

DE

，

AE

，因为

DC

＝

DB

，

且

E

为

BC

的中点，所以

DE

⊥

BC

.

因为∠

ADB

＝∠

ADC

＝60°，

DA

＝

DA

，

DC

＝

DB

，所以△

ADB

≌△

ADC

(SAS).可得

AC

＝

AB

，

故

AE

⊥

BC

.

因为

DE

∩

AE

＝

E

，

DE

，

AE

⊂平面

ADE

，所以

BC

⊥平面

ADE

.

又

DA

⊂平面

ADE

，所以

BC

⊥

DA

.

123456789

123456789

123456789

1234567896.[2024安徽六校联考]如图，圆台

O

1

O

2的轴截面为等腰梯形

A

1

ACC

1，

AC

＝2

AA

1

＝2

A

1

C

1＝4，

B

为下底面圆周上异于

A

，

C

的点.(1)点

P

为线段

BC

的中点，证明：直线

PC

1∥平面

AA

1

B

.

图1在等腰梯形

A

1

ACC

1中，

AC

＝2

A

1

C

1，所以

HP

∥

A

1

C

1，

HP

＝

A

1

C

1，则四边形

A

1

C

1

PH

为平行四边形，所以

C

1

P

∥

A

1

H

，又

A

1

H

⊂平面

A

1

AB

，

C

1

P

⊄平面

A

1

AB

，图1所以

C

1

P

∥平面

A

1

AB

.

123456789

[解析]过点

B

作BO'⊥

AC

，交

AC

于点O'，易知BO'⊥平面

A

1

ACC

1.

123456789图2

图2

123456789

设直线

AB

与平面

C

1

CB

的夹角为α，

1234567897.[2024济南市摸底考试]如图，在四棱锥

P

－

ABCD

中，底面

ABCD

是正方形，

PA

⊥底面

ABCD

，

PA

＝

AD

＝3，点

F

是棱

PD

的中点，点

E

是棱

DC

上一点.(1)证明：

AF

⊥

EF

；123456789[解析]在正方形

ABCD

中，有

AD

⊥

CD

.

因为

PA

⊥底面

ABCD

，

CD

⊂底面

ABCD

，所以

PA

⊥

CD

.

又

AD

∩

PA

＝

A

，

AD

，

PA

⊂平面

PAD

，所以

CD

⊥平面

PAD

，又

AF

⊂平面

PAD

，所以

CD

⊥

AF

.

因为

PA

＝

AD

，点

F

是棱

PD

的中点，所以

AF

⊥

PD

.

又

CD

∩

PD

＝

D

，

CD

，

PD

⊂平面

PDC

，所以

AF

⊥平面

PDC

，又

EF

⊂平面

PDC

，所以

AF

⊥

EF

.

123456789

123456789

123456789

(1)证明：平面

BCE

⊥平面

ABCD

.

123456789

[解析]因为

BC

⊥

BE

，结合(1)易得

AB

，

BC

，

BE

两两垂直，所以建立如