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文档简介
第三章一元函数的导数及其应用突破1构造法在解决函数、导数问题中的应用命题点1
利用导数运算构造函数角度1
利用
f
(
x
)与
x
构造例1
[全国卷Ⅱ]设函数
f
'(
x
)是奇函数
f
(
x
)(
x
∈R)的导函数，
f
(－1)＝0，当
x
＞0时，
xf
'(
x
)－
f
(
x
)＜0，则使得
f
(
x
)＞0成立的
x
的取值范围是(
A
)A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)A例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2方法技巧形式构造函数xf
'(x)＋nf(x)g(x)＝xnf(x)xf
‘(x)－nf(x)例1例2例3训练1例4训练2
C.(0，2)D.(0，＋∞)
B例1例2例3训练1例4训练2方法技巧形式构造函数f
'(x)＋nf(x)g(x)＝enx·f(x)f
'(x)－nf(x)例1例2例3训练1例4训练2
C例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞bD例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2(2)[2024广西柳州模拟]设函数
y
＝
f
(
x
)，
x
∈R的导函数为
f
'(
x
)，且
f
(
x
)为偶函数，
f
'(
x
)＞
f
(
x
)，则不等式成立的是(
B
)A.f(0)＜e－1f(1)＜e2f(2)B.e3f(3)＜f(0)＜e－1f(1)C.e－1f(1)＜f(0)＜e2f(2)D.e2f(2)＜e3f(3)＜f(0)B例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
A.ab＞eC.ab＜e
B例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
A.bea－eb＜aeb－eaC.asinb＋b＜bsina＋aD.sinbcosa＞sinaC例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练23.3种基本形式基本形式同构变形和差型：ea±a＞b±lnb同左：ea±a＞elnb±lnb，构造函数g(x)＝ex±x同右：ea±lnea＞b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx乘积型：aea≤blnb同左：aea≤(lnb)elnb，构造函数g(x)＝xex同右：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnxa＞0时，取对数：a＋lna＜lnb＋ln(lnb)，构造函数h(x)＝x＋
lnx例1例2例3训练1例4训练2基本形式同构变形例1例2例3训练1例4训练2训练2(1)已知函数
f
(
x
)＝
xa
－
a
lnx
(
a
＞0)，
g
(
x
)＝e
x
－
x
，若
x
∈(1，e2)时，
f
(
x
)≤
g
(
x
)恒成立，则实数
a
的最大值是(
B
)A.1B.eD.e2B例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2(2)[多选/2023山东省青岛质检]已知0＜
x
1＜
x
2＜1，则下列不等式恒成立的为
(
AC
)B.x1lnx1＜x2lnx2C.x2lnx1＜x1lnx2AC例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
例1例2例3训练1例4训练2
A.a＜c＜bB.c＜a＜bC.a＜b＜cD.b＜a＜cA123456789101112131415
1234567891011121314152.[2023南京市二模]已知
f
(
x
)是定义在R上的可导函数，其导函数为f'(
x
).若对任意
x
∈R有f'(
x
)＞1，
f
(1＋
x
)＋
f
(1－
x
)＝0，且
f
(0)＝－2，则不等式
f
(
x
－1)＞
x
－1的
解集为(
D
)A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(2，＋∞)D.(3，＋∞)[解析]
解法一
∵
f
(1＋
x
)＋
f
(1－
x
)＝0，
f
(0)＝－2，∴令
x
＝1得
f
(2)＝2.设
g
(
x
)＝
f
(
x
)－
x
，则g'(
x
)＝
f
'(
x
)－1＞0，∴
g
(
x
)在R上单调递增，且
g
(2)＝
f
(2)
－2＝0，∴不等式
f
(
x
－1)＞
x
－1可化为
g
(
x
－1)＞0＝
g
(2)，∴
x
－1＞2，解得
x
＞3.故选D.D123456789101112131415解法二设
f
(
x
)＝2
x
－2，经检验，满足要求，所以
f
(
x
－1)＞
x
－1即2(
x
－1)－2＞
x
－1，所以
x
＞3.故选D.1234567891011121314153.[2024吉林省长春市东北师范大学附属中学模拟]已知函数
f
(
x
)的定义域为R，其
导函数为
f
'(
x
)，
f
'(
x
)－
f
(
x
)＞3e
x
，
f
(2)＝6e2，则不等式
f
(
x
)＞3
x
e
x
的解集为
(
A
)A.(2，＋∞)B.(－∞，2)C.(3，＋∞)D.(－∞，3)A123456789101112131415
123456789101112131415
D123456789101112131415
1234567891011121314155.[条件创新/2023佛山市质检]设函数
f
(
x
)的导函数是f'(
x
)，且
f
(
x
)f'(
x
)＞
x
恒成
立，则(
D
)A.f(1)＜f(－1)B.f(1)＞f(－1)C.｜f(1)｜＜｜f(－1)｜D.｜f(1)｜＞｜f(－1)｜
D1234567891011121314156.[多选/2023重庆名校联考]若
m
＞
n
＞1，0＜
t
＜1，则下列不等式成立的是(
BCD
)A.logmt＜logntB.men＜nemC.mnt＞nmtD.mlognt＜nlogmt
BCD123456789101112131415
1234567891011121314157.[多选]若定义在R上的函数
f
(
x
)满足
f
(0)＝－1，其导函数为
f
'(
x
)，且
f
'(
x
)＞
m
＞
1，则下列各式成立的有(
AC
)AC123456789101112131415
123456789101112131415
(－1，0)
1234567891011121314159.[2024福建省漳州市质检]已知函数
f
(
x
)(
x
∈R)的导函数为
f
'(
x
)，若2
f
(
x
)＋
f
'(
x
)
＞0，且
f
(0)＝2025，则不等式
f
(
x
)－2025e－2
x
＞0的解集为
.[解析]令
g
(
x
)＝e2
xf
(
x
)，则g'(
x
)＝2e2
xf
(
x
)＋e2
xf
'(
x
)＝e2
x
[2
f
(
x
)＋
f
'(
x
)].因为2
f
(
x
)＋
f
'(
x
)＞0，所以g'(
x
)＞0，所以
g
(
x
)在R上单调递增，又
f
(0)＝2025，
所以
g
(0)＝e0
f
(0)＝2025，不等式
f
(
x
)－2025e－2
x
＞0，即
f
(
x
)＞2025e－2
x
，即e2
xf
(
x
)＞2025，即
g
(
x
)＞
g
(0)，所以
x
＞0，即不等式
f
(
x
)－2025e－2
x
＞0的解集为
(0，＋∞).(0，＋∞)
12345678910111213141510.[2023山东济南一中5月月考]已知定义在R上的可导函数
f
(
x
)的导函数为
f
'(
x
)，
f
'(
x
)－
f
(
x
)＜0，且
f
(
x
＋1)＝
f
(1－
x
)，
f
(0)＝e，则不等式
f
(
x
)＞e
x
－1的解集是
.
(－∞，2)
123456789101112131415
(－∞，0)∪(2，＋∞)123456789101112131415
123456789101112131415
123456789101112131415
123456789101112131415
123456789101112131415
12345678910111213141514.[2022新高考卷Ⅰ]已知函数
f
(
x
)＝e
x
－
ax
和
g
(
x
)＝
ax
－lnx
有相同的最小值.(1)求
a
；
123456789101112131415
∴h'(
a
)在
a
＝1处取得最小值h'(1)＝1＞0，则当
a
＞0时，h'(
a
)＞0恒成立，
h
(
a
)单
调递增.又
h
(1)＝0，∴
a
＝1.123456789101112131415(2)证明：存在直线
y
＝
b
，其与两条曲线
y
＝
f
(
x
)和
y
＝
g
(
x
)共有三个不同的交
点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.[解析]
(2)由(1)得
f
(
x
)＝e
x
－
x
，
g
(
x
)＝
x
－lnx
，且
f
(
x
)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
g
(
x
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