第38讲 数列的综合问题

第六单元

数列第38讲

数列的综合问题课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题1.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系,并解决相应的问题.认识数列的函数特性,能结合方程、不等式、解析几何等知识解决一些数列问题.2.能依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造等差、等比数列模型,并加以解决.◆

知识聚焦

◆1.数列的综合应用

（3）数列和不等式以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题,体现了在知识交汇点上命题的特点.一般通过数列求通项公式以及求和去解决一个不等式问题,这里的不等式通常是关于正整数的不等式,可以通过比较法、基本不等式法、导数法和数学归纳法解决.2.数列应用题常见模型等差数列模型如果增加（或减少）的量是一个固定量,那么该模型是等差数列模型,增加（或减少）的量就是公差等比数列模型如果后一个量与前一个量的比值是一个固定的数,那么该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比递推数列模型◆

对点演练

◆题组一

常识题

72

6

题组二

常错题◆

索引：数列实际问题的易错点为项数.

4

探究点一

等差、等比数列的综合问题

［思路点拨］（2）利用分组求和法求和.[总结反思]解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概念,设出相应的基本量,然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合问题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件.

探究点二

数列与函数、不等式的综合问题角度1

数列与不等式的综合

[总结反思]1.数列与不等式的综合问题及求解策略（1）判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的增减性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.（2）以数列为载体，考查不等式恒成立的问题可转化为函数的最值问题.（3）与数列有关的不等式证明问题，一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明.2.放缩法的注意事项以及常见放缩技巧（1）对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和的数列.（2）放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，可从第一项开始，也可从第二项、第三项等开始.

角度2

数列与函数的综合

C

[总结反思]数列与函数的综合问题主要有以下两类:①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象来解决;②已知数列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对所给条件化简变形.

BCD

探究点三

数列在实际中的应用

（1）

若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还13

600元，最后一个还贷月应还10

030元，试计算王先生该笔贷款的总利息；

［思路点拨］（1）等额本金还贷方式中，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；

［思路点拨］（2）利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，再与题目所给数据比较，得出结论.[总结反思]解决与数列有关的实际问题的一般步骤:首先要认真阅读,学会翻译（数学化）,其次考虑用熟悉的数列知识建立数学模型,然后求出问题的解,最后还需验证求得的解是否符合实际.

2036

59

教师备用习题【备选理由】例1是等差数列与等比数列的综合，考查了等差等比数列基本量的求解、数列求和方法等知识，考查了逻辑推理与数学运算的核心素养；例2综合考查了数列与不等式的知识，考查了与数列有关的不等式恒成立问题的解法；例3考查数列与不等式、函数的综合;例4考查数列与不等式的综合;例5与例6关注环境问题，通过数列与现实生活的联系，考查等差数列、等比数列、不等式等知识.

CA.2019

B.2020

C.2021

D.2022

作业手册◆

基础热身

◆

BA.2023

B.2024

C.4046

D.4048

12345678910111213141516

A

12345678910111213141516

A

12345678910111213141516

C

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

◆

综合提升

◆

12345678910111213141516

B

12345678910111213141516

D

12345678910111213141516

12345678910111213141516

B

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

BCD

12345678910111213141516

12345678910111213141516

BC

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

3

12345678910111213141516

880

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

（1）

分别求甲、乙两人工作满10年时的基础工资收入总量（精确到1元）；

12345678910111213141516

12345678910