2025届江苏省南京市秦淮区一中学八年级数学第一学期期末质量检测试题含解析

2025届江苏省南京市秦淮区一中学八年级数学第一学期期末质量检测试题量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知点A和点B，以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形，则一共可作出（）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个2．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C． D．3．（3分）25的算术平方根是（）A．5 B．﹣5 C．±5 D．54．直线沿轴向下平移个单位后，图象与轴的交点坐标是（）A． B． C． D．5．若，则内应填的式子是（）A． B． C．3 D．6．下列图象不能反映y是x的函数的是（）A． B．C． D．7．以二元一次方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，下列画法中错误的是（）A． B．C． D．9．如图，等腰三角形的顶角为，底边，则腰长为（）．A． B． C． D．10．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A． B． C． D．11．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．如图，在中，，在上截取，，则等于（）A．45° B．60° C．50° D．65°二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在四边形中，已知，平分，，那么__________．14．如果二次三项式是完全平方式，那么常数=___________15．已知的值为4，若分式中的、均扩大2倍，则的值为__________．16．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为________．17．已知，则______________．18．若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的非负整数k的值为____．三、解答题（共78分）19．（8分）因式分解：a3﹣2a2b+ab220．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．21．（8分）如图，已知等边△ABC中，点D在BC边的延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD，判断△ADE的形状，并说明理由．22．（10分）现有3张边长为的正方形纸片（类），5张边长为的矩形纸片（类），5张边长为的正方形纸片（类）．我们知道：多项式乘法的结果可以利用图形的面积表示．例如：就能用图①或图②的面积表示．（1）请你写出图③所表示的一个等式：_______________；（2）如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片_____张，需要类纸片_____张，需要类纸片_____张；（3）从这13张纸片中取出若干张，每类纸片至少取出一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无缝隙，无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以是_______（用含的式子表示）．23．（10分）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.24．（10分）如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13m，AD=12m，BD=5m，AC=15m，求图中△ABC面积．25．（12分）如图所示，在，．（1）尺规作图：过顶点作的角平分线，交于；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在上任取一点（不与点、重合），连结，，求证：．26．如图①，中，，、的平分线交于O点，过O点作交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．（2）如图②，若，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．（3）如图③，若中的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据等腰直角三角形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况作出图形即可得解．【详解】解：如图，以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形，

一共可作出6个．

故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．2、C【分析】根据分式的分母不等于零，可得答案．【详解】解：由题意，得：x+3≠0，解得x≠-3，故选C．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键．3、A【解析】试题分析：∵52考点：算术平方根．4、D【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．【详解】直线沿轴向下平移个单位则平移后直线解析式为：当y=0时，则x=2，故平移后直线与x轴的交点坐标为：（2，0）．故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数平移变换，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键．5、A【分析】根据题意得出=，利用分式的性质求解即可．【详解】根据题意得出=故选：A．【点睛】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．6、C【详解】解：A．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，不符合题意；B．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，；不符合题意C．当x取一值时，y没有唯一与它对应的值，y不是x的函数，符合题意；D．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，不符合题意．故选C．7、A【分析】求出方程组的解，即可作出判断．【详解】①+②得：2y=8，解得：y=4，把y=4代入②得：x=3，则（3，4）在第一象限，故选：A．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8、A【分析】根据经过直线外一点作已知直线的方法即可判断．【详解】解：已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，画法正确的是B、C、D选项，不符合题意．A选项错误，符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握经过一点作已知直线的垂线的方法．9、C【解析】过作，∵，．∴，．在中，，，∴，，，∴，∴．故选C.10、D【分析】分别写出、都扩大3倍后的分式，再化简与原式比较，即可选择．【详解】当、都扩大3倍时，A、，故A错误．B、，故B错误．C、，故C错误．D、，故D正确．故选D．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是熟练化简分式．11、B【分析】根据各象限的点的坐标的符号特征判断即可．【详解】∵-3＜0，2＞0，∴点P（﹣3，2）在第二象限，故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．12、A【分析】根据直角三角形性质得，根据等腰三角形性质和三角形外角性质得，，再①+②化简可得.【详解】因为在中，，所以因为AE=AC，BD=BC，所以,因为所以①+②得即所以所以故选：A【点睛】考核知识点：等腰三角形性质.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质是关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、2【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】，，平分，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．14、【分析】根据完全平方公式的特征即可得出答案.【详解】中间项mx=2ab这里a=x，∴b=±1∴m=±2故答案为：±2.【点睛】本题考查的是完全平方公式：.15、1【分析】首先把分式中的x、y均扩大2倍，然后约分化简，进而可得答案．【详解】解：分式中的x、y均扩大2倍得：=2×4=1，

故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．16、12cm【分析】利用翻折变换的性质得出AD＝BD，进而利用AD+CD＝BC得出即可．【详解】∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，∴AD＝BD．∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，∴AD+CD＝BC＝17﹣5＝12（cm）．故答案为12cm．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，根据题意得出AD＝BD是解题的关键．17、1【分析】根据题意直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：∵，∴=1．故答案为：1.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，运用相关运算法则正确将原式进行变形是解题的关键．18、1．【分析】首先解分式方程，然后根据方程的解为正数，可得x＞1，据此求出满足条件的非负整数K的值为多少即可．【详解】∵，∴．∵x＞1，∴，∴，∴满足条件的非负整数的值为1、1，时，解得：x=2，符合题意；时，解得：x=1，不符合题意；∴满足条件的非负整数的值为1．故答案为：1．【点睛】此题考查分式方程的解，解题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于1的值，不是原分式方程的解．三、解答题（共78分）19、【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．【详解】a3﹣2a2b+ab2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；

（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵AB＝BC+AD，∴AB＝BC+CF，即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SSS），∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴BE⊥AF.【点睛】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质．21、△ADE是等边三角形，理由见解析【解析】先证明出△ABD≌△ACE，然后进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．【详解】△ADE是等边三角形，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠B=60°，AB=AC，∴∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠ACE，BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质及判定与等边三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.22、（1）；（2）1，4，3；（3）【分析】（1）从整体和部分两方面表示该长方形的面积即可；（2）根据拼成前后长方形的面积不变可先算出该长方形的面积再确定A类B类C类纸片的张数；（3）由A类B类C类纸片的张数及面积可知构成的正方形的面积最大为，利用完全平方公式可得边长.【详解】解：（1）从整体表示该图形面积为，从部分表示该图形面积为，所以可得；（2）该长方形的面积为，A类纸片的面积为，B类纸片的面积为，C类纸片的面积为，所以需要类纸片1张，需要类纸片4张，需要类纸片3张；（3）A类纸片的面积为，有3张；B类纸片的面积为，有5张；C类纸片的面积为，有5张，所以能构成的正方形的面积最大为，因为，所以拼成的正方形的边长最长可以是.【点睛】本题考查了整式乘法的图形表示，灵活将图形与代数式相结合是解题的关键.23、详见解析【解析】先根据，得出，故，可得，再由可知即可得到.【详解】证明：∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D，∴DF∥AC，∴∠A＝∠F.【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行.24、84m1【分析】由可推导出△ABD为直角三角形且；从而推导出△ADC为直角三角形，再利用勾股定理计算得CD，从而完成求解．【详解】∵AB=13m，AD=11m，BD=5m∴∴△ABD为直角三角形且∴∴△ADC为直角三角形∴∴∴∵∴m1．【点睛】本题考察了勾股定理和勾股定理的逆定理．求解的关键是熟练掌握勾股定理的性质，完成求解．25、（1）图见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BAC的平分线交BC于D，则AD为所求；（2）先证明△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，由AD平分∠BAC可判断AD垂直平分BC，然后根据线段垂直平分线的性质可得EB＝EC．【详解】（1）解：如图，AD为所作；（2）证明：如图，∵∠ABC＝∠ACB，∴△ABC为等腰三角形，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，即AD垂直平分BC，∴EB＝EC．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．26、（1），证明见解析；（2）存在，证明见解析；（3）等腰三角形为△BEO，△CFO，，证明见解析.【分析】（1）根据角平分线的定义和