弹性力学优化算法：禁忌搜索(TS)：禁忌搜索算法的终止准则

弹性力学优化算法：禁忌搜索(TS)：禁忌搜索算法的终止准则1弹性力学优化算法：禁忌搜索(TS)：引言1.1弹性力学优化的重要性在工程设计与分析领域，弹性力学优化扮演着至关重要的角色。它不仅帮助工程师在设计结构时考虑材料的弹性特性，确保结构在承受各种载荷时的安全性和稳定性，还能通过优化算法找到最经济、最高效的设计方案。例如，在桥梁、建筑、航空航天器等结构设计中，弹性力学优化能够确保结构在满足强度和刚度要求的同时，使用最少的材料，从而降低成本和重量。1.1.1禁忌搜索算法简介禁忌搜索（TabuSearch,TS）是一种元启发式优化算法，由FredGlover在1986年提出。它通过在搜索过程中引入“禁忌”机制，避免了算法陷入局部最优解，从而能够在复杂的优化问题中寻找更优的解决方案。禁忌搜索算法的核心在于其记忆结构，即“禁忌表”，它记录了算法近期探索过的解，以防止算法重复探索相同的解空间，促进搜索的多样性和全局性。1.2禁忌搜索算法的运作机制禁忌搜索算法的运作可以分为以下几个步骤：初始化：选择一个初始解，并创建一个空的禁忌表。邻域搜索：在当前解的邻域内寻找可能的解，这些解通常通过改变当前解的某些特征来生成。选择：从邻域解中选择一个解作为下一个迭代的解。选择过程可能包括评估解的质量和检查解是否在禁忌表中。更新禁忌表：将选择的解添加到禁忌表中，并根据一定的策略（如时间限制或解的质量）移除表中的旧解。终止条件：当满足一定的终止条件时，算法停止搜索。终止条件可以是达到预定的迭代次数、解的质量不再提高或达到某个时间限制。1.2.1禁忌搜索算法的Python实现示例下面是一个使用Python实现的简化版禁忌搜索算法示例，用于解决一个简单的优化问题。假设我们有一个由弹性材料制成的梁，需要通过调整梁的宽度和高度来优化其刚度，同时保持材料用量在一定范围内。importrandom

importcopy

#定义目标函数：计算梁的刚度

defstiffness(width,height):

returnwidth*height**2

#定义邻域解生成函数

defgenerate_neighbors(solution):

width,height=solution

neighbors=[]

foriinrange(-1,2):

forjinrange(-1,2):

new_width=width+i

new_height=height+j

if0<new_width<10and0<new_height<10:

neighbors.append((new_width,new_height))

returnneighbors

#禁忌搜索算法

deftabu_search(initial_solution,max_iterations,tabu_tenure):

current_solution=initial_solution

best_solution=current_solution

tabu_list=[]

for_inrange(max_iterations):

neighbors=generate_neighbors(current_solution)

next_solution=None

best_stiffness=0

forneighborinneighbors:

ifneighbornotintabu_list:

stiffness_value=stiffness(*neighbor)

ifstiffness_value>best_stiffness:

best_stiffness=stiffness_value

next_solution=neighbor

ifnext_solutionisNone:

#如果所有邻域解都在禁忌表中，选择禁忌表中的解

next_solution=random.choice(tabu_list)

tabu_list.append(next_solution)

iflen(tabu_list)>tabu_tenure:

tabu_list.pop(0)

current_solution=next_solution

ifstiffness(*current_solution)>stiffness(*best_solution):

best_solution=current_solution

returnbest_solution

#设置初始解、最大迭代次数和禁忌表的持续时间

initial_solution=(5,5)

max_iterations=100

tabu_tenure=10

#运行禁忌搜索算法

best_solution=tabu_search(initial_solution,max_iterations,tabu_tenure)

print("最优解：宽度=",best_solution[0],"高度=",best_solution[1])1.2.2解释在这个示例中，我们定义了一个目标函数stiffness，它计算梁的刚度。邻域解生成函数generate_neighbors用于生成当前解的邻域解，通过微调宽度和高度来实现。禁忌搜索算法通过迭代过程，不断探索邻域解，同时维护一个禁忌表来避免重复探索。在每次迭代中，算法选择不在禁忌表中的最佳邻域解作为下一个解，如果所有邻域解都在禁忌表中，则随机选择一个禁忌表中的解。禁忌表的更新策略是添加新解并移除最旧的解，以保持表的大小在一定范围内。通过运行禁忌搜索算法，我们能够找到在给定约束条件下，使梁刚度最大化的最优解。这个示例虽然简单，但展示了禁忌搜索算法的基本思想和运作流程，对于解决更复杂的弹性力学优化问题具有一定的参考价值。2禁忌搜索算法的基本原理2.1算法的工作机制禁忌搜索(TabuSearch,TS)算法是一种局部搜索算法的改进版本，它通过引入禁忌列表和选择性接受准则来避免陷入局部最优解。TS算法的核心思想是在搜索过程中，通过记忆机制记录已经访问过的解或解的某些特征，避免算法在搜索过程中重复探索这些解，从而促使算法跳出局部最优，寻找全局最优解。2.1.1工作流程初始化：设置初始解，初始化禁忌列表的长度和迭代次数。邻域搜索：在当前解的邻域内寻找可能的解。禁忌准则：如果某个解在禁忌列表中，则不允许选择该解，除非它是最优解。选择性接受：即使新解不如当前解，也可能被接受，以避免算法过早收敛。更新禁忌列表：将已选择的解或解的特征加入禁忌列表，并根据策略移除列表中的某些元素。迭代：重复上述过程，直到达到终止条件。2.2禁忌列表的作用禁忌列表是TS算法中一个关键的组成部分，它记录了最近被访问过的解或解的某些特征，以防止算法在搜索过程中重复探索这些解。通过动态调整禁忌列表的长度和内容，TS算法能够有效地平衡探索和开发，避免陷入局部最优解。2.2.1禁忌列表的更新策略固定长度更新：禁忌列表的长度固定，当列表满时，移除最旧的元素。动态长度更新：根据搜索过程中的情况动态调整禁忌列表的长度。部分禁忌：只将解的某些特征加入禁忌列表，而不是整个解。2.2.2示例：使用Python实现禁忌搜索算法假设我们有一个简单的优化问题，目标是最小化一个函数fx=ximportrandom

#目标函数

defobjective_function(x):

returnx**2

#邻域生成函数

defgenerate_neighbors(x):

return[x-1,x+1]

#禁忌搜索算法

deftabu_search(initial_solution,tabu_list_length,iterations):

#初始化

current_solution=initial_solution

best_solution=current_solution

tabu_list=[]

#迭代

for_inrange(iterations):

#生成邻域

neighbors=generate_neighbors(current_solution)

#选择最优解

next_solution=None

best_neighbor_value=float('inf')

forneighborinneighbors:

ifneighbornotintabu_listandobjective_function(neighbor)<best_neighbor_value:

next_solution=neighbor

best_neighbor_value=objective_function(neighbor)

#更新禁忌列表

ifnext_solutionisnotNone:

tabu_list.append(next_solution)

iflen(tabu_list)>tabu_list_length:

tabu_list.pop(0)

current_solution=next_solution

ifobjective_function(current_solution)<objective_function(best_solution):

best_solution=current_solution

returnbest_solution

#参数设置

initial_solution=5

tabu_list_length=3

iterations=10

#运行禁忌搜索算法

best_solution=tabu_search(initial_solution,tabu_list_length,iterations)

print(f"最优解为:{best_solution},最小值为:{objective_function(best_solution)}")2.2.3解释在这个例子中，我们定义了一个简单的目标函数objective_function，它计算x2的值。generate_neighbors函数用于生成当前解的邻域，即x−1和x通过这个简单的例子，我们可以看到禁忌搜索算法如何通过禁忌列表避免重复探索，从而在迭代过程中寻找更优的解。在实际应用中，禁忌搜索算法可以用于解决更复杂的优化问题，如旅行商问题(TSP)、图着色问题等。3弹性力学优化算法：禁忌搜索(TS)：禁忌搜索算法的终止准则3.1迭代次数的设定在禁忌搜索算法中，迭代次数的设定是一个关键参数，它直接影响算法的运行时间和搜索精度。迭代次数过多，可能会导致计算资源的浪费；迭代次数过少，则可能无法找到全局最优解。因此，合理设定迭代次数是优化算法性能的重要步骤。3.1.1原理迭代次数的设定通常基于问题的复杂度、解空间的大小以及预期的解的精度。在弹性力学优化问题中，由于解空间可能非常大，且解的结构复杂，迭代次数需要设定得相对较高，以确保算法能够充分探索解空间，避免过早收敛。3.1.2内容在实际应用中，迭代次数可以设定为一个固定值，也可以采用动态调整策略。固定值策略简单直接，但可能不适用于所有情况。动态调整策略则根据算法的运行状态（如解的质量、搜索速度等）来调整迭代次数，更加灵活，但实现起来相对复杂。3.1.2.1示例假设我们正在使用禁忌搜索算法解决一个弹性力学结构优化问题，我们可以通过以下Python代码设定迭代次数：#禁忌搜索算法的迭代次数设定

deftaboo_search(problem,max_iterations=1000):

"""

使用禁忌搜索算法解决优化问题。

参数:

problem--优化问题的定义

max_iterations--最大迭代次数

返回:

best_solution--找到的最优解

"""

#初始化禁忌列表、当前解和最优解

taboo_list=[]

current_solution=problem.initial_solution()

best_solution=current_solution

#迭代搜索

foriinrange(max_iterations):

#生成邻域解

neighborhood=problem.generate_neighborhood(current_solution)

#选择最佳邻域解

next_solution=select_best_solution(neighborhood,taboo_list)

#更新禁忌列表

taboo_list=update_taboo_list(next_solution,taboo_list)

#更新当前解和最优解

current_solution=next_solution

ifproblem.evaluate(current_solution)<problem.evaluate(best_solution):

best_solution=current_solution

returnbest_solution在这个例子中，max_iterations参数设定了算法的最大迭代次数。通过调整这个参数，我们可以控制算法的搜索深度和时间。3.2解的收敛性判断禁忌搜索算法的另一个终止准则是解的收敛性判断。当算法连续多次迭代后，解的质量不再显著提高，或者达到一个预设的解质量标准时，算法可以终止。3.2.1原理收敛性判断通常基于解的质量变化和迭代次数。在连续的迭代中，如果解的质量变化小于一个预设的阈值，或者达到一个预设的最优解标准，算法可以认为已经收敛，从而终止搜索。3.2.2内容收敛性判断的策略可以是基于绝对值的，也可以是基于相对变化率的。基于绝对值的策略设定一个解质量的阈值，当解的质量达到或低于这个阈值时，算法终止。基于相对变化率的策略则设定一个变化率阈值，当解的质量变化率小于这个阈值时，算法终止。3.2.2.1示例以下是一个基于相对变化率的收敛性判断策略的Python代码示例：#禁忌搜索算法的收敛性判断

deftaboo_search(problem,max_iterations=1000,convergence_threshold=0.001):

"""

使用禁忌搜索算法解决优化问题，包含收敛性判断。

参数:

problem--优化问题的定义

max_iterations--最大迭代次数

convergence_threshold--收敛变化率阈值

返回:

best_solution--找到的最优解

"""

#初始化禁忌列表、当前解和最优解

taboo_list=[]

current_solution=problem.initial_solution()

best_solution=current_solution

last_best_solution_value=problem.evaluate(best_solution)

#迭代搜索

foriinrange(max_iterations):

#生成邻域解

neighborhood=problem.generate_neighborhood(current_solution)

#选择最佳邻域解

next_solution=select_best_solution(neighborhood,taboo_list)

#更新禁忌列表

taboo_list=update_taboo_list(next_solution,taboo_list)

#更新当前解和最优解

current_solution=next_solution

current_solution_value=problem.evaluate(current_solution)

ifcurrent_solution_value<problem.evaluate(best_solution):

best_solution=current_solution

last_best_solution_value=current_solution_value

#判断是否收敛

ifi>0andabs(last_best_solution_value-current_solution_value)/abs(last_best_solution_value)<convergence_threshold:

break

returnbest_solution在这个例子中，我们引入了convergence_threshold参数，用于判断解的质量变化率是否小于预设的阈值。如果变化率小于阈值，算法将提前终止，避免不必要的计算。通过上述两个终止准则的设定，我们可以有效地控制禁忌搜索算法的运行，确保在有限的计算资源下找到尽可能好的解。4弹性力学优化算法：禁忌搜索(TS)：终止准则在实例中的应用4.1应用案例：结构优化设计在结构优化设计中，禁忌搜索算法（TabuSearch,TS）是一种有效的全局优化方法，尤其适用于解决复杂和非线性的优化问题。TS算法通过引入“禁忌”机制，避免了在搜索过程中重复访问同一解，从而提高了搜索效率和全局寻优能力。在结构优化设计中，TS算法可以用于寻找最优的结构尺寸、形状或材料配置，以达到最小化成本、重量或最大化结构性能的目标。4.1.1终止准则的重要性终止准则是优化算法中不可或缺的一部分，它决定了算法何时停止搜索过程。在TS算法中，合理的终止准则可以避免过早收敛或不必要的长时间计算，确保在有限的计算资源下找到满意的解。常见的终止准则包括：迭代次数：设定最大迭代次数，当达到此次数时，算法停止。解的变化：如果连续若干次迭代中，最优解没有显著变化，则算法停止。时间限制：设定算法运行的最大时间，当达到此时间时，算法停止。禁忌表长度：当禁忌表达到预设的最大长度时，算法停止。4.1.2实例分析假设我们正在设计一个桥梁的主梁结构，目标是最小化其重量，同时确保结构的强度和稳定性满足要求。我们使用TS算法进行优化，其中包含以下终止准则：最大迭代次数：设定为1000次。最优解变化：如果连续50次迭代中，最优解的重量变化小于0.1%，则算法停止。4.1.2.1数据样例我们定义结构优化问题的参数如下：设计变量：主梁的宽度（W）、高度（H）和材料厚度（T）。目标函数：结构的总重量，计算公式为：W，其中ρ是材料密度。约束条件：结构的强度和稳定性要求。4.1.2.2代码示例#导入必要的库

importrandom

importnumpyasnp

#定义目标函数

defweight_function(W,H,T,rho):

returnrho*W*H*T

#定义禁忌搜索算法

classTabuSearch:

def__init__(self,max_iterations,no_improvement_stop,design_variables,rho):

self.max_iterations=max_iterations

self.no_improvement_stop=no_improvement_stop

self.design_variables=design_variables

self.rho=rho

self.tabu_list=[]

self.best_solution=None

self.best_weight=float('inf')

self.iteration=0

self.no_improvement_count=0

defmove(self,current_solution):

#生成邻域解

neighborhood=[current_solution+np.random.uniform(-0.1,0.1,len(current_solution))for_inrange(10)]

#选择最优解

best_neighbor=min(neighborhood,key=lambdax:weight_function(x[0],x[1],x[2],self.rho))

#检查是否在禁忌表中

ifbest_neighbornotinself.tabu_list:

returnbest_neighbor

else:

#如果最优解在禁忌表中，选择次优解

sorted_neighbors=sorted(neighborhood,key=lambdax:weight_function(x[0],x[1],x[2],self.rho))

forneighborinsorted_neighbors:

ifneighbornotinself.tabu_list:

returnneighbor

returncurrent_solution

defrun(self):

#初始化解

current_solution=np.random.uniform(1,10,len(self.design_variables))

whileself.iteration<self.max_iterations:

#移动到新解

new_solution=self.move(current_solution)

#更新禁忌表

self.tabu_list.append(current_solution)

iflen(self.tabu_list)>10:

self.tabu_list.pop(0)

#更新最优解

new_weight=weight_function(new_solution[0],new_solution[1],new_solution[2],self.rho)

ifnew_weight<self.best_weight:

self.best_weight=new_weight

self.best_solution=new_solution

self.no_improvement_count=0

else:

self.no_improvement_count+=1

#检查终止准则

ifself.no_improvement_count>=self.no_improvement_stop:

break

current_solution=new_solution

self.iteration+=1

#设定参数

max_iterations=1000

no_improvement_stop=50

design_variables=['W','H','T']

rho=7850#钢的密度，单位：kg/m^3

#运行禁忌搜索算法

ts=TabuSearch(max_iterations,no_improvement_stop,design_variables,rho)

ts.run()

#输出最优解

print("最优解：",ts.best_solution)

print("最优解的重量：",ts.best_weight)4.1.3解释在上述代码中，我们首先定义了目标函数weight_function，它根据设计变量计算结构的总重量。然后，我们创建了TabuSearch类，其中包含了禁忌搜索算法的主要逻辑。在run方法中，算法通过迭代搜索最优解，同时更新禁忌表和检查终