高中数学必修5第一章解三角形全章教案

数学5第一章解三角形

章节总体设计

(一)课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最终落实

在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当到达以下学习目的：

(1)通过对随意三角形边长和角度关系的探究，驾驭正弦定理、余弦定理，并能

解决一些简洁的三角形度量问题。

(2)可以娴熟运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些及测量和几何计算有关

的生活实际问题。

(二)编写意图及特色

1.数学思想方法的重要性

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成局部，有利于学生加深数学学问的理

解和驾驭。

本章重视及内容亲密相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思索解决问题的策

略等方面对学生进展详细示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它

们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的学问，

就是“在随意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“假如已知两个三角形的两条对应边及

其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何学问动身，提出探究性问题：”在

随意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准

确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“假如已知三角形的两条边及

其所夹的角，依据三角形全等的断定方法，这个三角形是大小、形态完全确定的三角形.我们

仍旧从量化的角度来讨论这个问题，也就是讨论如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角

形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2.留意加强前后学问的联络

加强及前后各章教学内容的联络，留意复习和应用己学内容，并为后续章节教学内容做

好打算，能使整套教科书成为一个有机整体，进步教学效益，并有利于学生对于数学学问的

学习和稳固。

本章内容处理三角形中的边角关系，及初中学习的三角形的边及角的根本关系，已知三

角形的边和角相等断定三角形全等的学问有着亲密联络。教科书在引入正弦定理内容时，让

学生从已有的几何学问动身，提出探究性问题“在随意三角形中有大边对大角，小边对小角

的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容

时，提出探究性问题“假如已知三角形的两条边及其所夹的角,依据三角形全等的断定方法，

这个三角形是大小、形态完全确定的三角形.我们仍旧从量化的角度来讨论这个问题，也就

是讨论如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从

联络的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的学问有了新的相识，同时使新学

问建立在已有学问的坚实根底上，形成良好的学问构造。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这局部内容支配在数学五的第一局部内容，位置相

对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面对量、直线和圆的方程等及本章学问

联络亲密的内容,这使这局部内容的处理有了比拟多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。

比方对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，须要对于三角形进展讨论，方

法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理及勾股定理的比拟中，提出了一个

思索问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？"，并进而指出，“从余弦定理以

及余弦函数的性质可知，假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对

的角是直角；假如小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；假如大于第三边的平方,

那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广

3.重视加强意识和数学理论实力

学数学的最终目的是应用数学，而如今比拟突出的两个问题是，学生应用数学的意识不

强，创建实力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学学问应用

到实际问题中去，对所学数学学问的实际背景理解不多，虽然学朝气械地仿照一些常见数学

问题解法的实力较强，但当面临一种新的问题时却方法不多，对于诸如视察、分析、归纳、

类比、抽象、概括、猜测等发觉问题、解决问题的科学思维方法理解不够。针对这些实际状

况，本章重视从实际问题动身，引入数学课题，最终把数学学问应用于实际问题。

（三）教学内容及课时支配建议

1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）

1.2应用举例（约4课时）

1.3实习作业（约1课时）

（四）评价建议

1.要在本章的教学中，应当依据教学实际，启发学生不断提出问题，讨论

问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应当因势利导，依据详

细教学过程中学生思索问题的方一直启发学生得到自己对于定理的证明。如对于

正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到

三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程

中，一个问题也经常有多种不同的解决方案,应当激励学生提出自己的解决方法,

并对于不同的方法进展必要的分析和比拟。对于一些常见的测量问题甚至可以激

励学生设计应用的程序，得到在实际中可以干脆应用的算法。

2.适当支配一些实习作业，目的是让学生进一步稳固所学的学问，进步学生分析问题

的解决实际问题的实力、动手操作的实力以及用数学语言表达实习过程和实习结果实力，增

加学生应用数学的意识和数学理论实力。教师要留意对于学生实习作业的指导，包括对于实

际测量问题的选择，刚好订正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。

第1课时

课题:§1.1.1正弦定理

•教学目的

学问及技能:通过对随意三角形边长和角度关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法;

会运用正弦定理及三角形内角和定理解斜三角形的两类根本问题。

过程及方法：让学生从已有的几何学问动身,共同探究在随意三角形中，边及其对角的关系，

引导学生通过视察，推导，比拟，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进展定理根本应用的理

论操作。

情感看法及价值观：培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算实力；培育学生合

情推理探究数学规律的数学思思想实力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问

间的联络来表达事物之间的普遍联络及辩证统一。

•教学重点

正弦定理的探究和证明及其根本应用。

•教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。

•教学过程

I.课题导入

如图1.1-1,固定AABC的边CB及/B,使边AC围着顶点C转动。/A

思索：ZC的大小及它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？/\

明显，边AB的长度随着其对角/C的大小的增大而增大。能否\

用一个等式把这种关系准确地表示出来？C

B

II.讲授新课

［探究讨论］（图1.1-1）

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来讨论直角三角形中，角及边的等

式关系。如图1.1-2,在RtAABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,依据锐角三角函数中正弦函

数的定义有—=sinJ-=sin5

cC

A

abc

则-；----—；=-；-----=C

sin力sin夕sinC

abc

从而在直角三角形ABC中,

sin/sin/?sinC

（图1.1-2）

思索：那么对于随意的三角形，以上关系式是否仍旧成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：

如图1.1-3,当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,依据随意角三角函数

的定义，有CD=asin^=Z?sinJJiJ—~~-=――-

sinJsin夕

同理可得c_b

sinCsinB

a_b_c

sinJsin夕sinC

（图1.1-3）

思索：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来讨论

这个问题。

（证法二）：过点A作C

由向量的加法可得AB=AC+CB

则j-AB=j-UC+CB）

csinA^asinC,即高=募

b_c

同理，过点C作可得

sin5sinC

“habc

从而—7=

sin/sin//sine

类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍旧成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

［理解定理］

（1）正弦定理说明同一三角形中，边及其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即

存在正数k使己=女$1114,b=ksinB,c=ksinC；

，八abcMg丁abcbac

（2）\=；=；\）|J；=；,；=；，；=；

sinJsin夕sinCsinJsin夕sinCsin夕sinJsinC

从而知正弦定理的根本作用为：

①已知三角形的随意两角及其一边可以求其他边，如4=如吗；

sin夕

②已知三角形的随意两边及其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sinJ=—siru?。

b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

［例题分析］

例1.在AABC中，已知4=32.0°,3=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：依据三角形内角和定理，

依据正弦定理，

依据正弦定理，

评述：对于解三角形中的困难运算可运用计算器。

例2.在AABC中，已知a=20cm,Z>=28cm,A=40°,解三角形（角度准确到1°,边

长准确到1cm）o

解：依据正弦定理，

因为0°<3<180°,所以3a64°,或3Ml6°.

⑴当3。64°时，

⑵当3对16°时,

评述：应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

UI.课堂练习

第4页练习第1（1）、2（1）题。

［补充练习］已知AABC中，sinJ:sinj?:sin6'=l:2:3,求a:6:c

（答案：1：2：3）

IV.课时小结（由学生归纳总结）

b_ca+b+c

（1）定理的表示形式：「三=A（A>0）

sin/sin2?sinCsin/+sin夕+sinC

^La=ksinA,b=ksinB,c=ksinC{k>0)

(2)正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

V.课后作业

第10页［习题1.1］A组第1(1)、2(1)题。

第2课时

课题:§1.1.2余弦定理

•教学目的

学问及技能：驾驭余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理

解决两类根本的解三角形问题。

过程及方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过理论演算驾驭运用余弦定理

解决两类根本的解三角形问题

情感看法及价值观：培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算实力；通过三角函

数、余弦定理、向量的数量积等学问间的关系，来理解事物之间的普遍联络及辩证统一。

•教学重点

余弦定理的发觉和证明过程及其根本应用；

•教学难点

勾股定理在余弦定理的发觉和证明过程中的作用。

•教学过程

I.课题导入

c

如图1.1-4,在AABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,/\

已知a,b和/C,求边cb/

Ayc\"B

(图1.1-4)

II.讲授新课

［探究讨论］

联络已经学过的学问和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发觉因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来讨论这个问题。

如图1.1-5,设CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a—8,贝!］b

|c|=c-c=^a-b^(a-b^

=a,a+b、b—2a,bCaB

=忖+|/?|-2a-b

从而/=/+一2a6cosc(图1.1-5)

同理可证/=b2-^-c2-2bccosA

于是得到以下定理

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边及它们的夹角

的余弦的积的两倍。即a2=+c2-2bccosA

思索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由

三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

［理解定理］

从而知余弦定理及其推论的根本作用为：

①已知三角形的随意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思索：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若AABC中，C=90°,贝|cosC=0,这时/二4+^

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

［例题分析］

例1.在AABC中，已知。=2百，。="+0,8=60°,求b及A

⑴解：Vb2=a2+c2-2accosB

=（2后+（V6+72）2-2.273.（5/6+72）cos45°

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

,b2+c2-a2(2①了+(6+应产_(26产1

⑵解法一:cosA=^r-=-2X2&X函+♦)N

解法二：:sinA=，sinB-sin45°,

b2V2

又；A/6+V2>24+1.4=3.8,

：.a<c,即0°<A<90°,

评述：解法二应留意确定A的取值范围。

例2.在AABC中，已知a=134.6c〃z,b=81.8cm,c=161.7cm,解三角形

（见课本第7页例4,可由学生通过阅读进展理解）

解：由余弦定理的推论得：

廿+©2―々2

cosA=

2bc

cosB=

2ca

UI.课堂练习

第8页练习第1（1）、2（1）题。

［补充练习］在AABC中，若a2=^+c2+6c,求角A（答案：A=120°）

IV.课时小结

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例;

(2)余弦定理的应用范围：①.已知三边求三角；②.已知两边及它们的夹角，求第三边。

V.课后作业

①课后阅读：课本第8页［探究及发觉］

②课时作业：第11页［习题1.1］A组第3(1),4(1)题。

第3课时

课题:§1.1.3解三角形的进一步讨论

•教学目的

学问及技能：驾驭在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解

等情形；三角形各种类型的断定方法；三角形面积定理的应用。

过程及方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理,

三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感看法及价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角

函数的关系，反映了事物之间的必定联络及肯定条件下互相转化的可能，从而从本质上反映

了事物之间的内在联络。

•教学重点

在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的断定方法；三角形面积定理的应用。

•教学难点

正、余弦定理及三角形的有关性质的综合运用。

•教学过程

I.课题导入

［创设情景］

思索：在AABC中，已知a=22o77,b=25cm,力=133°,解三角形。

(由学生阅读课本第9页解答过程)

从今题的分析我们发觉，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条

件下会出现无解的情形。下面进一步来讨论这种情形下解三角形的问题。

II.讲授新课

［探究讨论］

例1.在AABC中，已知a,4/,讨论三角形解的状况

分析：先由sin6=史”且可进一步求出B；

a

则。=180°_(/+5)

1.当A为钝角或直角时，必需a>6才能有且只有一解；否则无解。

2.当A为锐角时，

假如那么只有一解；

假如a<6,那么可以分下面三种状况来讨论：

(1)若a>8sin/,则有两解；

(2)若a=3sin/,则只有一解；

(3)若a<6sin4,则无解。

(以上解答过程详见课本第910页)

评述：留意在己知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

6sin4<a<6时，有两解；其它状况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]

(I)在AABC中，已知a=80,6=100,N/=45°,试推断此三角形的解的状况。

(2)在AABC中，若a=l,c=1,Z6'=40°,则符合题意的b的值有个。

(3)在AABC中，a=xcm,b=2cm,/6=45°,假如利用正弦定理解三角形有两解，

求X的取值范围。

(答案：(1)有两解；(2)0；(3)2<x<20)

例2.在AABC中，已知a=7,8=5,c=3,推断AABC的类型。

分析：由余弦定理可知

(留意：/是锐角WAABC是锐角三角形)

解：72>52+32,即a2>+c2,

[随堂练习2]

(1)在AABC中，已知sin/:sin氏sinC=l:2:3,推断AABC的类型。

(2)已知AABC满意条件acos/=6cos6,推断AABC的类型。

(答案：(1)AABC是钝角三角形；(2)AABC是等腰或直角三角形)

例3.在AABC中，4=60°,6=1,面积为£,求,，@+.的值

2siny4+sinz/+sm6

分析：可利用三角形面积定理S=(a6sinC=(acsin3=(z?csin/以及正弦定理

解：由S=；Z?csin/=—■得c=2,

贝ija?=6?+/一28ccos/=3,即@=囱，

从而------------------==2

sin/+sin6+sinCsin/

UI.课堂练习

(I)在AABC中，若a=55,8=16,且此三角形的面积S=220函，求角C

„2A2_2

(2)在AABC中，其三边分别为a、b、c,且三角形的面积5=三兰—,求角C

(答案：(1)60°或120°；(2)45°)

IV.课时小结

(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形;

(2)三角形各种类型的断定方法；

(3)三角形面积定理的应用。

V.课后作业

(1)在AABC中，已知6=4,c=10,5=30°,试推断此三角形的解的状况。

(2)设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，务实数x的取值范围。

(3)在AABC中，力=60°,a=l,b+c=2,推断AABC的形态。

(4)三角形的两边分别为3cm,5cm，它们所夹的角的余弦为方程5入2_7入-6=0的根，

求这个三角形的面积。

第4课时

课题:§2.2解三角形应用举例

•教学目的

学问及技能：可以运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关测量间隔的实际问

题，理解常用的测量相关术语

过程及方法：首先通过奇妙的设疑，顺当地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结

合学生的实际状况，采纳“提出问题一引发思索一探究猜测一总结规律一反应训练”

的教学过程，依据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过

多媒体、图形视察等直观演示，扶植学生驾驭解法，可以类比解决实际问题。对于例2这样

的开放性题目要激励学生讨论，开放多种思路，引导学生发觉问题并进展适当的指引和矫正

情感看法及价值观：激发学生学习数学的爱好，并体会数学的应用价值；同时培育学生运用

图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的实力

•教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

•教学难点

依据题意建立数学模型，画出示意图

•教学过程

I.课题导入

1、［复习旧知］

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、［设置情境］

请学生答复完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥

不行及的月亮离我们地球原委有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出

了两者的间隔，是什么奇妙的方法探究到这个奇妙的呢？我们知道，对于未知的间隔、高

度等，存在着很多可供选择的测量方案，比方可以应用全等三角形、相像三角形的方法，或

借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能

施行。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限

性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今日我们开场学习正弦定理、余弦

定理在科学理论中的重要应用，首先讨论如何测量间隔。

II.讲授新课

(1)解决实际测量问题的过程一般要充分仔细理解题意，正确做出图形，把实际问题

里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

［例题讲解］

（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的间隔，测量者在A的同

侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的间隔是55m,NBAC=51。，ZACB=75°«

求A、B两点的间隔（准确到0.1m）

启发提问1：AABC中，依据已知的边和对应角，运用哪个定理比拟适当？

启发提问2：运用该定理解题还须要那些边和角呢？请学生答复。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不行到达的点之间的间隔的问题，题目

条件告知了边AB的对角，AC为已知边，再依据三角形的内角和定理很简洁依据两个已知

角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：依据正弦定理，得

AB=ACsinZACB

sinZABC

a65.7（m）

答:A、B两点间的间隔为65.7米

变式练习：两灯塔A、B及海洋视察站C的间隔都等于akm,灯塔A在视察站C的北偏东

30°,灯塔B在视察站C南偏东60°,则A、B之间的间隔为多少？

教师指导学生画图，建立数学模型。

解略：V2akm

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不行到达），设计一种测量A、B两点间间隔的方

法。

分析：这是例1的变式题，讨论的是两个不行到达的点之间的间隔测量问题。首先须要构

造三角形，所以须要确定C、D两点。依据正弦定理中已知三角形的随意两个内角及一边既

可求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的间隔。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得NBCA=a,

ZACD=p,ZCDB=7,NBDA=5,在△人口（2和八8口（2中，应用正弦定理得

AC=Qsin(y+b)=〃sin(y+b)

sin[180°-(/7+/+^)]sin(.+y+5)

BC=〃siny=asiny

sin[180°-(«+^+/)]sin(a+夕+y)

计算出AC和BC后，再在AABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的间隔

2

AB=VAC+BC2-2CxBCcosa

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进展比照、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得NBCA=60°,NACD=30°,

ZCDB=45°,ZBDA=60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20几

评注：可见，在讨论三角形时，敏捷依据两个定理可以找寻到多种解决问题的方案，但有些

过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选

择最佳的计算方式。

学生阅读课本4页，理解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

UI.课堂练习

课本第13页练习第1、2题

IV.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知及未知，画出示意图

(2)建模：依据已知条件及求解目的，把已知量及求解量尽量集中在有关的三角形中，建

立一个解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

V.课后作业

课本第19页第1、2、3题

第5课时

课题:§2.2解三角形应用举例

•教学目的

学问及技能：可以运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体

高度测量的问题

过程及方法：本节课是解三角形应用举例的延长。采纳启发及尝试的方法，让学生在温故知

新中学会正确识图、画图、想图，扶植学生逐步构建学问框架。通过3道例题的支配和练习

的训练来稳固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导一讨论一归纳，

目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的讨论、探究习惯。作业设计思索题，供应

学生更广袤的思索空间

情感看法及价值观：进一步培育学生学习数学、应用数学的意识及视察、归纳、类比、概括

的实力

•教学重点

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题

•教学难点

能视察较困难的图形，从中找到解决问题的关键条件

•教学过程

I.课题导入

提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度呢？又怎样在程度飞行的飞

机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今日我们就来共同讨论这方面的问题

n.讲授新课

［范例讲解］

例3、AB是底部B不行到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高

度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求AE,在AACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的间隔CA,

再测出由C点视察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条程度基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪

器测得A的仰角分别是0、(3,CD=a,测角仪器的高是h,那么，在AACD中，依据正

弦定理可得

AC="sin夕

sin(a一夕)

AB=AE+h

=ACsincr+h

—asinasin,十卜

sin(a-P)

例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角口=54°40',在塔底C处测得A

处的俯角p=50°T=已知铁塔BC局部的高为27.3m,求出山高CD(准确到1m)

师:依据已知条件,大家能设计出解题方案吗？(给时间给学生讨论思索)若在AABD中求

CD,则关键须要求出哪条边呢？

生：需求出BD边。

师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再依据NBAD=c求得。

解:在AABC中，NBCA=90°+/,NABC=90°-tz,ZBAC=«-尸，NBAD=(z.依据正

弦定理，

而2.„BCsin(90°+£)_BCcos0

m以Ao=--；-----------------

sin(a一夕)sin(a一夕)

解RtAABD中，得BD=ABsinZBAD=尤cos丑sina

sin(a-P)

将测量数据代入上式，得

27.3cos50°l,sin54°40,

BD=----------；--------——

sin(5440'-50;1')

=177(m)

CD=BD-BC-177-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米.

师：有没有别的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

师：分析得很好，请大家接着思索如何求出AC?

生：同理，在AABC中，依据正弦定理求得。(解题过程略)

例5、如图,一辆汽车在一条程度的马路上向正东行驶，到A处时测得马路南侧远处一山顶D

在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,

求此山的高度CD.

师：欲求出CD,大家思索在哪个三角形中讨论比拟合适呢？

生：在ABCD中

师：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,依据条件，易计算出哪条边的长？

生：BC边

解:在AABC中，/A=15°,/C=25°-15°=10°,依据正弦定理,

ABsmA5sinl5

sinCsin10

=7.4524(km)

CD=BCxtanZDBOBCxtan8°^1047(m)

答:山的高度约为1047米

in.课堂练习

课本第15页练习第1、2、3题

W.课时小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方位图，要懂得从所给的

背景资料中进展加工、抽取主要因素，进展适当的简化。

V.课后作业

1、课本第19页练习第6、7、8题

2、为测某塔AB的高度，在一幢及塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,

测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为多少m?

：20H---------(m)

3

第6课时

课题:§2.2解三角形应用举例

•教学目的

学问及技能：可以运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关计算角度的实际问题

过程及方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了根本的理解,

这节课应通过综合训练强化学生的相应实力。除了支配课本上的例1,还针对性地选择了既

具典型性有具启发性的2道例题，强调学问的传授更重实力的浸透。课堂中要充分表达学生

的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、主动、主动地参及到探究

问题的过程中来，逐步让学生自主发觉规律，举一反三。

情感看法及价值观：培育学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的实力，并在教学过

程中激发学生的探究精神。

•教学重点

能依据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系

•教学难点

敏捷运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

•教学过程

I.课题导入

［创设情境］

提问：前面我们学习了如何测量间隔和高度，这些事实上都可转化已知三角形的一些边和

角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面

上如何确保轮船不迷失方向，保持肯定的航速和航向呢？今日我们接着讨论这方面的测量问

题。

II.讲授新课

［范例讲解］

例6,如图，一艘海轮从A动身，沿北偏东75。的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后

从B动身，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.假如下次航行干脆从A动身到

达C,此船应当沿怎样的方向航行，须要航行多少间隔？（角度准确到0.1°，间隔准确到O.Oln

mile）

学生看图思索并讲解并描述解题思路

教师依据学生的答复归纳分析：首先依据三角形的内角和定理求出AC边所对的角/ABC,

即可用余弦定理算出AC边，再依据正弦定理算出AC边和AB边的夹角/CAB。

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°,依据余弦定理，

AC=4AB^~+^C^-2AB^<^C^<COS_2ABC

-113.15

依据正弦定理，

sinZCAB="sinZABC

AC

»0.3255,

所以ZCAB=19.0°,

75°-ZCAB=56.0°

答:此船应当沿北偏东56.1°的方向航行，须要航行113.15nmile

补充例1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为6,沿BE方向前进30m,至点C

处测得顶端A的仰角为26,再接着前进106m至D点，测得顶端A的仰角为46,求。

的大小和建筑物AE的高。

师：请大家依据题意画出方位图。

生：上台板演方位图（上图）

教师先引导和激励学生主动思索解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板

演，然后教师补充讲评。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=log,

/ADC=180°-46,

因为sin40=2sin20cos20

77

...cos26=—，得29=30

2

0=15

在RtAADE中，AE=ADsin60°=15

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法二：(设方程来求解)设DE=x,AE=h

在RtAACE中,(10百+xy+h2=302

在RtAADE中,x2+h②=(10月产

两式相减，得x=5V§\h=15

.,.在RtAACE中,tan20=------------=

10V3+x3

.•.26=30°,6=15°

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法三：(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=8,由题意，得

ZBAC=6»,/CAD=2，，

AC=BC=30m,AD=CD=106m

Y

在RtAACE中，sin26=——............①

30

4

在RtAADE中，sin46=一三，------②

10J3

仃

②+①得cos26>=—,26»=30°,6>=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

补充例2、某巡逻艇在A处发觉北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东

75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇马上以14海里/小时的速度沿着直

线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追？须要多少时间才追逐上该走私船？

师：你能依据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即须要引入时间这个参变量。

解:如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75°+45°=120°

.-.(14x)2=92+(10X)2-2x9x10xcosl20°

c3Q

化简得32x2-30x-27=0,即x=—，或x=-----(舍去)

216

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

▽中石•/pgBCsin120°15旧5百

又因为sinZBAC=---------------=一x—=------

AB21214

NBAC=38°13',或NBAC=141°47'（钝角不合题意，舍去）,

.•.38°13,+45°=83°13,

答：巡逻艇应当沿北偏东83°13'方向去追，经过1.4小时才追逐上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的

应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

UI.课堂练习

课本第16页练习

W.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：（1）已知量及未知量全部集中在一个三

角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）己知量及未知量涉及两个或几个三角形,

这时须要选择条件足够的三角形优先讨论，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

V.课后作业

1、课本第20页练习第9、10、11题

2、我舰在敌岛A南偏西50。相距12海里的B处，发觉敌舰正由岛沿北偏西10。的方向以10

海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角

度用反三角函数表示）

第7课时

课题:§2.2解三角形应用举例

•教学目的

学问及技能：可以运用正弦定理、余弦定理等学问和方法进一步解决有关三角形的问题，驾

驭三角形的面积公式的简洁推导和应用

过程及方法：本节课补充了三角形新的面积公式，奇妙设疑，引导学生证明，同时总结出该

公式的特点，按部就班地详细运用于相关的题型。另外本节课的证明题表达了前面所学学问

的生动运用，教师要放手让学生探索，使学生在详细的论证中敏捷把握正弦定理和余弦定理

的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行驾驭了两定理的特点，就能很快开阔思维，

有利地进一步打破难点。

情感看法及价值观：让学生进一步稳固所学的学问，加深对所学定理的理解，进步创新实力；

进一步培育学生讨论和发觉实力，让学生在探究中体验愉悦的胜利体验

•教学重点

推导三角形的面积公式并解决简洁的相关题目

•教学难点

利用正弦定理、余弦定理来求证简洁的证明题

•教学过程

I.课题导入

［创设情境］

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今日我们来学习它的另一个表达公式。在

AABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h”、七、hc,那么它们如何用已知边和

角表示？

生：ha=bsinC=csinB

hb=csinA=asinC

hc=asinB=bsinaA

师：依据以前学过的三角形面积公式S=」ah,应用以上求出的高的公式如h°=bsinC代入，

2

可以推导出下面的三角形面积公式，S=-absinC,大家能推出其它的几个公式吗？

2

生：同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB

22

师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的

面积呢？

生：如能知道三角形的随意两边以及它们夹角的正弦即可求解

II.讲授新课

［范例讲解］

例7、在AABC中，依据下列条件，求三角形的面积S(准确到O.lcn?)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，及解三角形问题有亲密的关系，

我们可以应用解三角形面积的学问，视察已知什么，尚缺什么？求出须要的元素，就可以求

出三角形的面积。

解：(1)应用S二工acsinB,得

2

S=1X14.8x23.5xsinl48.5°«90.9(cm2)

(2)依据正弦定理，

c=

sinB

S=-bcsinA=-b2sinCsinA

22sinB

A=18O°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°

sin65.8sin51.5

S=-x3.162x~4.0(cm2)

2sin62.7

(3)依据余弦定理的推论，得

c2+a2-b~

cosB=-----------------

lea

-0.7697

sinB=Vl-cos2B~71-0.76972-0.6384

应用S=—acsinB,得

2

12

s--x41.4x38.7x0.6384-511.4(cm2)

例8、如图,在某市进展城市环境建立中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得

到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？(准确到

0.1cm2)?

师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。

由学生解答，教师巡察并对学生解答进展讲评小结。

解：设a=68m,b=88m,c=127m,依据余弦定理的推论，

c2+a1-b2

cosB=-----------------

2ca

222

127+68-88OC

=-----------------------=0.7532

2x127x68

sinB=Vl-0.75322x0.6578

应用S=—acsinB

2

1

S^-x68x127x0.6578~2840