初中数学公式

分数

定义：两个正整数p,q相除，可以用分数B表示，即p+q=心其中P

Qq

为分子，q为分母。读作q分之P.

1分数与除法

性质：分数的分子和分母都乘以或者除以同一个不为零的数，所得的分

aaxka+n

数与原分数的大小相等，S|J(bw0,kW0,nH0)

bbxkb+n

分数的基本

2

性质

定义L把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分。

定义2：分子和分母互质的分数，叫做最简分数。

3约分

定义：儿个分数分母的公倍数叫做公分母。

将异分母的分数化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过称叫做

通分。

4通分

不同类型分数的比较：

同分母分数，分子越大的分数越大；

异分母分数，应通分之后，再比较大小；

同分子分数，分母大的分数反而小。

分数的太小,111

5举例：比较二，-

比较357

6分数加减法原则：异分母相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则再

进行计算。

7分数的种类定义：分子比分母小的分数，叫做真分数。

分子大于或者等于分母的分数叫做假分数。

一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数。

8分数的乘法原则：两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作

积的分母；整数与分数相乘，整数与分数的分子的积作积的分子，分

母不变。

9分数的除法原则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数，表示为：

mpmq.__八、

—+-=—X0,pH0,qW0）

nqnp厂1/

10有限小数要点：一个最简分数，如果分母中只含有素因数2或5,再无其他素

因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则，就不能化成有限小数。

举例：三工不可以化成有限小数，因为它们的分母中依次含有

6141126

359

素因数3,7,11,13；而〉就可以化成有限小数。

44820

11循环小数定义1:一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次

不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。

定义2：一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最

少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。

书写：一般小数的循环部分只写出第一个循环节，再这个循环节的首

位和末位的数字上面各记一个圆点。

举例：1.02002000200002...不是循环小数。

8.136363636...是循环小数,循环节为“36”,写作8.136

定义：把两个数量的比值写成」-的形式，称为百分数，也叫做百

100

分比或百分率，记作n%,读作百分之n,符号％叫做百分号。

1百分数

要点：百分比也是一种比值，是种分母为100的特殊分数，可以

与分数，小数互化。

举例：30%读作百分之三十，它有30个1%。

要点：将n%写成」的形式，利用分数的基本性质化为最简分数。

百分数化为最100

2

简分数459

举例：和45%相等的分数是一，即二二

10020

要点：小数化成百分数，将小数点向右移两位，同时在右面添上百

分号。

百分数与小数

3百分数化成小数，将％号前数字的小数点向左移两位，同时去

的互化

掉后面的百分号。

举例：0.125=12.5%,1.5%=0.015

要点：通常先把分数化成小数，再把小数化成百分数，遇到除不尽

小数化为百分时，一般保留三位小数。

4

数11

举例：一=0.05=5%,一^0.111=11.1%

2011

有关生产和工作的百分比：

及格人数〜

及格率-乂....X100%

总人数

人.士合格产品数〜

合格率-五口乂也X100%

5常用百分率1产品总数

_._增加的产量

增产率-X「〃一，X100%

原来的产量

,2实际出勤J人数7

出勤率=--------------X100%

应该出勤的人数

有关经济的百分比：

按原价八折销售，就是原价的80%。

盈利率黑x100%==警X100%

成本成本

6常用百分率2

亏损率若X100%=成:售价x100%

成本成f本

举例：一件衣服以原价的75%出售，售价150元，则原价

=150+75%=200

有关利税的百分比：

利息=木金X利率X期数

举例：存入银行2000元，存期3年，已知年利率为5.4%,则可得

7常用百分率3

利息为：2000X5.4%x3

数的整除

定义：零和正整数统称为自然数。正整数、零负整数，统称为整数。

举例：最小的自然数是0。

1整数最大的整数不存在。

零既不是正整数，也不是负整数。

定义：整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零，我们就

说a能被b整除，或者说b能整除a.

2整除要点：除数，被除数都是整数。

被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

举例：如果a+b=7,那么a不一定整除b,因为a,b不一定为整数。

定义：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的

因数（或约数）。

3因数和倍数举例：甲数能够被乙数整除，乙数能够被丙数整除，则丙数是甲数

的因数。

要点：任何一个正整数的约数都包括1和它本身。

定义：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。

要点：个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除，个位上是1,3,5,7,9

4能被2整除的数的整数是奇数。

举例：・个奇数与一个偶数的积一定是偶数；两个奇数相乘的积一

定是奇数。

要点：1.个位上是。或5的整数都能被5整除；

2.如果•个数的各个数字之和能被3整除，则它也可以被3

能被3、5、9整整除；如果一个数的各个数字之和能被9整除，则它也可以被9整

5

除的数除

举例：能同时被2和5整除的整数，其个位只能是0;

能够被3整除的最小的四位数是1002.

定义：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做

素数（或质数）；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的

6质数和合数数叫做合数。

要点：1既不是质数，也不是合数。

1个合数至少有3个因数；1个质数至多有.2个因数。

定义：每个合数都可以写成儿个质数相乘的形式，其中每个质数都

是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数

7分解质因数

相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

举例：28=2x2x7

步骤：

1.先用一个能整除这个合数的素数（从最小的开始）去除；

2,得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，知道得

出来的商是素数为止。

8短除法

3.把各个除数利最后的商从小到大的顺序写成连乘的形式。

定义1:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个

叫做这几个数的最大公因数。

公因数和最大定义2：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素（或互质）。

9

公因数举例：11,15,20的最大公因数是1,这三个数不是互质的关系，因为互

质是对于两个整数而说的。

要点：1,求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的质因数连乘，

所得的积就是它们的最大公因数。

2,两个整数中，如果某个数是另外一个数的因数，那么这个数

就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互质，它们的最大公因数是

1.

10求最大公因数

举例：24=2x2x^x3/

30=丽丽f以24和30的最大公因数是6

定义：几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做

它们的最小公倍数。

方法：求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的质因数，再取

它们各自剩余的质因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小

公倍数和最小公倍数。

11

公倍数举例：24=2x2y2x3/

30=2x3匠厂

所以24和30的最小公倍数=2x3x2x2x5=120

要点：

1.用短除法求两个整数的最小公倍数，要除到两个商互质为止。

2.如果两个整数中牟一个是另外一个数的倍数，那么这个数就是它们

的最小公倍数，如果两个数互质，那么它们的乘积就是它们的最小

12求最小公倍数公倍数。

3.两个数的最小公倍数一定可以被它们的最大公约数整除。

比和比例

定义：a,b是两个数或两个同类的量，为了把a,b相比较，将a和b

a

相除，叫做a与b的比，记作a：b,或写成:，其中b=0

b

1比和比值a叫做比的前项，b叫做比的后项。前项a除以后项b所得的商

叫做比值。

三者关系：

比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；

比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；

比、分数和除

2比值相当于分数的分数值和除式中的商。

法

举例：1.5m:60cm=150cm:60cm=2.5

求两个同类量的比值时，如果单位不同，要先化为相同单位，再求比

值。

定义：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不

变。用式子表示：

比的基本性

3a:b=ka:kb=|-^(k^0)

质b+k''

定义：最简整数比是指比的前项与后项都是整数，且互质；

性质：1.如果a:b=m:n,b:c=n:k,那么，a:b:c=m:n:k

।।।।.abc

2.如果k。o,那么a:b:c=ak:bk:ck=-

kkk

4三项连比

举例：已知:a:b=l:3,b:c=4:7,求a:b:c?

首先，利用比的基本性质将b所对应的两项的值统一，即

a:b=4:12,b:c=12:21,所以，a:b:c=4:12:21,关键是求3和4的最小公

倍数。

定义:a,b,c,d四个量中，如果a:b=c:d,那么就说a,b,c,d成比例,

其中，a,b,c,d分别叫做第一、二、三、四比例项，a和d叫

5比例做比例外项，b,c叫做比例内项。

如果两个比例内项相同,即a:b=b:c时，把b叫做a和c的

比例中项。

ac

基本性质：如果a:b=c:d或者［=1那么ad=bc,即外项之积等于内

bd

ac

项之积。反之，如果a,b,c,d都不为零，且a:b=c:d或工=：.

bd

6比例的性质

举例：如果热=2则ax5=bx11.

利用比例求未知项：

若一个比例式中含有一个未知数，则可以利用比例的基本性质进行求

解。

比例中的未

7

知项举例：己知6:x=1.5:7,则L5x=6x7,所以x的值为28.

比例法解应用题：

根据题意列出比例式，然后利用比例的基本性质求未知数的值。

举例：张精密零件图纸上的比例尺是5:1,如果在图纸上测得一条线

段长度为25毫米，求实际长度？

可设实际长度为X,由图纸的比例尺可得：

8比例的应用5:1=25毫米：x,于是x=5mm

要点：比例尺指的是图纸上的距离和实际距离的比。

从自然数到有理数:

1.自然数与分数

定义：像0,1,2,3,4等这样的数被称为自然数，它包括正整数和0.

定义：分数可以看成两个整数相除，分数都可以化成小数。

2.正数和负数

定义：我们把一种意义的量规定为正，用过去学的数（零除外）表示，这样的数叫

做正数。

定义：我们把另一种与之意义相反的量规定为负，用过去的数（零除外）前面放上

负号“一”来表示，这样的数，叫做负数。

3.正数和负数0既不是正数，也不是负数。

4.有理数

定义：正整数，零和负整数统称为整数。

定义：正分数、零和负分数统称为分数。

定义：整数和分数统称为有理数。

举例：从负有理数的集合中去掉所以负分数，得到负整数的集合。

5.数轴

定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，0为原点。

一切有理数都可以在数轴上的点表示

举例：1.数轴上原点左边的每个点表示一个负数。

2.从数轴上看，0大于一切负数，0小于一切正数。

3.数轴上离开原点2个单位长度的数是2或2

6.相反数

定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另外一个数的相反数，0的

相反数是0.

要点：再数轴上，表示互为相反数(零除外)的两个点，位于原点的两侧，并且到原点

的距离相等。

举例：1.7的相反数是-7；

2.如果一个数的相反数是最小的正整数，则这个数是-1.

3.若一(a-4)是负数，贝Ua-4>0;

4.若a,b互为相反数，则2015(a+b)=0.

7.绝对值

定义：我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

比如：数a的绝对值为lai.

求法：1.一个正数的绝对值是它本身；

2.一个负数的绝对值是它的相反数；

3.0的绝对值是0.

举例：1.在有理数中，绝对值最小的数是0;

2.绝对值等于它本身的有无数个；

3.若lal>a,则a<0;

4.若l-xl=l-7l,那么x=7或-7.

8.非负数

定义：正数和0统称为非负数。比如lalNO,所以⑶一定是非负数。

要点：1.最小的非负数是0,没有最大的非负数；

2,非负数大于一切负数；

3.若干个非负数的和，积，商仍是非负数；

4.若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必须为0.

举例：如果lal+lb-2l=0,那么a=0,b=2.

9.有理数的大小比较

方法：借助有理数的数轴表示和绝对值

原则工：再数轴上表示的两个数，右面的数总比左边的数大，正数都大于0,负数都小

于0,正数大于一切负数；

原则2:两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

举例：-9<-7

有理数及其运算:

法则：

1.同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

10加法12.异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去

较小的绝对值。互为相反数的两数相加等于0；

3.任何数与0相加仍得这个数。步骤：先确定和的符号，再求和的值。

举例：1,若m>0,n<0八且则m+n>0;若m>0,n<0,且Imklnl,则

m+n<0.

11加法2

2.有理数中，所有的整数和为0；

3ab两数相加，如果和小于任一加数，贝lJa<0,b<0.

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相

加法运算力口，和不便；

12

律结合技巧：互为相反数的两个数可以结合在一起；可以凑整的书可以

结合在一起；同分母的可以结合在一起；正数与正数结合，负数与负

数结合.

法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，用字母表示：

a-b=a+(-b);

13减法1符号判定：较大的数减去较小的数，差为正数；

较小的数减去较大的数，差为负数；

若被减数与减数相等，差为0.

举例：若则m>0;

14减法2若b<0,则a,a+b,a-b中最大的数是()。答案：a-b

一般步骤：

1.利用减法法则，将减法运算统一成加法运算。

减法混合

152.省略各加数的括号和它前面的加号，简化算式。

运算

3.运用加法交换律和结合律简化计算。

举例：(—7)一(一5)—(+11)+(-2)=-7+5—11一2

法则：两数相乘，同号得正，异号得负；并把绝对值相乘。任何数与

0相乘都得0.

积的符号确定：1.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数

16乘法

决定。当负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正；

然后再把它们的绝对值相乘；

2.几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相

乘法运算乘，积不变。

17

律举例:ab=ba;(ab)c=a(bc)

分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把一个数分别与这两个数相

乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac

定义：乘积为1的两个有理数互为倒数。0没有倒数

18倒数

举例：倒数是它本身的数是1或-1;若a,b互为倒数，则ab=l.

法则：1,两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以

任何不等于0的数都得0；

19除法

2.除以一个数等于乘以这个数的倒数。

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕，

即a-a……a=a，这里a叫底数，n叫指数。

符号法则：L正数的任何次幕都是正数，负数的奇次寤是负数，负数

20乘方

的偶次嘉是正数，。的任何次累都是0.

2.1和0的平方是它本身，1和-1和0的立方是它本身

11

定义：把一个数记成±axIO的形式(其中a是大于或等于1而小于

科学计数10的数，n为整数)，则称这种方法为科学计数法。

21

法举例：6180000用科学计数法可以表示为：6.18X106；

若51720000用科学计数法表示为ax10,则a=5.172,n=7

法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里

面的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

有理数混

22

合运算

举例：(一276-I)$+(_27)6)x(-X22)答案3

82

定义1:与实际完全符合的数叫做准确数；

定义2：与实际接近的数叫近似数；

近似数与定义3：一般的，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精

23

精确度确到哪一位。

举例：近似数2.50精确到百分位，它的真值x的范围是2.495Wx<

2.505

定义：一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字为止

的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

24有效数字举例：数5972300保留1个有效数字为：6X106;

20,045700有8个有效数字。

定义：用基本的运算符号把数，表示数的字母连接而成的式子，叫做

代数式。

25代数式举例：下面是代数式的是：

1h

q2

X^O,—/S=nr,2x—3<0,l—3a+-

书写格式：

1.数字与数字相乘，用"X"号；

2.数字与字母或字母与字母相乘，用“•“，或省略不写；

26书写格式

3.数字写在字母前面，且多个字母按字母表顺序排列书写；

4.带分数与字母相乘，应把带分数写成假分数；

5.除的关系，一般用分数形式表示；

举例:1.正确写出小的格式：立

书写格式

27

22.一辆汽车行驶了s千米，用了t小时,则平均速度为6)km/h

定义：把问题与数量有关的词语，用含有数，字母和运算符号的式子

表示出来，叫做列代数式。

28列代数式

a

举例：某商品现价a元，比原来低了30%,则原价为：------

1-30%

定义：一般的，用树枝代替代数式的字母，按照代数式的指明的运算，

代数式的计算出的结果，叫做代数式的值。

29

值步骤：(1)代入；(2)计算

定义：字母前的数字因数叫做系数。

在一个代数式中，用“+-”符号连接的每一个乘积形式的式子称为

项。

30系数与项

举例：-2x2yz4的系数是一2；x2—2x+l含有3项

定义：所含字母相同，并旦相同字母的次数也相同的项，叫做同类项。

常数项都是同类项。

31同类项举例：若-2xm+iy3和3x4yi-n是同类项，则m=()n=()

答案：3,-2

定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类

32法则：同类项的系数相加1,所得的结果作为系数，字母和字母的指数

项

不变。

法则1：括号前是+,把括号和前面的+去掉，括号里各项都不变符号；

去括号法

33

则2.括号前是-，把括号和前面的-去掉，括号里各项都改变符号；

举例：(x2-X+5)-(4X2+2X-2)=

法则1:添括号后，在括号前面是+号，括到括号里的各项都不变符号；

法则2：添括号后，再括号前面是-号，括到括号里的各项都改变符号；

222

添括号法举例：x-2x+b=+(x-2x+b)=—(-x+2x-b)

34

则

方程类

1.等式

用符号=来表示相等关系的式子，叫做等式。

基本性质：

a.等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式。

b.等式两边都乘以（或除以）同一个数，（除数不能是0）,所得的结果仍是等式。

举例：a,b,c分别表示三个数

若a=b,则a±c=b±c;（加减）

若2=＞则ac=bc;（乘法）

ab

若a=b,则一=一（除法）

CC

2.方程

定义：含有未知数的等式，叫做方程。

3.方程的解

定义：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，求方程解的过程叫做解方程。

解的分类：

解可以是一个数，也可以是几个数，或无穷多个数，或无解。

4.一元一次方程

定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，未知数的系数不等于0的方程，叫

一元一次方程。

方程形式：ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，并且aK0）是元一次方程的标准

形式。Ax=b（a^O）是一元一次方程的最简形式。

5.移项

定义：把方程的某一项，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。

6.解一元一次方程

步骤：解一元•次方程分化简，移项合并，系数化为1三大步骤来实现。

要点：1.化简包含去分母和去括号两个步骤，解方程先化简方程；

2.一般将含有未知数的项移到等号左边，不含有未知数的项移到右边，合并就是

将几项加减变成一项。

b

3.将方程的最简形式ax=b变成X=-,称作系数化为1.

a

7.含参数的一元一次方程的解法

分类讨论：

1.不含待定系数的方程3x=b,直接解方程，得x=3

2.含待定系数的方程ax=b，讨论a,b的取值

（1）当a=O,b=O时，方程的解为任意数（或无数解）；

（2）当a=O,bHO时，方程无解；

（3）当"。时，方程的解为x=*

8.绝对值方程

定义：绝对值号内含有未知数，这样的方程称为绝对值方程。

举例：lxl-l=0,l3-xl=7

9.二元一次方程

定义：含有两个未知数，并且未知数的次数都是1,叫做二元一次方程。

使二元一次方程等号两边值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。

要点：1.两个二元一次方程可以组成一个二元一次方程组。

10.三元一次方程组

定义：含有三个未知数，并且未知数的次数都是1的三个方程组合在一起，就是三元一

次方程组。

延展：含有n个未知数，并且未知数的次数都是1的n个方程组和在一起，就是门元一-

次方程组。

11.不定方程

定义：所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程或方程组

举例：3x+4y=4,是二元一次不定方程。

12.解不定方程

定义：求特定不定方程所有的解，就叫做解不定方程。

举例：3x+y=15（x>0,y>0,且x,y都是整数），这个不定方程要求解必须是正整数，它有有限

组解。

要点：不定方程的解为无穷多组，当不定方程的解受到约束时，解可能为有限组，并可

以求解。

13.解方程的主要方法：

A:代入消元法

B:加减消元法：变形二元方程组的一个或两个方程，使得其中一个未知数的系数相反或

相等，再将两个方程相加或相减，实现消元，从而求得这个方程组的解的方法，叫做加

减消元法。

14.不等式

定义：用不等号H,>,<,2,W来表示不等关系的式子，叫做不等式。

含义：不等式x>0,即x大于零，表示x是正数；

不等式x<0,即x小于零，表示x是负数；

不等式X20,即x大于等于零，表示x是非负数；

不等式XW0,即小于等于零，表示x是非正数；

不等式xH0,表示x不等于0.

15.不等式的基本性质

性质：

1.不等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号方向不变；

2.不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；

3.不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

15.不等式性质应用

一般不等式的推导

1.若2a-b<a+c,等式两边同时减去a-b,得a<b+c;

ab

2.若一<-,c>0”等式两边同时乘以c,得a<b;

CC

3.若ac>bc,c<0,等式两边同时除以c,得a<b;

含有2和W的推导

1.若a>b,c>0,则acNbc,因为c>0时有ac>bc,c=0时有ac=bc;

2.若a>,c<0,则acWbc,因为a>b时有ac<bc,a=b时有ac=bc.

16.不等式的分类

分类：

1.条件不等式：不等式中字母取特定值时，不等式才成立；

2.绝对不等式：不等式中字母取任意值时，不等式都成立；

3.矛盾不等式：不等式中祖密取任意值时，不等式都不成立。

举例：x+4<6是条件不等式；

x2+l>x2-l是绝对不等式；

a2+l<0是矛盾不等式。

17.不等式的传递性

定义：不等式反应数的大小关系，是由数的大小关系的传递性可得不等式的传递性。

描述：

1.若a>b,b>c,则a>c;

2.若a<b,b<c,贝Ua<c;

特殊

1.若a>b,b>c,则a>c;

2.若2b,b2c,则aNc,当a=b,b=c时，a=c.

18.不等式的解和解集

定义1：使得不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

定义2：不等式的所有解的全体组成的集合，叫做不等式的解集。

举例：对于不等式x+3>2,

当x=2时，不等式成立，所有x=2是不等式的解；

当x>-l时，，不等式成立，当xW-l时，不等式不成立

所以不等式的解集是x>-l.不等式的解集分有解和无解。

19.一元一次不等式

定义：只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

形式：ax+b>0或ax+b<0（其中ar0）

20.一元一次不等式组

定义1.几个不等式组合起来，构成的就是不等式组。

2.把几个未知数相同的一元一次不等式组合起来，构成的就是一元一次不等式组。

21.不等式的解集

定义：不等式组几个不等式解集的公共部分，叫做该不等式组的解集。

求解集：

1.同是大于，则大于大数；

2.同是小于，则小于小数；

3.一大一小，取中间，矛盾则无解。

22.一元一次不等式的解法

步骤：解一元一次不等式分化简，移项与合并，系数化为1三个步骤来实现。

要点：

1.化简包含去分母和取括号两个步骤，解不等式先化简不等式；

2.一般将含有未知数的项移到不等式左边，不含未知数的项移到右边，合并就是

将几项加减变成一项；

3.将不等式的未知数的系数变为1.

方程类

23.绝对值不等式

定义：绝对值号内含有未知数，这样的不等式叫绝对值不等式。

24.一元二次方程

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式：ax2+bx+c=0(aW0),其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项。

举例：x2一工4不是一元二次方程，因为工是分式，所以不是一元二次方程。

XX

25.一元二次方程的分类

定义：1.包含二次项，一次项和常数项的一元二次方程我们称为完全的一元二次方程。

2.缺少一次项或常数项的一元二次方程，称为不完全的•元二次方程。

26.直接开平方法解一元二次方程

对形如x2=a(a>0)的一元二次方程，可以用直接开平方法求解

延展：等式两边是完全平方形式的一元二次方程，可用开平方法求解。

举例：(1仅2=5,直接开平方得，x=±V5;

(2)(x-1)2=9,直接开平方得，x-l=±3;

(3)X2=(3-x)2,直接开平方得,x=±(3-x)

27.配方法解一元二次方程

定义：通过配方，将方程一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，然后用直接开

平方法求解的方法叫配方法。

延展：等式两边配方成完全平方形式，也是配方法。

28.配方法步骤

配方法解方程:2X2-8X-1=0

第一步：二项式系数化为1,得到X2-4XQ=0

第二步：常数项与二次项、一次项分居等式两侧，得到x2-4xg;

第三步：添常数项配方，方程两边添加常数项4,等式左边配方得(X-2)2=$4;

第四步：直接开平方求解，得x-2=±¥，两根分别为：

Xl=2+-^-;x2=2-

28.一元一次方程的求根公式

定义：一元二次方程ax2+bx+c=O(aRO)的根与各项系数a,b,c的关系式为：

--b+Vb2-4ac

x=-=------------

2a

(其中b2-4acZ0),这个式子就是一元二次方程的求根公式

其中△=b2-4ac称作一元二次方程的判别式

判别式的作用：

当b2-4ac>0时，由求根公式可知，方程有两个实根；

当b2-4ac=0时，由求根公式可知，方程有两个相等的实根；

当b2-4ac<0时，由求根公式可知，方程没有实根。

29.用求根公式法解一元二次方程

定义：用求根公式法解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

步骤：

(1)将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a^0);

(2)确定a,b,c的值，判断判别式b2-4ac的符号；

(3)若判别式b2-4ac",则将a,b,c的值代人求根公式

--b+Vb2-4ac

x=-------------，若判别式b2-4ac<0,则方程无解。

2a

30因式分解法解一元二次方程

定义：将含有未知数的整式因式分解成两个一次式的乘积等于。的形式，再使这两个一

次式分别等于0,这样解一元二次方程的方法，叫因式分解法。

要点：将方程ax2+bx+c=0的左边因式分解，化为a(x-H(xf)=0的形式，此时有x-a=o

或x・0=O,所以方程的根为xl=a;x2=p.

整式

定义：对数字和若干字母进行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单

项式。

单项式定

1举例：下列式中是单项式的是：

义

①I；②0；③-5M+n;④射;⑤x;需答案：②④⑤

定义:一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

次数与系定义单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

22：

数

定义：几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的

项；次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，不含字母的项叫

做常数项。

3多项式举例：多项式芋是1次2项式；

多项式2ax4-x2y-z+3是5次4项式。

定义：单项式和多项式统称为整式。

4整式

定义：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项。

常数项都是同类项。

5同类项

举例：若-2xm+iy3和3x，yi-n是同类项，则m=n=

定义：把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，

升幕降幕叫做把这个多项式按这个字母升幕排列；

6

排列定义：把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，

叫做把这个多项式按这个字母降塞排列；

定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

7

项变。

法则1：括号前是+，把括号和它前面的+号去掉，括号里各项都不变符

去括号法号；

8

则2：括号前是-，把括号和它前面的一号去掉，括号里各项都改变

符号。

法则1:添括号后，括号前面是+,括到括号里各项都不变号；

2：添括号后，括号前面是-，括到括号里的各项都改变

9添括号法则

符号。

举例：x2-2x+b=+(x2-2x+b)=-(-x2+2x-b)

原则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再

10整式加减用加减号连接，然后去括号，合并同类项。

举例：单项式-4ab,5ab,a2的和是a2+ab;

法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加，用字母表示就是

am•an=am+n(m,n都是正整数)

11同底数密的乘法

举例：x2•x3-x=()答案：x6

(X-y)2•(x-y)•(x-y)=(x-y)4.

法则：累的乘法，底数不变，指数相乘，用字母表示就是：

12事的乘方(am)n=amn(m,n都是正整数)

举例：(a2)m=a2m;

法则：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的

幕相乘，用字母表示：

13积的乘方(ab)n=an・bn(n为正整数)

3

举例：(a2b)=a6b3;

定义：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于

只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个

14单项式乘法因式。

举例：6ax2y,(-iab3x3)=6x(-1)♦a1+1b3x2+3•y=-^a2b3x5y

定义：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一