重庆市北碚区西南大学附中九年级上册期中数学试卷 含解析

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九年级（上）期中数学试卷

选择题（共12小题）

1.下列各数中，比-3小的数是（）

A.-nB.-2C.-1D.0

2.下列商标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

&4©©

3.下列运算正确的是（）

A.2a+3Z?=5aZ?B.(-3xy)2=9xy

C.(X-1)2=X-1D.6a%+(-2a6)=-3a

4.估计2«x（V12-1）的运算结果应在（)

A.7到8之间B.8到9之间C.9到10之间D.10到11之间

5.下列说法正确的是（）

A.若a=b,则包上＞B.若aVbVO,则工〉工

CCab

C.若¥=x,贝!|x=lD,若其上，则|3L2y

3a2a

6.已知实数a,6在数轴上对应点的位置如图所示，化简jQ+b）2一以-引的结果为（）

■S1-------I----------------

-2-1012

A.2bB.-2bC.2aD.一2a

7.我国古代第一部数学专著《九章算术》中有这样一道题：“今有上禾七秉，损实一斗,

益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下

禾实一秉各几何？大意为：今有7捆上等禾结出的粮食，减去1斗上等禾再加上2

捆下等禾结出的粮食，共10斗；8捆下等禾结出的粮食，加上1斗下等禾再加上2捆上

等禾结出的粮食，共10斗，问上等禾和下等禾每捆各能结出多少斗粮食（斗为体积单

位）？若假设上等禾每捆能结出x斗粮食，下等禾每捆能结出y斗粮食，则可建立方程

组为（）

A((7x-l)+2y=10

'l(8x+l)+2y=10

B((7x+l)+2y=10

'12x+(8y-l)=10

c((7x-l)+2y=10

'l2x+(8y+l)=10

D((7x+l)+2y=10

'[(8x-l)+2y=10

8.如图所示的运算程序，输入x=-2,则第2019次输出的结果为()

输入―W输出结果

A.AB.C.2D.-2

22

9.如图，在平面直角坐标系x勿中，△045的边防在x轴上，过点/的反比例函数产;上

X

的图象交48于点C,且4C：CB=2；1,以返，则在的值为()

匚3

A.3B.J3C.2D.2J3

2

10.某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶

点尸的仰角为45。，此时他头项正上方146米的点8处有架航拍无人机测得来福士最高

楼顶点户的仰角为31°,游船朝码头方向行驶120米到达码头C,沿坡度】•=1：2的斜

坡切走到点。，再向前走160米到达来福士楼底瓦则来福士最高楼所的高度约为()

(结果精确到0.1,参考数据：sin31°-0.52,cos31°—0.87,tan31°-0.60)

A.301.3米B.322.5米C.350.2米D.418.5米

，2-3x>5

11.已知关于x的不等式组x+a+i〉l+a至多有3个整数解，且关于x的分式方程

,32

/——L=-2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（）

X-11-X

A.-15B.-12C.-9D.-7

12.如图，在Rt△被7中，/水方=90°,犯=返+、历，点〃为边班上一点，连接将

△40沿直线切翻折至△戊力，龙恰好过血的中点尸.连接4E交切的延长线于点后

A.V6B.V3C.&D,1

二.填空题（共6小题）

___-2

13.计算：-产"-J§tan60。+我?（4）=.

14.关于x的一元二次方程（©-3）f+广，-9=0有一根为0,则必的值为.

15.不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数-4,-2,3,

5.从盒子中随机抽取一个小球，数记为&再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为

b,则使得点（a,升b）在第一象限的概率为.

16.如图，扇形〃45以。为圆心，2日为半径，圆心角/“淅60°,点C为必的中点，

连接4c.以C为圆心，龙为半径画弧，交〃1于点。，则图中阴影部分的面积为（结

果保留花）.

oB

17.10月期间，我市庆祝新中国成立70周年“祖国万岁”的主题灯光秀展示了两江四岸流

光溢彩的壮美之景.周末，小明和小华相约一起乘轻轨去看灯光秀.已知小明家、轻轨

站和小华家顺次分布在同一条笔直的公路上.小明、小华打算以各自的速度步行到轻轨

站，小明出发3分钟后，小华从家里出发，走了两分钟，小华想起没带相机，立即掉头

以原速的乌返回家中取相机，并在家中取停留5分钟，发现时间来不及便立即打车前住

3

轻轨站，最终比小明早到2分钟.如图是两人之间的距离与小华出发时间之间的关系，

则小明家离轻轨站的距离比小华家离轻轨站的距离少米.

18.国庆期间，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》这三部电影在全国各大影院热映,

某影院有4B、C三类观影厅，可容纳的观影人数分别为100人，60人，80人.三部电

影在各播放厅的票价如下：

4类厅5类厅C类厅

《我和我的祖国》30元36元无

《中国机长》40元45元50元

《攀登者》40元45元无

10月6日那天，在Z类厅，《我和我的祖国》的播放场次是《攀登者》的播放场次的1.5

倍，《中国机长》的播放场次比《我和我的祖国》的播放场次多3场；在8类厅，《攀登

者》的播放场次是《我和我的祖国》的播放场次的一半，《中国机长》的播放场次比《我

和我的祖园》的播放场次的&多1场；《中国机长》在。类厅的播放场次比在/类厅的播

4

放场次的上多1场：《攀登者》在8类厅的播放场次是在4类厅播放场次的S倍；8类厅

34

当天的总播放场次不超过50场.已知《我和我的祖国》和《中国机长》在各类厅的平均

售票率为80%,在各种票都以原价售出的前提下，当《攀登者》的售票率至少为时,

才能保证该影院当天这三部电影的销售额不低于200520元.

三.解答题(共8小题)

19.计算：

(1)(j?+2y)2-{x-y)(x-4y)

9

(2)(_^_-鼾2)二x-6x+9

x+2X2+2X

20.在Rt△被7中，AABC=^°,BD为NABC的角平分线,尸为/C的中点，AEHBC交BD

的延长线于点区其中NFBC=2NFBD.

(1)求/初C的度数.

(2)求证：BF=AE.

21.重庆，别称“山城”、“雾都”，旅游资源丰富，自然人文旅游景点独具特点.近年来，

重庆以其独特“3。魔幻”般的城市魅力吸引了众多海内外游客，成为名副其实的旅游打

卡网红城市.某中学想了解该校九年级1200名学生对重庆自然人文旅游景点的了解情

况，从九(1)、九(2)班分别抽取了30名同学进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，

并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.测试成绩分成5组，其中力组：50VA<60,8组：60VA<70,。组：70VA<80,D

组：80VA<90,£组：90W100.测试成绩统计图如下：

b.九（2）班〃组的测试成绩分别是：81、82、82、83、84、85、86、87、88、89、89、

90、90、90.

c.九（1）（2）班测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

课程平均数中位数众数

九⑴84.28489

九(2)84.6n90

根据以上信息，回答下列问题：

（1）根据题意，直接写出见〃的值：m=_______,n=_______；九（2）班测试成绩扇

形统计图中4组的圆心角a=_______°；

（2）在此次测试中，你认为______班的学生对重庆自然人文景点更了解（填“九（1）”

或“九（2）”），请说明理由（一条理由即可）：______;

（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，测试成绩大于90分为优秀，请估计该校九

年级对重庆自然人文景点的了解达到优秀的人数.

22.定义：点4与。0上所有点的连线段中，长度的最小值称为点/到。0的最小距离，记

为®;点/与。。上所有点的连线段中，长度的最大值称为点/到。。的最大距离，记为

MA

如图，。。的半径为r,点/在。。外，且以=d,则®=d-r.证明如下：

证明：如图1,设5为圆上任意一点，连结如、OB、AB

①当0、48不共线时，AB>OA-0B

即AB>d-r

②当0、46共线时，AB=0A-0B

即AB=d-r

综上，AB^-d-r,即⑸=d-r

(1)利用刚才的证明，结合所给的图2,。。的半径为r,点4在。。外，且宓=d,探

究你的结论是朋=,请证明你的结论；

(2)已知的半径为2,@=4,则的=;

(3)在平面直角坐标系中，以原点。为圆心，6为半径作。0,第二象限的点4的坐标

为(-3,a),且典(=1,求a的值.

23.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式利用函数图象研究其性质

-运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们可以通过描点或平移或翻折

等方法画出函数图象、下面我们对函数片展开探索，请补充以下探索过程：

x-1

(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个

函数的一条性质：.

(3)若方程|-1_-1|=©有且只有一个解，直接写出"的值：.

X-1

24.9月、10月是房地产行业的传统销售旺季，素来有“金九银十”之称，重庆某开发商

两江新区项目部为了赶上销售旺季，在今年9月推出小高层和洋房两种房型共100套，

其中洋房每价格是小高层每套价格的2倍.

(D该项目部9月份推出的两种房型全部售完，其中小高层销售额为7200万元，洋房

销售额为9600万元，则小高层每套价格为多少万元？

(2)国家明确表态：“坚持房子是用来住的，不是用来炒的，落实房地产长效管理机制，

不将房地产作为短期刺激经济的手段随后出台“银行资金不得流向房市”等相关政

策.受政策及经济大环境影响，市民购房欲望下降，房市遇冷，在(1)间的基础上，10

月份小高层每套降价或，洋房每套降价2弱：为完成10月份销售任务，该项目部决定小

高层的套数增加且w%,洋房的套数增加旦%;到月底，小高层卖出95%,洋房卖出80%；

32

为回笼资金，该项目部在该月最后一天推出6套“辑惠”商铺，每套380万元，且成功

将6套商铺全部售出，最终实现10月份总销售额在9月份总销售额基础上增加

7

求a的值.

25.如图，在平行四边形被力中，点小£在交边上，点G,尸在应边上，连接AG,

AE,HF,4G垂直平分CF,即分别交幽4G于点〃，N,/板=45。,ZLFHC=AGAE.

(1)若仍tan/用G=L,求加

4

(2)者乙FH(A22FAG,求证：42AE=MN^BE.

26.已知二次函数-f+耳+4图象与x轴交于8两点(点/在点3的左侧)，与y轴

3

交于点C.

(1)如图1,点P是直线比上方的抛物线上一动点，过点尸作加_Lx轴交优于点瓦

交x轴于点〃.点〃为线段比1上一动点，过点〃作仞V〃x轴交抛物线的对称轴于点M

当四边形败P面积最大时，求册仞许&"的最小值.

5

(2)在(1)的条件下，将△4W在直线区上平移，点M的对应点为点“，是否存在点

“使得△加时成为等腰三角形？若存在，请直接写出点”的坐标；若不存在，说明理由.

参考答案与试题解析

选择题（共12小题）

1.下列各数中，比-3小的数是（）

A.-nB.-2C.-1D.0

【分析】根据0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答.

【解答】解：V-Jt<-3<-2<-l<0,

...比-3小的数是-北，

故选：A.

2.下列商标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

GB®©0

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：4、不是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

艮是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形.故本选项符合题意；

不是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意.

故选：C.

3.下列运算正确的是（）

A.2a+3b=5助B.（-3xy）2=9xy

C.（x-1）2=x-1D.6a%+（-2ab}=-3a

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别计算

得出答案.

【解答】解：A,2处3瓦无法计算，故此选项错误；

B、（-2—9xy,故此选项错误；

C、（.x-1）2=x-2x+l,故此选项错误；

D、6ab-r-（-2aZ>）=-3a,正确.

故选：D.

4.估计2«X（VI2-1）的运算结果应在（）

A.7到8之间B.8到9之间C.9到10之间D.10到11之间

【分析】根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可.

【解答】解：2百X(VI2-D

=2我义(273-1)

=12-273.

V9<12<16,

•••3〈任<4,

.,.3<2VS<4,

.\8<12-2V3<9.

故选：B.

5.下列说法正确的是()

A.若a=6,则曳=且B.若aVAVO,则工》工

ccab

C.若x=x,则x=lD.若士则3A"=2y

3a2a

【分析】依据等式的性质以及不等式的性质，即可得出结论.

【解答】解：A.若a=6,cWO,则包=旦，故本选项错误；

CC

B.若aV6<0,则工〉工，故本选项正确；

ab

C.若『=%则x=l或0,故本选项错误；

D.若工则2x=3y,故本选项错误；

3a2a

故选：B.

6.已知实数a"在数轴上对应点的位置如图所示，化简J(a+b)2-|a-引的结果为()

-2-1012

A.2bB.-2bC.2aD.-2a

【分析】直接利用数轴得出a+6V0,a-b<0,进而化简得出答案.

【解答】解：如图所示：K6<0,a-b<0,

故J(a+b)27a-引

=-(a+6)+(a-Z?)

=_a_b^a-b

=-2b.

故选：B.

7.我国古代第一部数学专著《九章算术》中有这样一道题：“今有上禾七秉，损实一斗，

益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下

禾实一秉各几何？大意为：今有7捆上等禾结出的粮食，减去1斗上等禾再加上2

捆下等禾结出的粮食，共10斗；8捆下等禾结出的粮食，加上1斗下等禾再加上2捆上

等禾结出的粮食，共10斗，问上等禾和下等禾每捆各能结出多少斗粮食(斗为体积单

位)？若假设上等禾每捆能结出x斗粮食，下等禾每捆能结出y斗粮食，则可建立方程

组为()

A((7x-l)+2y=10

'1(8x+l)+2y=10

Bf(7x+l)+2y=10

'l2x+(8y-l)=10

cf(7x-l)+2y=10

'12x+(8y+l)=10

Df(7x+l)+2y=10

'[(8x-l)+2y=10

【分析】设上等禾每捆能结出x斗粮食，下等禾每捆能结出y斗粮食，根据“今有7捆

上等禾结出的粮食，减去1斗上等禾再加上2捆下等禾结出的粮食，共10斗；8捆下等

禾结出的粮食，加上1斗下等禾再加上2捆上等禾结出的粮食，共10斗”，即可得出关

于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：设上等禾每捆能结出*斗粮食，下等禾每捆能结出y斗粮食，

依题意，得：("xT)+2y=10.

l2x+(8y+l)=10

故选：C.

8.如图所示的运算程序，输入x=-2,则第2019次输出的结果为()

【分析】先计算出前5次的输出结果，得出循环周期，再进一步计算可得.

【解答】解：当x=-2时，第1次输出结果为|-2|=2；

当x=2时，第2次输出结果为一工；

2

当*=-工时，第3次输出结果为工；

22

当*=工时，第4次输出结果为-4=-2；

21

2

当x=-2时，第5次输出结果为|-2|=2；

二输出结果按照2、-X工、-2为周期依次循环，

22

V20194-4=504-3,

...第2019次输出的结果为工，

2

故选：A.

9.如图，在平面直角坐标系x0中，△Q45的边必在x轴上，过点2的反比例函数尸区

x

:返，则A的值为()

的图象交明于点G且4C：CB=2：1,5

3

K

A..|.B.V3C.2D.273

【分析】设C(a,b),根据题意则A■a,3Z>),然后根据S&o自'S那.uedSAoui-SACOH

3

=工旦，即可求得A=ab=«.

=S横步XMW?,得到」■(3加8)(a--i-a)-

233

【解答】解：设C(a,b),

作轴于M或Lx轴于“

：.ON=a,CN=b,

'：CN//AM,

.BC=CN

,•ABAH,

7AC:CB=2：1,

・BCxAB—1：3,

:・AM=3CN=3b,

•.•点4的反比例函数尸K的图象交也于点c,

X

，OM*AM=SCN=k,

：.0M=%N=La,

33

***S7)Ad=S梯形AMN(^S^OAM~见例=S梯形AMNCJ

'-S(3加6)(a--ka)=生匕,

233

:.k=ab=M，

10.某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶

点尸的仰角为45。，此时他头项正上方146米的点8处有架航拍无人机测得来福士最高

楼顶点尸的仰角为31°,游船朝码头方向行驶120米到达码头C,沿坡度？=1：2的斜

坡切走到点。，再向前走160米到达来福土楼底£,则来福士最高楼质的高度约为（）

（结果精确到0.1,参考数据：sin31°—0.52,cos31°—0.87,tan31°七0.60）

A.301.3米B.322.5米C.350.2米D.418.5米

【分析】根据已知角的三角函数构造直角三角形即可求解.

【解答】解：如图所示：

延长4C和电'交于点G,过兼B作BKLFE于点、M,作物比ZG于点孔

得矩形4固布、DHEG,

设DH=x,则3=2x,

傲=4G=160+120+2x=280+2工

EG=DH=x,

VZFAG=45°,N加=90°,AZAFG=45°,

:・FG=AG,

EF=FG-EG=AG-£G=280+2x-x=280+x,

：.FM=FG-祐=280+2x-146=134+2%

在RtZVW中，tan31°=里，

BM

即134+2x=o.6,

280+2x

解得x=42.5,则用三280+x=322.5.

故选：B.

'2-3x>5

11.已知关于x的不等式组x+aT)l+a至多有3个整数解，且关于x的分式方程

,32

3——L=-2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为()

X-11-X

A.-15B.-12C.-9D.-7

【分析】表示出不等式组的解集，进而求出a的范围，确定出整数a的值，分式方程去

分母转化为整式方程，把a的值代入检验即可.

x4-l

【解答】解：不等式组整理得：、a-3,即且二3VA<-1,

x〉专2

由不等式组至多有3个整数解，得到-442二3V-3,

2

解得：-5W&V-3,且a为整数，即a=-5,-4,

分式方程去分母得：3+a=-2户2,即

2

当a=-5时，JT=2；当a=-4时，x=—,

2

则符合条件的所有整数a的和为-9,

故选：C.

12.如图，在Rt△被7中，乙4必=90°,比三倔五，点〃为边姐上一点，连接切.将

△出力沿直线如翻折至△员笫，"恰好过血的中点?连接至交位的延长线于点“

若NZ折15。，则加的长为（）

A.V6B.如C.V2D.1

【分析】根据翻折的性质可，得应三血，AC=AE,推出或是4月的垂直平分线，进而可

得△腌是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解.

【解答】解：由翻折可知：

DADA,AC=AE,

二切是四的垂直平分线，

:.CHLAE,

•：4ECD=2ACD=\5°,

：.^ACF=^°,N4方=90°,

.,.Z5=60°

•.•尸是四中点，

：.FC=FB=FA,

.•.△麻是等边三角形，

:.NBFC=6Q°,

.♦./必仁30°,

AZFDC=ZDCA+ZDAC=45°,

:.NHDA=45°,

'：DA=DE,DHVAE,

:.NEDH=NADH=45",

：.DH^HE,设D4x,

：.ED=\[^,

幽=60。：.EF=^H-x,

3

FC=BC^A/5+V2»

CE=ERFC=2娓/氓啦,

3

♦:Bg五瓜/由830°,

:"C=M（V6+V2）,

'：AC=CE,

.•.&1户倔&=«（后正），

3

解得x=

...加的长为我.

故选：B.

二.填空题（共6小题）

___-2—

13.计算：-产琦-加tan60°+扬+（2）

【分析】原式利用乘方的意义，负整数指数得法则，特殊角的三角函数值计算即可求出

值.

【解答】解：原式=-l-«X后3后4=3«,

故答案为：3a

14.关于x的一元二次方程（必-3）/+广/-9=0有一根为0,则〃的值为-3.

【分析】把x=0代入方程（卬-3）9+广清-9=0得渭-9=0,解得ai=3,nk=-3,

然后根据一元二次方程的定义确定0的值.

【解答】解：把x=0代入方程Cm-3）『+广02-9=0得-9=0,解得见=3,您=-

3,

而m-3W0,

所以〃的值为-3.

故答案为-3.

15.不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数-4,-2,3,

5.从盒子中随机抽取一个小球，数记为a,再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为

b,则使得点介b）在第一象限的概率为_至」.

一显一

【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据第一象限点内的坐标特征找出

使得点（a,砒b）在第一象限的结果数，然后根据概率公式计算.

【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中使得点（a,Ab）在第一象限的结果数为5,

所以使得点（a,a+b）在第一象限的概率=§.

12

故答案为_§_.

12

16.如图，扇形。出以。为圆心，2料为半径，圆心角N4施=60°,点C为阳的中点，

连接4c.以。为圆心，龙为半径画弧，交/C于点。，则图中阴影部分的面积为

-3返（结果保留JI）.

一2一

OcB

【分析】连接相，根据等边三角形的性质得到△力必为等边三角形，得到纺=况三百,

ACA.OB,根据勾股定理求出ZC,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可.

【解答】解：连接形，

'：OA=OB,NZ360°,

.•.△Z必为等边三角形,

■:点C为勿的中点,

/.0C=BC=4Z，ACLOB,

22=

由勾股定理得，AC=7OA-OC7（2V3）2-（V3）2=3,

图中阴影部分的面积=60”工屹愿产-1X^X3-二nX（近产=5

36023604

373

2_

故答案为：竺冗返.

42

17.10月期间，我市庆祝新中国成立70周年“祖国万岁”的主题灯光秀展示了两江四岸流

光溢彩的壮美之景.周末，小明和小华相约一起乘轻轨去看灯光秀.已知小明家、轻轨

站和小华家顺次分布在同一条笔直的公路上.小明、小华打算以各自的速度步行到轻轨

站，小明出发3分钟后，小华从家里出发，走了两分钟，小华想起没带相机，立即掉头

以原速的乌返回家中取相机，并在家中取停留5分钟，发现时间来不及便立即打车前住

3

轻轨站，最终比小明早到2分钟.如图是两人之间的距离与小华出发时间之间的关系，

则小明家离轻轨站的距离比小华家离轻轨站的距离少，52米.

【分析】由图象可求小明的速度，即可求小明家离轻轨站的距离，由图象可求小华家离

轻轨站的距离，即可求解.

【解答】解：由图象可得：小华到轻轨站时，小明家轻轨站的距离为240米，

二小明的速度=驶=120米/分,

2

二小明家离轻轨站的距离=120X(12.5+3)=1860米，

设小华速度为x米/分，

•.•小华家离轻轨站的距离=3120-[I860-120X(2+3+5+答)]=2640米,

4

；2640-1860=780米

...小明家离轻轨站的距离比小华家离轻轨站的距离少780米，

故答案为：780.

18.国庆期间，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》这三部电影在全国各大影院热映,

某影院有4B、C三类观影厅，可容纳的观影人数分别为100人，60人，80人.三部电

影在各播放厅的票价如下：

4类厅8类厅C类厅

《我和我的祖国》30元36元无

《中国机长》40元45元50元

《攀登者》40元45元无

10月6日那天，在/类厅，《我和我的祖国》的播放场次是《攀登者》的播放场次的1.5

倍，《中国机长》的播放场次比《我和我的祖国》的播放场次多3场；在6类厅，《攀登

者》的播放场次是《我和我的祖国》的播放场次的一半，《中国机长》的播放场次比《我

和我的祖园》的播放场次的3多1场；《中国机长》在。类厅的播放场次比在/类厅的播

4

放场次的工多1场：《攀登者》在夕类厅的播放场次是在4类厅播放场次的5倍；8类厅

34

当天的总播放场次不超过50场.已知《我和我的祖国》和《中国机长》在各类厅的平均

售票率为80%,在各种票都以原价售出的前提下，当《攀登者》的售票率至少为3时,

才能保证该影院当天这三部电影的销售额不低于200520元.

【分析】设/类厅中《攀登者》的播放场次为x场，由各厅的售票情况和夕类厅当天的

总播放场次不超过50场，可得尸8；因此可知各厅的部分场次，设《攀登者》的售票

率为y,12X30X100X80%+15X40X100X80%+40X8X100j+20X36X80X80%+45X16

X80X80%+45X10X80Xyb6X50X60X80%^200520求出y的范围即可.

【解答】解：设4类厅中《攀登者》的播放场次为x场，

则由已知可得：

4类厅中《我和我的祖国》播放1.5x场，《中国机长》播放（1.5A3）场，

8类厅中《我和我的祖国》播放2.5x场，《中国机长》播放（旦4）场，《攀登者》的

8

播放耳场，

4

。类厅中，《中国机长》播放（0.5K2）场，

•••8类厅当天的总播放场次不超过50场，

.*.2.51+—50,

84

：.x^8,

是8,4,2的倍数，

：•x=8,

・・・Z类厅中《我和我的祖国》播放12场，《中国机长》播放15场，《攀登者》的播放8

场，

8类厅中《我和我的祖国》播放20场，《中国机长》播放16场，《攀登者》的播放10场,

C类厅中，《中国机长》播放6场，

•••《我和我的祖国》和《中国机长》在各类厅的平均售票率为80%,在各种票都以原价

售出，

设《攀登者》的售票率为y,

A12X30X100X80%+15X40X100X80%+40X8X100j+20X36X80X80%+45X16X80X

80%+45X10X80X产6X50X60X80%2200520,

”川.8,

:.《攀登者》的售票率至少为80%.

故答案为80%.

三.解答题（共8小题）

19.计算：

（1）（A+2/）2-（x-y）（x-4y）

2

（2）（工-户2）+x6+9

x+2X2+2X

【分析】（1）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项

即可得；

(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得.

【解答】解：(1)原式=9+4到+4/-(X-4xy-xy+4y)

24y2_x2^xay^xy-4y2

=9必

2

(2)原式

x+2x(x+2)

=-(x+3)(x-3).x(x+2)

x+2(x-3)2

=_x(x+3)

x-3

20.在RtA45C中，ZABC=90°,初为乙次的角平分线，尸为〃■的中点，AE//BC交BD

的延长线于点瓦其中N服=2/包

(1)求/蛇的度数.

【分析】(1)由角平分线的性质可得/板=/庞(片45°,可求/电215°,4FBC=

30°,由直角三角形的性质可得/仁/砒三30°,即可求解;

(2)由直角三角形的性质可得m=3,由平行线的性质和等腰三角形的性质可得四=

AE,可证加—AB.

【解答】解：(1)'：ZABC=9Q°,BD为NABC的角平分线,

：.Z.ABD=Z.DBC=^,

•：4FBC=2/FBD.

:.NFBD=15°,NFBg3y,

VZAff6^90°,点尸是47中点,

：.AF=BF=CF,

.,.NG=N在笫=30°,

:•NEDC=48NDBC=15°；

(2)VZ<7=30o,/破=90°,

：.AC=2AB,

：.AB^AF^BF,

'：AE//BC,

:.NE=NDBC=45°=ZABD,

：.AB=AE,

:.AE=BF.

21.重庆，别称''山城"、“雾都”，旅游资源丰富，自然人文旅游景点独具特点.近年来，

重庆以其独特“3〃魔幻”般的城市魅力吸引了众多海内外游客，成为名副其实的旅游打

卡网红城市.某中学想了解该校九年级1200名学生对重庆自然人文旅游景点的了解情

况，从九（1）、九（2）班分别抽取了30名同学进行测试，获得了他们的成绩（百分制），

并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.测试成绩分成5组，其中4组：50VA<60,夕组：60<尽70,。组：70〈人80,D

b.九（2）班。组的测试成绩分别是：81、82、82、83、84、85、86、87、88、89、89、

90、90、90.

c.九（1）（2）班测试成绩的平均数、中位数、众数如下:

课程平均数中位数众数

九(1)84.28489

九(2)84.6JI90

根据以上信息，回答下列问题：

（1）根据题意，直接写出“〃的值：m=14,n=3%；九（2）班测试成绩扇形

统计图中4组的圆心角a=11°；

（2）在此次测试中，你认为九（2）班的学生对重庆自然人文景点更了解（填“九

（1）”或“九（2）”），请说明理由（一条理由即可）：九（2）班的平均数和众数都大

于九（1）班的；

（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，测试成绩大于90分为优秀，请估计该校九

年级对重庆自然人文景点的了解达到优秀的人数.

【分析】（1）根据直方图和扇形统计图所给信息即可求解；

（2）根据表格数据即可判断；

（3）根据用样本估计总体的方法即可得结论.

【解答】解：（1）2z?=30-1-3-7-5=14；

•.•〃组所占百分比为：工鱼七47%,

30

：.n=l-（20%+20%+10%+47）=3%;

.•.360°X3%=10.8°^11°；

故答案为：14、3%、11°.

（2）九（2）班的平均数和众数都大于九（1）班的，

.•.九（2）班的学生对重庆自然人文景点更了解.

故答案为：九（2）,九（2）班的平均数和众数都大于九（1）班的.

（3）（-L+JA）X1200=760（人）.

3030

答：该校九年级对重庆自然人文景点的了解达到优秀的人数为760人.

22.定义：点力与。0上所有点的连线段中,长度的最小值称为点力到。0的最小距离，记

为®;点4与。。上所有点的连线段中，长度的最大值称为点4到。。的最大距离，记为

的

如图，00的半径为r,点Z在。。外，且6l4=d,则®=d-_r.证明如下：

0^0

图1图2备用图

证明：如图1,设6为圆上任意一点，连结。1、OB、AB

①当0、A.8不共线时，AB>OA-OB

即AB>d-r

②当0、A,夕共线时，AB^OA-OB

即AB=d-r

综上，AB^-d~r,即见=d-r

(1)利用刚才的证明，结合所给的图2,。。的半径为r,点4在。。外，且以=d,探

究你的结论是第=#r,请证明你的结论；

(2)已知。。的半径为2,®=4,则仞=8；

(3)在平面直角坐标系中，以原点。为圆心，6为半径作。0,第二象限的点4