【迭代法解决非线性方程的几种方法浅析5900字（论文）】

迭代法解决非线性方程的几种方法浅析摘要非线性方程的求解一直是现代科学技术中的一个重要组成部分，具有非常重要的意义，其中迭代法是解决非线性方程的最常用的方法。迭代法是一种逐次递推逼近的过程，具有收敛速度快、可重复性操作强等优点。而由于迭代公式选取的不同，我们最终得到的迭代公式也是不同的，它们的迭代速度不同，计算精度也不同，则每种迭代方法适应的情况也不同。本文选取了基础的五种迭代法进行讨论，在基础知识的铺垫下，通过举例对比，分析每种迭代方法的迭代速度、计算精度及适应情况。最后对全文进行总结。关键词：非线性方程；迭代法；牛顿迭代法；二分法；抛物线法；弦截法；不动点迭代法目录TOC\o"1-3"\h\u3431摘要 I10084一、研究背景及意义 222523二、相关概念 494741、基础知识 4108132、常见的几种迭代法 6316242.1不动点迭代法 6130222.2牛顿迭代法 7247442.3二分法 870632.4弦截法 9138582.5抛物线法 95528三、数值举例 1111735四、总结 143363参考文献 1521330附录 16327611、不动点迭代法程序 16148742、牛顿法程序 17210963、二分法程序 18247314、抛物线法程序 19284445、弦截法程序 20一、研究背景及意义本文讨论的是求解非线性方程，一般非线性方程写为，在科学和工程计算中存在大量这样的方程，其中还含有一类多项式方程，其中，这类方程也称为代数方程。除了代数方程外，还有一类方程称为超越方程，例如等。求解代数方程是一个很重要的问题，早在公元前几世纪就有数学家对此进行研究。16世纪意大利数学家卡丹和他的学生都对三次代数方程求解进行了研究，求出了三次和四次代数方程的求解公式。以此为契机，欧拉、高斯等数学家又全身心投入到研究五次方程的求根公式的工作中去，但是很长时间都没有什么进展。等到19世纪伽罗华又得出了五次以上的代数方程不存在求解公式。同样的，超越方程比较复杂，存在解的情况也相对复杂，所以较为普遍的解决方法是求这类方程的近似根，这个时候就有了迭代法的出现。迭代法是一种逐次递推逼近的过程，是求解方程根的一种重要方法，也非常常用，通过近几年的研究，已经有了很多种迭代公式，这些迭代公式运用时，最重要的是要判断它的收敛性，并了解它的收敛速度，简单迭代法具有线性收敛速度。后来为了提升迭代速度，很多数学家研究了能够使迭代法加速的方法，其中Aitken加速方法最为有名，它可以使收敛速度加快，但它的弊端是对于只有局部收敛的简答迭代法，对初始值的选取要求比较高。而在几种迭代法中，最常用的是牛顿迭代法，牛顿迭代法是牛顿在17世纪中期提出的一种求解非线性方程近似根的方法，该方法使用函数的泰勒级数的前面几项来进行迭代，寻找方程的根。因为较复杂的方程大多没有求根公式，所以就无法求精确根，那么求方程的近似根就非常重要。虽然牛顿法收敛速度快，但是牛顿法迭代时，除了计算本身的函数值之外，还需要计算在该点导数的值，一旦某一步计算错误，就会造成很大的影响，于是针对此问题，提出了不需要计算导数，收敛速度较高的弦截法，该方法则是以弦代替牛顿法中的切线。在此之后又产生了抛物线法，该方法是通过插值多项式进行迭代，能够很大程度的提高方程的收敛速度，以便快速求得结果，收敛阶甚至可以达到1.839。非线性问题的应用非常广泛，涉及的方面包括生产、农业、经济等，20世纪中期就有许多国内外的专家对其进行研究，并得出很多重要结论，近几年更是成为了专家们研究的热点问题。解非线性方程组常用的牛顿法及各种改进牛顿法，除了基础的牛顿法外，还有国内的许多作者如：雍龙泉[1]总结的五阶、九阶牛顿迭代法，并得出“即使高阶的牛顿法，也只有初始点与根很靠近时，高阶收敛性才能很好地体现出来”的结论；陈娟与何斯日古楞[2]构造的抛物线性化二重迭代法，利用二重弦截法的思想，构造一种二重抛物线性化迭代格式，所得到的格式收敛性高于牛顿法；陶昱西与王晓锋[3]构造的基于史蒂芬森的最优四阶收敛的无记忆迭代法等。国外对此的研究也有很多重要的成果，如：Weerakoonh和Fernando[16]借助不同的积分准则改进牛顿迭代法，主要考虑积分，利用矩形逼近准则重新改进，得到改进的三阶收敛迭代公式：，其中；Homeier[17]利用函数的反函数替换，得到，改进积分公式得到三阶收敛的牛顿迭代公式：；Darvishi和Barati[18]利用Adomian分解法得到了一种超三阶收敛的迭代方法：；JishengKou[19]与多位学者基于牛顿迭代法给出了很多优先的六阶迭代法求解非线性方程，大大提高了运算的准确性。相关概念1、基础知识迭代法是一种广泛应用的方法，分为精确迭代和近似迭代，通常需要计算机进行辅助计算，具有计算速度快、可重复性强等特点。与直接求解不同，迭代法不是通过已有的有限步骤运算求得方程组的解，而是从某些初始向量出发，用构造出的公式逐次计算近似解向量，从而得到向量序列。定义1.1：设迭代过程收敛于方程的根，如果迭代误差当时成立下列渐进关系式则称该迭代过程是P阶收敛的。定义1.2：设迭代序列收敛阶为，每步计算量为，则称为迭代序列的效率指数。定义1.3：设函数在点处存在阶导数，则存在的一个邻域，对于该邻域中的任一点，均有下式成立定理1.1（收敛性）：设在区间上具有一阶连续的导数，且满足下面两个条件：（1）当时，；（2）存在正常数，使得对任意，有。那么①方程在上有唯一根②对任意，迭代公式收敛，且③对任意的，有④对任意的，有⑤在实际计算中，对于给定的允许误差，当L较小时，常以前后两次迭代近似值，满足来终止迭代。定义1.4（牛顿插值多项式）：函数在个互不相同的节点，，...，处的函数值分别是，则称为关于节点的一阶商差（也称均差）。为关于节点的二阶差商。为关于节点的n阶差商。2、常见的几种迭代法2.1不动点迭代法定义2.1：设是连续函数，为了了解方程类似线性方程组迭代法的构造，把方程变换成为等价的方程，其中是连续函数。若是的零点，即，则有，称为的一个不动点，由可以构造迭代公式，，称为一种不动点迭代法，称为迭代函数。由迭代公式产生的序列，如果满足，则是的一个不动点，即为方程的一个根。定理2.1：设，且满足，则在上一定存在不动点，若满足条件，又存在常数，使（利普希茨条件），则在的不动点是唯一的。定理2.2：设任意的实迭代函数在闭区间上满足下列条件：（1）；（2）存在利普希茨正常数，使得则对于任意的初始值，都有不动点所产生的序列收敛于的不动点且其误差形式为：。定理2.3：假定是方程的根，且在的某一邻域内，并满足，则不动点迭代，收敛阶数为。定理2.4（局部收敛定理）：设是方程的根，在的某一邻域连续，且，则必存在的一个邻域，对任意选取的初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的根。2.2牛顿迭代法定义2.2：设方程已有一个近似值，如果存在且连续，由泰勒展开式得，其中在和之间，因为，如果，可得，将右侧略去，剩下的两项就做为一个新的近似值，记为，即。定理2.5：假定是方程的单根，且函数次连续可导，则当趋于时，牛顿法收敛，收敛阶数大于等于2.定理2.6：假定是方程的（至少为2的整数）重根，且函数任意阶连续可导，则当趋于时，牛顿法收敛，且仅为线性收敛。定理2.7（局部收敛定理）：设是方程的根，若（1）函数在的邻域内具有连续的二阶导数；（2）在的邻域内，则存在的某个邻域，对于任意初始值，由牛顿迭代法产生的数列收敛于根。使用牛顿迭代法需要选取正确的初始值，从公式可得，用和分别表示和与根的误差，则，左右同时除以得。利用在处的一阶泰勒公式和在处的零阶泰勒公式，其中在和之间，则得到。在处我们可以计算的值，但无法计算和的值，加入在附近变化不大，也就是说，，只要，则有。所以，要使牛顿迭代法收敛，则误差必须减少，也就是必须要求，即要求。2.3二分法定义2.3：设函数在区间上连续，且，根据零点定理得非线性方程在区间上至少有一个实根。取，令是区间的中点，则。如果是给定任意小的正数，且迭代准则为，则是方程的一个近似值。如果，且，则区间上至少有一个实数根，令，；如果，则区间上至少有非线性方程的一个实数根，令，。于是，我们可以将区间继续取中点，即将区间或者等分，得到中点：，即或者。以此类推往复，我们得到了一个序列：，当区间西航渡小于给定的精确度时，则终止此过程。最后，这个区间内的任何一点都是方程的近似值，我们一般取端点或者取中点作为方程的一个近似值。等分区间产生的序列必将收敛于方程的一个根，记为，并得到误差估计公式：。2.4弦截法利用已求函数值，，...来回避导数值的求解，这种方法称为弦截法。假定，是方程的近似根，以，为节点构造的一次插值多项式为。把的解作为的解的新的近似解，于是。引入记号；；则上式可以记为。该方法称为弦截法。实际上，有弦截法求得的就是弦线与轴交点的横坐标。定理2.8：假定是方程的根，且在根的邻域内具有任意阶导数，并要满足下述条件对任意的，有；对任意的，有。，其中表示重根数。那么对于任意的初始值，由弦截法所产生的序列都将按阶收敛到根。其中是方程的正根。2.5抛物线法假定，，是方程的三个近似根，以，，为节点构造的插值多项式，并适当选取的一个零点作为新的近似根，这种方式确定的迭代过程称为抛物线法。推导公式如下：以，，为节点构造的插值多项式：将的两个零点作为的解的新的近似根，于是有，其中。定理2.9：设在根的某个邻域内有三阶连续导数，且在区间内，一阶导数全部不为0，如果选取的初始值无限接近根，则由迭代公式所得到的序列收敛到方程的根，并且收敛阶大约为1.839.三、数值举例例1：求解在[1,2]内的一个根。不动点迭代法牛顿法二分法抛物线法弦截法11.35720901.3478141.3247101.3247192941.3247179521.33086111.325231.32588421.324741.32493931.324751.32476061.32472671.32471981.32471891.324718使用不动点迭代法时，选取，即，得到迭代公式，需迭代9次，最终得出结果1.324718。牛顿法的计算公式为，取，迭代3次后得到结果1.3247。使用二分法时，通过14次对有根区间进行对分后取得结果1.3247。抛物线法是在经历了10次迭代之后得到结果。弦截法则是将牛顿法的迭代公式变换为，经过4次迭代后得到结果。该问题更适合使用牛顿法。例2：求在区间[1,2]上的一个根。不动点迭代法牛顿法二分法抛物线法弦截法12.00000002.4737162.094672.0945496882.0945514822.08008412.156432.09235122.096642.09421732.094652.09450142.0946...2.09454482.094551使用不动点迭代法时，选取，即，得到迭代公式，需迭代8次，最终得出结果2.094551。牛顿法的计算公式为，取，迭代4次后得到结果2.0946。使用二分法时，通过16次对有根区间进行对分后取得结果2.0946。抛物线法则是经过7次迭代后得到结果。弦截法则是将牛顿法的迭代公式变换为，经过8次迭代后得到结果。该问题使用牛顿法迭代次数最少。例3：求方程的根。不动点迭代法牛顿法二分法抛物线法弦截法10.07073700.500170.7390890.739150.7390851320.99749910.755230.54240520.755240.85647030.739150.65510940.739160.792982360.739086使用不动点迭代法时，选取，即，得到迭代公式，需迭代36次，最终得出结果0.739086。牛顿法的计算公式为，取，迭代4次后得到结果0.7391。使用二分法时，通过17次对有根区间进行对分后取得结果0.73908。抛物线法则是经过9次迭代后得到结果。弦截法则是将牛顿法的迭代公式变换为，经过5次迭代后得到结果。使用牛顿法求解更快。例4：求在上的一个根。不动点迭代法牛顿法二分法抛物线法弦截法11.34840001141.3652091.365230141.3652300121.36737611.454531.36495721.368941.36526531.365251.36522641.365261.36523171.365230使用不动点迭代法时，选取，即，得到迭代公式，需迭代7次，最终得出结果1.365230。牛顿法的计算公式为，取，迭代4次后得到结果1.3652。使用二分法时，通过14次对有根区间进行对分后取得结果1.365203。抛物线法则是经过9次迭代后得到结果。弦截法则是将牛顿法的迭代公式变换为，经过4次迭代后得到结果。使用牛顿法和弦截法的迭代次数最少。四、总结不动点迭代法和牛顿法都可以计算重根，但对于不动点迭代法来说，把转化为等价方程有许多种方法，如何选择迭代函数很大程度上会决定收敛的速度，甚至会造成迭代公式不收敛，所以选择正确的迭代函数是非常重要的。而对于牛顿法来说，它具有平方收敛的速度，可以通过较少次数的迭代就能获得精确解，但是牛顿法必须选择充分接近方程在隔根区间内的根做为初始值，否则可能使结果发散，同时在计算重根时，它是局部收敛的。而牛顿迭代法因为还需要计算导数值，所以就算计算的速度快，但是计算量大幅增加，这时我们就可以选择弦截法，这种方法在解决复杂的方程时，相比较起来不需要计算导数，节省了很大的计算量。但与此同时该方法的收敛速度也会下降，高于不动点迭代法，低于牛顿法，而且该方法在应用时，需要选取两个初始值，这两个初始值必须充分靠近方程的根，否则最终得出的结果有可能发散。而抛物线法更适用于求解多项式，更方便求解复根，并且可以一次求出一对根，它的收敛阶高于不动点迭代法，但是该方法对初始值的选取要求较高，若三个初始值选取的不合适，就有可能得出与准确值出入较大的错误结果，甚至导致迭代序列不收敛。二分法则是无论理解起来还是应用起来都相对简单，并且安全可靠。处理复杂的问题时，由于该方法需要迭代的次数过多，并不方便用来直接求解，在实际应用中，二分法往往会用在其他方法之前那，因为该方法可以通过计算或画图来确定根的大致区间，方便后的计算，并且二分法只能用来求单根，不能求重根。参考文献雍龙泉.非线性方程的三种牛顿迭代方法[J].高等数学研究,2020,23(01):76-79.陈娟,何斯日古楞.非线性方程的抛物线性化二重迭代法[J].赤峰学院学报(自然科学版),2019,35(10):1-2.陶昱西,王晓锋.一种高效的求解非线性方程的史蒂芬森型迭代法[J].渤海大学学报(自然科学版),2019,40(04):348-357.朱芳,石满红.一类求非线性方程的改进迭代算法[J].南阳师范学院学报,2016,15(09):14-18.李洋洋.非线性方程的迭代解法研究[D].合肥工业大学,2012.曲建民.求解非线性方程的抛物线迭代法[J].数学的实践与认识,2006(04):304-308.汪天友,刘木静,孙芳琴.非线性方程迭代法近似求根及程序实现[J].贵阳金筑大学学报,2005(03):117-119.薛霜.非线性方程迭代解法的研究[D].合肥工业大学,2014.付宏伟,曾梅兰,缪彬彬.非线性方程求根的不动点迭代法的数值实验设计[J].湖北工程学院学报,2020,40(03):81-83.柳辉.解非线性方程的牛顿迭代法及其应用[J].重庆工学院学报(自然科学版),2007(08):95-98.张禾瑞、郝炳新.《高等代数》（第五版）[M].高等教育出版社.乐经良、向隆万、李世栋等.《数学实验》（第二版）[M].高等教育出版社.王公俊.非线性方程迭代方法的研究[D].合肥工业大学,2012.赵春阳,牛振波.几种具有高阶收敛速度的改进牛顿迭代法[J].科技创新与应用,2013(27):284-285.黄芳芳,汤玉荣.求解非线性方程的三种新的迭代法[J].山东工业技术,2019(12):229-230.S.Weerakoon,T.G.I.Fernando.AvariantofNewton’smethodwithacceleratedthird-orderconvergence[J].AppliedMathematicsLetters,2000,13(8).HommeierHHH.OnNewton-typemethodswithcubicconvergence[J].JournalofComeputational&AppliedMathematies,2005,176(2):425-432.DarvishiMT,BaeatiA.Athird-orderNewton-typemethodtosolvesystemsofnonlinearequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2007,187(2):630-635.KouJisheng,WangXiuhua.Six-ordervariantsofChebyshev-Halleymethodsforsolvingnon-linearequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2007,190(2):1839-1843.李声锋.求解方程的一类迭代方法及其应用[D].合肥工业大学,2007.附录1、不动点迭代法程序clearclcx=1.5;esp=1e-6;N=100;y=zeros(N,1);fort=1:Nx=fun(x);y(t)=x;fprintf('第%d次,x=%f\n',t,x);ift>1ifabs(y(t)-y(t-1))<espbreak;endendendfunctionx=fun(x)x=(x+1).^(1./3);end2、牛顿法程序functionx=manewton(fun,dfun,x0,ep,N)ifnargin<5N=500;endif