2024-2025学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，不是中心对称图形有(

)A. B. C. D.2.方程x2−3x+3=0的二次项系数和常数项分别为(

)A.−3，3 B.−1，−3 C.1，3 D.1，−33.下列运算正确的是(

)A.a+b=a+b B.4.一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是(

)A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差5.用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是(

)A.(x+4)2=−7 B.(x+4)2=−96.关于一次函数y=−3x+2，下列说法正确的是(

)A.图象过点(1,1)

B.其图象可由y=3x的图象向下平移2个单位长度得到

C.y随着x的增大而增大

D.图象经过第一、二、四象限7.如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED的位置，使得DC//AB，则∠BAE等于(

)A.30°

B.40°

C.50°

D.60°8.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两个队之间赛一场)，现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是(

)A.5 B.6 C.7 D.89.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上的一点，ED⊥AB，垂足为D，若AD=4，则BE的长为(

)A.35

B.36

C.10.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转30°得到线段BO′，下列结论，①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为5；③∠AOB=150°；④四边形AOBO′面积=6+43；⑤S△AOCA.①④⑤ B.①③④ C.①③④⑤ D.①③⑤二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.点(−3,5)关于原点对称的点的坐标是______．12.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

．13.如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，乙船的速度是______海里/时．14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则C15.已知x1，x2是关于x的方程x2+mx−1=0的两个实数根，且(x16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m(0<m<180)度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m=______．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

用适当方法解下列方程：x2−5x=−418.(本小题4分)

如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BP//AC，过点C作CP//BD，BP与CP相交于点P，求证：四边形BPCO是矩形．19.(本小题6分)

利用图中的网格线(最小的正方形的边长为1)画图．

(1)作出△ABC关于原点O对称的中心对称图形△A1B1C1．

(2)若△ABC绕点A顺时针旋转90°20.(本小题6分)

已知关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m(m+2)=0．

(1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；

(2)如果当m=2时，α、β为方程的两个根，求α21.(本小题8分)

数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．

如图，在等腰△ABC中，AB=BC．

(1)尺规作图：作△ABC关于直线AC对称的△ADC(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)连接BD，交AC于点O，若BD=2，四边形ABCD周长为45，求四边形ABCD的面积．22.(本小题10分)

一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．

(1)若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤(用含x的代数式表示)；

(2)销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？23.(本小题10分)

如图①，一次函数y=−12x+6的图象分别交x轴、y轴于点A，B，正比例函数y=kx的图象与直线AB交于点C(m,3)．

(1)求m的值并直接写出正比例函数的解析式；

(2)如图②，点D在线段OC上，且与点O，C不重合，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段CB于点F.若点D的横坐标为4，解答下列问题：

①DF的长：

②若P是直线OC上的一点，△PDF的面积为△CDF面积的3倍，求点24.(本小题12分)

给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

(1)以下四边形中，是勾股四边形的为______(填序号即可)；

①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．

(2)如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．

①连接AD，当n=60，∠BAD=30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．

②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF=(180−n)°，CP=2，AE=8，求AC的长度．

25.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(a,0)，与y轴交于点B(0,b)，a、b满足(4+a)2+b−2=0，直线AC经过y轴负半轴上的点C，且∠ACO=45°．

(1)求直线AC的函数表达式；

(2)平移直线AC，平移后的直线与直线AB交于点D，与y轴交于点F(0,t)．

①已知平面内有一点M(5,6)，连接CD、MD，当CD+MD的值最小时，求t的值；

②若平移后的直线与x轴交于点E，是否存在点F，使以点A、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点参考答案1.D

2.C

3.D

4.D

5.C

6.D

7.C

8.C

9.A

10.C

11.(3,−5)

12.k<1

13.40

14.215.−1

16.100°或120°

17.解：x2−5x+4=0

(x−1)(x−4)=0，

x−1=0，x−4=0，

解得：x1=118.证明：∵BP//AC，CP//BD，

∴BP//OC，CP//OB，

∴四边形BPCO是平行四边形，

∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴∠BOC=90°，

∴平行四边形BPCO是矩形．

19.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)如图，

∵AB=22+42=25，

20.解：(1)∵x2−2(m+1)x+m(m+2)=0，

∴Δ=[−2(m+1)]2−4m(m+2)=4>0，

∴不论实数m取何值，方程总有实数根；

(2)当m=2时，其方程为x2−6x+8=0，

∵α、β为方程的两个根，

21.解：(1)如图，△ADC即为所求；

(2)∵△ABC与△ADC关于直线AC对称，

∴AB=AD，BC=CD，

又AB=BC，

∴AB=BC=CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，且BO=OD=12BD=1，

又四边形ABCD周长为45，

∴AB=5，

∴OA=AB2−OB22.解：(1)∵以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤，

∴当将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元时，每天的销售量是(100+200x)斤．

(2)依题意得：(5−x−3)(100+200x)=300，

整理得：2x2−3x+1=0，

解得：x1=12，x2=1．

当x=12时，100+200x=100+200×123.解：(1)将C(m,3)代入y=−12x+6得：−12m+6=3，

解得：m=6，

∴C(6,3)，

∵3=6k，

∴k=12，

∴正比例函数的解析式为y=12x；

(2)①∵点D在线段OC上，点D的横坐标为4，

∴在y=12x中，当x=4时，y=12×4=2，

∴D(4,2)，

∵DE⊥x轴于点E，交线段CB于点F，

∴点F的横坐标与点D的横坐标相同为4，

在y=−12x+6中，当x=4时，y=−12×4+6=4，

∴F(4,4)，

∴DF=4−2=2；

②∵D(4,2)，C(6,3)，

∴S△CDF=12DF⋅|xC−4|=12×2×2=2，

∵△PDF的面积为△CDF面积的3倍，

∴S△PDF=2×3=6，

∵DE⊥x轴于点E，点24.(1)②③；

(2)①证明：如图1中，连接AE．

∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，

∴AC=BC，∠ACE=60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE=AC，∠ACE=60°，

∵∠DCB=60°，∠BAD=30°，

∴∠ABC+∠ADC=270°，

∴∠ADC+∠CDE=170°，

∴∠ADE=90°，

在Rt△DAE中，AD2+DE2=AE2，

∵DE=AB，AC=AE，

∴AD2+AB2=AC2，

∴四边形ABCD是勾股四边形；

②解：如图2中，延长BC交FE的延长线于H．

∵∠DCH=180°−n°=(180−n)°∠DEF=(180−n)°，

∴∠DEF=∠DCH，

∵∠DEF+∠DEH=180°，

∴∠DEH+∠DCH=180°，

∴∠CDE+∠H=180°，

∵∠ABC=∠CDE，

∴∠ABC+∠H=180°，

∴AB//FH，

∴∠F=∠ABP，

∵DE=EF=AB，∠EPF=∠APB，

∴△FPE≌△BPA(AAS)，

∴PE=PA，

∵AE=PE+PA=8，

25.解：(1)∵(4+a)2+b−2=0，

∴4+a=0，b−2=0，

∴a=−4，b=2，

∴A(−4,0)，B(0,2)，

∴AO=4，

∵∠AOC=90°，∠ACO=45°，

∴OA=OC=4，

∴C(0,−4)，

设直线AC的函数表达式为y=kx+b，

∴−4k+b=0b=−4，

∴k=−1b=−4；

∴直线AC的函数表达式为y=−x−4；

(2)∵A(−4,0)，B(0,2)，

∴直线AB的解析式为y=12x+2，

∴设D(m,12m+2)，

∵平移直线AC，平移后的直线与直线AB交于点D，与y轴交于点F(0,t)．

∴直线EF的解析式为y=−x+t，

当CD+MD的值最小时，点C，D，M三点共线，

设直线CM的解析式为y=ax+c，

∴c=−45a+c=6，

∴c=−4a=2，

∴直线CM的解析式为y=2x−4，

把D(m,12m+2)代入得