2024-2025学年江西省宜春市高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省宜春市高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z+i(2−i)=0，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为(

)A.63cm B.65cm C.67cm D.69cm3.已知函数f(x)对任意x∈R满足f(1−x)=f(1+x)，f(x+2)=−f(x)，且f(0)=0，则f(26)等于(

)A.1 B.0 C.2 D.−14.已知向量a=(−1,2)，b=(−3,1)，则a在b上的投影向量为(

)A.(−32,12) B.(−5.已知α、β均为锐角，若p：sinα<sin(α+β)，q：α+β<π2，则p是qA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数y=3sin(x+π5)图象为C，为了得到函数y=3sin(2x−π5)A.先向右平移π5个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.先向右平移25π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C.先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π5个单位长度

D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA=(b+c)sinB，则a−bc的取值范围是(

)A.(13,12) B.(8.已知定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[0,2π)时，f(x)=cosx−|cosx|，对任意x∈[0,+∞)总有f(x+2π)=2f(x).当a，b∈[m,n]时，f(a)−f(b)≤4恒成立，则n−m的最大值为(

)A.6π B.19π3 C.28π3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则(

)A.这组数据的众数为4 B.这组数据的极差为3

C.这组数据的平均数为1.5 D.这组数据的40%分位数为110.若a>0，b>0，则下列结论正确的有(

)A.a2+b2a+b≤22 B.若1a+4b11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是(

)A.该半正多面体的表面积为2134

B.BE与平面ABC所成角的正弦值为63

C.该半正多面体外接球的表面积为11π2

D.若点M，N分别在线段DE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1+tan13°)(1+tan32°)=______．13.如图，在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.设AB=mAM，AC=n14.如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得古树顶点P的仰角分别为45°，45°，30°，若AB=BC=28米，则该古树的高度为______米.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知二次函数y=f(x)的图象过点(−1,3)，且不等式f(x)−7x<0的解集为(14,1)．

(1)(2)设g(x)=f(x)−mx，若g(x)在(2,4)上是单调函数，求实数m的取值范围．16.(本小题15分)

在如图所示的多面体MNABCD中.四边形ABCD是边长为2的正方形，其对角线的交点为Q，DM⊥平面ABCD，DM//BN，DM=2BN=2.点P是棱DM的中点．

(1)求证：PQ⊥平面ANC；

(2)求多面体MNABCD的体积．17.(本小题15分)

甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；

18.(本小题17分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m=(1−2cos2B2,cosC)，n=(c,2a−b)，且m⊥n．

(1)求C；

(2)若a+b=2，c=19.(本小题17分)

设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“友函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcosx(x∈R)的“友向量”．

(1)记OM=(1,1)的“友函数”为f(x)，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)设ℎ(x)=cos(x+π6)−2cos(x+θ)，其中θ∈R，求ℎ(x)的“友向量”模长的最大值；

(3)已知点M(a,b)满足6a2+5ab+b2<0，向量参考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BD

10.BCD

11.BCD

12.2

13.3+214.28

15.解：(1)因为不等式f(x)−7x<0的解集为(14,1)，

所以14和1为关于x的方程f(x)−7x=0的两根，且二次函数y=f(x)的开口向上，

则可设f(x)−7x=a(x−14)(x−1)，(a>0)，

即f(x)=a(x−14)(x−1)+7x，

由f(x)的图象过点(−1,3)，可得a(−1−14)(−1−1)+7×(−1)=3，

解得a=4，

所以f(x)=4(x−14)(x−1)+7x，

即f(x)=4x2+2x+1；

(2)因为g(x)=f(x)−mx=4x2+2x+1−mx=4x2+(2−m)x+1，

对称轴16.解：(1)证明：连接PN，QN，

因为DM⊥平面ABCD，AD，DC，DB⊂平面ABCD，

所以DM⊥DB，PD⊥AD，PD⊥DC，

因为DM=2BN=2，P是DM中点，所以四边形PDBN为矩形，

则PN=BD=2，PD=NB=1，

因为Q是正方形ABCD的对角线交点，所以Q为AC，DB中点，PQ=NQ=2，

所以PQ2+NQ2=PN2，PQ⊥QN，

因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，

又DM∩BD=D，DM⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，

所以AC⊥平面BDM，而PQ⊂平面BDM，所以PQ⊥AC，

又AC∩NQ=Q，AC，NQ⊂平面ANC，所以PQ⊥平面ANC，得证；

(2)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

因为DM⊥平面ABCD，所以DM⊥AC，

因为DM⊂平面BDMN，BD⊂平面BDMN，且DM∩BD=D，

所以AC⊥平面BDMN，

因为DM=2BN=2，所以BN=1，DM=2，

因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以AC=BD=217.解：(1)因为甲每轮猜对的概率为23，

所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P=1−(1−23)2=89；

(2)“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对118.解：(1)m=(1−2cos2B2,cosC)，n=(c,2a−b)，且m⊥n，

则m⋅n=c(1−2cos2B2)+(2a−b)cosC=0，

即(2a−b)cosC=ccosB，

由正弦定理可知(2sinA−sinB)cosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，

则2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，又A∈(0,π)，

则sinA≠0，所以2cosC=1，cosC=12，

又C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)a+b=2，c=3，则cosC=a2+b2−19.解：(1)由已知f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)，

则令−π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ，k∈Z，

即函数的单调递增区间为[−3π4+2kπ,π4+2kπ]，k∈Z；

(2)ℎ(x)=cos(x