2024-2025学年上海市宝山区大同中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市宝山区大同中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.事件A与B独立，A−、B−分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是(

)A.P(A∪B)=P(A)P(B) B.P(A∪B)=P(A)+P(B)

C.P(AB−)=P(A)P(2.已知等差数列{an}中，|a6|=|a15|，且公差A.8 B.9 C.10 D.113.经过点P(1,−2)可以作与曲线2x3−3x−y=0相切的不同直线共有A.0条 B.1条 C.2条 D.3条4.如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E、F分别为线段DM的三等分点，点N为线段AF的中点，过点N的平面α与棱AB、AC、AD分别交于O、P、Q，设四面体AOPQ的体积为V′，则V′V的最小值为(

)A.14

B.18

C.116二、填空题：本题共12小题，共54分。5.不等式|x2−2|>16.i为虚数单位，若复数z=4i1−i，则Imz=7.(x8.若双曲线x2+y2b=1的离心率为29.设a∈R，若抛物线y=14x2+a的焦点为坐标原点，则10.下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x(单位：万元)，销售额为y(单位：万元)，则y关于x的回归方程为______.(回归系数精确到0.01)广告费用(万元)302621171118131617232529销售额(万元)84372562158748560852355460070372879211.设x∈R，若(3+x)5=a0+12.在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则PB⋅PC+13.将由曲线x|x|+y|y|=1、y=−1、x=0所围成的封闭区域绕y轴旋转一周后得到的旋转体记为Ω，则该旋转体Ω的体积为______．14.某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为______．15.如图，半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b16.已知三角形ABC的面积为2024，AC=110，34tanA+11tanB=23，则三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0，|φ|<π2．

(1)若cosπ4cosφ−sin3π4sinφ=0.求φ的值；

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π18.(本小题14分)

如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是线段BC上的动点．

(1)求证：平面EMN⊥平面PBC；

(2)当三棱锥M−EBN与四棱锥P−EBCD的体积之比为VM−EBNVP−EBCD=16时，求直线EN19.(本小题14分)

某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定．

(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；

(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为X，求X的分布及E[X]，D[X]的值．20.(本小题18分)

已知双曲线Γ：x2−y2=1的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线Γ上的动点，点Q(0,2)．

(1)求点M到Γ的两条渐近线的距离之积；

(2)求经过点Q的双曲线Γ的切线方程；

(3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作Γ的两条切线，分别与y轴交于点E，F(E在F的上方)21.(本小题18分)

设a<e2，已知函数y=f(x)的解析为f(x)=(x−2)ex−a(x2−2x)+2．

(1)当a=0时，求函数y=f(x)的最小值；

(2)证明当a∈(−∞,0]时函数f(x)至多有两个零点；

(3)如果函数y=f(x)有3个不同的零点，分别设为x1、x2、x3，求实数a的取值范围；如果x1参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.(−1,1)∪(−∞,−6.2

7.160

8.−3

9.−1

10.y11.31

12.213.2π

14.2016

15.(116.46或18417.解：(1)由cosπ4cosφ−sin3π4sinφ=0得cosπ4cosφ−sinπ4sinφ=0．

即cos(π4+φ)=0又|φ|<π2，∴φ=π4．

(2)解法一：由(1)得f(x)=sin(ωx+π4)，依题意，T2=π3，又T=2πω，故ω=3，

∴f(x)=sin(3x+π4)，

函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4]

又g(x)是偶函数当且仅当3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，即m=kπ3+π12(k∈Z)，

从而，最小正实数m=π12．18.解：(1)证明：由题意可知，四边形EBCD是正方形，AE⊥DE(折叠后PE⊥DE)，

因为PE⊥EB，DE∩EB=E，DE，EB⊂平面EBCD，所以PE⊥平面EBCD，

因为BC⊂平面EBCD，所以PE⊥BC，

因为BC⊥EB，PE∩EB=E，PE，EB⊂平面PBE，所以BC⊥平面PBE，

因为EM⊂平面PBE，所以BC⊥EM，

因为PE=EB，M是PB的中点，所以EM⊥PB，

又BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，所以EM⊥平面PBC，

因为EM⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PBC；

(2)设AB=2DC=2BC=4，由(1)得EM⊥平面PBC，所以∠MNE是直线EN与平面PBC所成角，

依题意得：VM−EBNVP−EBCD=13S△EBN⋅12PE13SEBCD⋅PE=19.解：(1)设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件A，

则P(A)=56×45×34=12．

(2)由题意，X可能取到1，2，3，

则X123P112所以E[X]=1×16+2×1620.解：(1)设点M(x1,y1)，所以x12−y12=1，两个渐近线方程为x±y=0，

所以点M到Γ的两条渐近线的距离之积为|x1−y1||x1+y1|2×2=|x12−y12|2=12；

(2)由题意得切线方程斜率存在，设经过点Q的切线方程为y=kx+2，

联立x2−y2=1y=kx+2，消去y得(1−k2)x2−4kx−5=0，

因为直线与双曲线相切，所以Δ=−4k2+20=0，

所以k=±5，所以切线方程为y=±5x+2；

(3)证明：设P(x2,y2)，x2−y2<0，因为A(−1,0)，B(1,0)，

所以直线PA的方程为y=y2x2+121.解：(1)当a=0时，f(x)=(x−2)ex+2，则f′(x)=(x−1)ex，

当x<1时，f′(x)<0，函数y=f(x)单调递减，

当x>1时，f′(x)>0，函数y=f(x)单调递增，

所以函数y=f(x)的最小值为f(1)=2−e；

(2)f(x)=(x−2)ex−a(x2−2x)+2，则f′(x)=(x−1)ex−2a(x−1)=(x−1)(ex−2a)，

a≤0时，ex−2a>0恒成立，

当x<1时，f′(x)<0，函数y=f(x)单调递减，

当x>1时，f′(x)>0，函数y=f(x)单调递增，

故当a∈(−∞,0]时函数f(x)至多有两个零点；

(3)f(x)=(x−2)ex−a(x2−2x)+2，

则f′(x)=(x−1)ex−2a(x−1)=(x−1)(ex−2a)，

由(2)可知，a∈(−∞,0]时不合题意，

当0<a<e2时，ln2a<1，

f′(x)>0，解得x<ln2a或x>1，f′(x)<0，解得ln2a<x<1，

函数y=f(x)在(−∞,ln2a)和(1,+∞)上单调递增，在(ln2a,1)上单调递减，

由函数y=f(x)有3个不同的零点，则f(1)=2+a−e<0f(ln2a)>0，

又f(ln2a)=−a(ln2a−2)2+2=−eln2a2(ln2a−2)2+2，

令t=ln2a∈(−∞,1)，记f(ln2a)=ℎ(t)，

则ℎ(t)=−et(t−2)22+2，其中t<1，

则ℎ′(t)=−t(t−2)2et2，

当t∈(0,1)时，ℎ′(t)>0，函数ℎ(t)单调递增，

当t∈(−∞,0)时，ℎ′(t)<0，函数ℎ(t)单调递减，

所以ℎ(t)≥g(0)=0，即f(ln2a)≥0，当且仅当a=12时取等号，

故不等式组f(1)=2+a−e<0f(ln2a)>0的解集为(0,12)∪(12,e−2)，

因为f(2)=2>0，f(−1a)<0，

故当a∈(0,12)∪(12,e−2)时函数y=f(x)