2023-2024学年湖南省湘西州永顺一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省湘西州永顺一中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数Z满足Z(i−1)=2，则Z=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i2.已知向量a=(1,−2)，b=(cosα,sinα)，若a⊥b，则sinα−cosαA.13 B.23 C.−13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bc=43，sinA+2sinBcosC=0，则△ABC面积的最大值为(

)A.1 B.3 C.2 D.4.如图，已知圆锥的底面直径AB=2，母线VA=233，过顶点V作平面α与底面相交于M，N两点，则△VMNA.33 B.23 C.25.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知a=23，c=22，1+tanA.π6 B.π4 C.π4或3π6.已知函数f(x)=x2−x+1,x>0x+2,x<0，则不等式f(x)>1A.(−1,0)∪(0,1) B.(−∞,−1)∪(1,+∞)

C.(−∞,−1)∪(0,1) D.(−1,0)∪(1,+∞)7.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin9°的近似值为(    )(π取近似值3.14)A.0.039 B.0.157 C.0.314 D.0.0798.已知在△ABC中，∠BAC=π3，点D满足2BD=DC，且AD=2，则A.32 B.332 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1A.B1P//A1D

B.B1P//平面ADD1A10.函数f(x)=x|x|+ax+b，下面的结论正确的是(

)A.函数f(x)的图象为中心对称图形 B.存在a，b使得f(x)有三个零点

C.当且仅当a−4b≥0时，f(x)有零点 D.存在a，b使得f(x)有两个零点11.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB B.若A>B，则sin2A>sin2B

C.若a>b，则cosA<cosB D.若a>b，则cos2A<cos2B三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。12.已知函数f(x)=sinxcosx，则函数f(x)的最小正周期为______．13.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统一体积公式V=16ℎ(L+4M+N)(其中L，N，M，ℎ分别为Ω的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为V=16×2R(0+4×πR2+0)=43πR3；已知正四棱锥的底面边长为a，高为ℎ，可得该正四棱锥的体积为V=16×ℎ[0+4×(a2四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题5分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(c+b)(sinC−sinB)=a(sinA−sinB).若c=23，则a15.(本小题13分)

设f(x)=a⋅b.其中向量a=(2sinωx,2cosωx+1)，b=(2cosωx,216.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：

(1)直线EG//平面BDD1B1；

(2)平面EFG//平面17.(本小题15分)

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)解析式；

(2)若f(x18.(本小题17分)

如图，在梯形ABCD中，AD=2，DC=CB=3，AB=2DC，点E、F是线段DC上的两个三等分点，点G，点H是线段AB上的两个三等分点，点P是直线BC上的一点．

(1)求AB⋅AD的值；

(2)直线AP分别交线段EG、FH于M，N两点，若B、N、D三点在同一直线上，求19.(本小题17分)

从①3bsinA1+cosB=a；②asinB−3bcosBcosC=3ccos2B；③1+tanBtanC=2ac；

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_____．

(1)求角B的大小；

(2)求sinA+sinC取值范围；

(3)当sinA+sinC取得最大值时，在△ABC所在平面内取一点D(D与参考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.B

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.π

13.92π314.(20,24]

15.解：∵a=(2sinωx,2cosωx+1)，b=(2cosωx,2cosωx−1)

∴f(x)=a⋅b=2sinωxcosωx+2cos2ωx−1=sin2ωx+cos2ωx

=2sin(2ωx+π4)

(1)当ω=1时，f(x)=2sin(2x+π4)

∵x∈(0,π2)，∴π416.解：(1)证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG/​/SB，

由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG/​/平面BDD1B1；

(2)由EF/​/DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂//平面BDD1B1，

可得EF////平面BDD1B1，

又由(1)可得EG/​/平面BDD1B1，

EF∩EG=E，可得平面EFG/​/平面BDD1B1；

(3)取B1C1的中点N，连接A1N17.解：(1)由图象可知A=1，

周期T=2(2π3−π6)=2×π2=π，

所以ω=2πT=2，

sin(2×π6+φ)=1，又|φ|<π2，则φ=π6．

所以f(x)=sin(2x+π6)18.解：(1)设AB=a，AD=b，

∵CB=CD+DA+AB=−12a−b+a=12a−b，

∴CB2=14a2−a⋅b+b2=13−a⋅b=9，即AB⋅AD=a⋅b=4；

(2)设AN=xAF+yAH，即x(AF−AN)+y(AH−AN)=AN−(x+y)19.解：(1)若选①：∵3bsinA1+cosB=a，

∴由正弦定理得3sinBsinA1+cosB=sinA，即3sinBsinA=sinA(1+cosB)，

∵0<A<π2，即sinA≠0，

∴3sinB=1+cosB，整理得sin(B−π6)=12，

又0<B<π2，即−π6<B−π6<π3，

则B=π3；

若选②：∵asinB−3bcosBcosC=3ccos2B，

∴由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosBcosC+3sinCcos2B，

即sinAsinB=3cosB(sinBcosC+sinCcosB)=3cosBsin(B+C)，

∴sinAsinB=3cosBsinA，

又A∈(0,π)，即sinA≠0，

∴sinB=3cosB，即tanB=3，

∵