2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A，B，若A={−1,1}，A∪B={−1,0,1}，则一定有(

)A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B=⌀ D.0∈B2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则(

)A.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题3.函数f(x)=(ex+e−x)sinx−2xA.B.C.D.4.设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则(

)A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB.若l//m，m//n，l⊥α，则n⊥α

C.若l//m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l//m5.在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=4，A1B1=2A.523 B.283 C.1436.设a=2π，b=log2πA.c<b<a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c7.若函数f(x)=log2(x+1),−1<x≤3x+ax,x>3A.[−3,9] B.[−3,+∞) C.[0,9] D.(−∞,9]8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，则a的最小值为A.−2 B.−1 C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数中最小值为4的是(

)A.y=lnx+4lnx B.y=2x+210.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+2)−f(x)=f(1)，则(

)A.f(1)=0 B.f(1−x)+f(1+x)=0

C.f(1+2x)=f(1−2x) D.i=111.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，NA.MN//平面ADD1A1 B.MN⊥AC1

C.直线MN与平面AA1C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若x，y为实数，则“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的______条件．(在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写)13.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为______．14.已知3a=2+3b，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点．

(1)证明：A1C1//平面B1DE；16.(本小题15分)

已知函数f(x)=log21−x1+x．

(1)判断并证明f(x)的奇偶性；

(2)若对任意x∈[−13,117.(本小题15分)

如图，四边形ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD．

(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；

(2)若PA⊥PC，二面角A−BP−C的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．18.(本小题17分)

设函数f(x)=aex+bx2+cx．

(1)若a=1，b=c=−1，求证：f(x)有零点；

(2)若a=0，b=−1，是否存在正整数m，n，使得不等式m≤f(x)−c≤n的解集为[m,n]，若存在，求m，n；若不存在，说明理由；

(3)若b≠019.(本小题17分)

已知有限集A={a1,a2,⋯,an}(n≥2，n∈N)，若a1+a2+⋯+an=a1a2⋯an，则称A为“完全集”．

(1)判断集合{−1,−2,2参考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.C

6.C

7.A

8.B

9.BCD

10.AC

11.ABD

12.充分不必要

13.314.3log15.(1)证明：因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以A1C1/​/AC，

又D，E分别为AB，BC的中点，所以DE/​/AC，

所以DE/​/A1C1，又A1C1⊄平面B1DE，DE⊂平面B1DE，

所以A1C1/​/平面B1DE；

(2)解：因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，且AB⊥AC，

则以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA1=a(a>0)，且AB=1，

则B1(1,0,a)，D(12,0,0)，A1(0,0,a)，F(1,0,a2)，

则B1D=(−12,0,−a)，A1F=(1,0,−a2)，

由B16.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下：

由解析式易知1−x1+x>0⇒(x−1)(x+1)<0⇒−1<x<1，函数定义域为(−1,1)，

而f(−x)=log21+x1−x=−log21−x1+x=−f(x)，故f(x)为奇函数．

(2)由m=1−x1+x=21+x−1在x∈[−13,13]上为减函数，

而y=log2m在定义域上为增函数，所以f(x)在x∈[−13,13]17.解：(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，

∴PB⊥AC，

在菱形ABCD中，BD⊥AC，且PB∩BD=B，PB，BD⊂平面PBD，

∴AC⊥平面PBD，又∵AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．

(2)∵PB⊥平面ABCD且AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴AB⊥BP，BC⊥BP，

即二面角A−BP−C的平面角是∠ABC，

∴∠ABC=120° 120°，

取AC与BD交点为O，设AB=BC=2，

则AC=23，

∴PA=PC=6，∴PB=2，

以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，为y轴，如图建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，D(−1,0,0)，P(1,0,2)，C(0,3,0)，

DB=(2,0,0)，PC=(−1,18.(1)证明：若a=1，b=c=−1，则f(x)=ex−x2−x，

因为f(1)=e−2>0，f(−2)=e−2−2<0，所以f(1)f(−2)<0．

又f(x)在R上的图象是连续不断的，所以f(x)有零点．

(2)解：若a=0，b=−1，则f(x)=−x2+cx，

因为不等式m≤f(x)−c≤n的解集为[m,n]，

所以其中一个充分条件为c24−c≤n①f(m)−c=m②f(n)−c=m③，

由②③得，m，n是方程f(x)−c=m的两个不等实根，

即m，n是方程x2−cx+m+c=0的两个不等实根，

所以m+n=c，mn=m+c，得m=2m+n，所以(m−1)(n−2)=2．

又因为m，n∈N∗，m<n，

所以m−1=1n−2=2，解得m=2n=4，此时c=6符合①．

所以m=2，n=4．

(3)解：设f(x0)=0，则f(f(x0))=f(0)=a，所以a=0．

所以f(x)=bx2+cx=x(bx+c)，

f(f(x))=x(bx+c)(b(bx2+cx)+c)．

设g(x)=b2x2+bcx+c(b≠0)，

因为非空集合{x∈R|f(x)=0}={x∈R|f(f(x))=0}，

所以g(x)=0无实根或g(x)=0的解是f(x)=0的解．

若g(x)=0无实根，则Δ=b2c2−4b2c<0，c19.解：(1)因为−1+(−2)+(2−1)+(22+2)=22，−1×(−2)×(2−1)×(22+2)=22，

所以−1+(−2)+(2−1)+(22+2)=−1×(−2)×(2−1)×(22+2)，

故集合