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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市高三(上)调研数学试卷(9月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A,B,若A={−1,1},A∪B={−1,0,1},则一定有(
)A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B=⌀ D.0∈B2.已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则(
)A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题
C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题3.函数f(x)=(ex+e−x)sinx−2xA.B.C.D.4.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则(
)A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αB.若l//m,m//n,l⊥α,则n⊥α
C.若l//m,m⊥α,n⊥α,则l⊥nD.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l//m5.在正三棱台ABC−A1B1C1中,AB=4,A1B1=2A.523 B.283 C.1436.设a=2π,b=log2πA.c<b<a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c7.若函数f(x)=log2(x+1),−1<x≤3x+ax,x>3A.[−3,9] B.[−3,+∞) C.[0,9] D.(−∞,9]8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx,若f(x)≥0,则a的最小值为A.−2 B.−1 C.2 D.1二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列函数中最小值为4的是(
)A.y=lnx+4lnx B.y=2x+210.定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+2)−f(x)=f(1),则(
)A.f(1)=0 B.f(1−x)+f(1+x)=0
C.f(1+2x)=f(1−2x) D.i=111.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,M,NA.MN//平面ADD1A1 B.MN⊥AC1
C.直线MN与平面AA1C三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若x,y为实数,则“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的______条件.(在“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分又不必要”中选一个填写)13.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的侧面积为______.14.已知3a=2+3b,则四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,D,E,F分别为AB,BC,B1B的中点.
(1)证明:A1C1//平面B1DE;16.(本小题15分)
已知函数f(x)=log21−x1+x.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)若对任意x∈[−13,117.(本小题15分)
如图,四边形ABCD为菱形,PB⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(2)若PA⊥PC,二面角A−BP−C的大小为120°,求PC与BD所成角的余弦值.18.(本小题17分)
设函数f(x)=aex+bx2+cx.
(1)若a=1,b=c=−1,求证:f(x)有零点;
(2)若a=0,b=−1,是否存在正整数m,n,使得不等式m≤f(x)−c≤n的解集为[m,n],若存在,求m,n;若不存在,说明理由;
(3)若b≠019.(本小题17分)
已知有限集A={a1,a2,⋯,an}(n≥2,n∈N),若a1+a2+⋯+an=a1a2⋯an,则称A为“完全集”.
(1)判断集合{−1,−2,2参考答案1.D
2.B
3.C
4.B
5.C
6.C
7.A
8.B
9.BCD
10.AC
11.ABD
12.充分不必要
13.314.3log15.(1)证明:因为ABC−A1B1C1为直三棱柱,所以A1C1//AC,
又D,E分别为AB,BC的中点,所以DE//AC,
所以DE//A1C1,又A1C1⊄平面B1DE,DE⊂平面B1DE,
所以A1C1//平面B1DE;
(2)解:因为ABC−A1B1C1为直三棱柱,且AB⊥AC,
则以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
设AA1=a(a>0),且AB=1,
则B1(1,0,a),D(12,0,0),A1(0,0,a),F(1,0,a2),
则B1D=(−12,0,−a),A1F=(1,0,−a2),
由B16.解:(1)f(x)为奇函数,证明如下:
由解析式易知1−x1+x>0⇒(x−1)(x+1)<0⇒−1<x<1,函数定义域为(−1,1),
而f(−x)=log21+x1−x=−log21−x1+x=−f(x),故f(x)为奇函数.
(2)由m=1−x1+x=21+x−1在x∈[−13,13]上为减函数,
而y=log2m在定义域上为增函数,所以f(x)在x∈[−13,13]17.解:(1)证明:∵PB⊥平面ABCD,且AC⊂平面ABCD,
∴PB⊥AC,
在菱形ABCD中,BD⊥AC,且PB∩BD=B,PB,BD⊂平面PBD,
∴AC⊥平面PBD,又∵AC⊂平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBD.
(2)∵PB⊥平面ABCD且AB⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
∴AB⊥BP,BC⊥BP,
即二面角A−BP−C的平面角是∠ABC,
∴∠ABC=120° 120°,
取AC与BD交点为O,设AB=BC=2,
则AC=23,
∴PA=PC=6,∴PB=2,
以O为坐标原点,OB,OC所在直线分别为x轴,为y轴,如图建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(−1,0,0),P(1,0,2),C(0,3,0),
DB=(2,0,0),PC=(−1,18.(1)证明:若a=1,b=c=−1,则f(x)=ex−x2−x,
因为f(1)=e−2>0,f(−2)=e−2−2<0,所以f(1)f(−2)<0.
又f(x)在R上的图象是连续不断的,所以f(x)有零点.
(2)解:若a=0,b=−1,则f(x)=−x2+cx,
因为不等式m≤f(x)−c≤n的解集为[m,n],
所以其中一个充分条件为c24−c≤n①f(m)−c=m②f(n)−c=m③,
由②③得,m,n是方程f(x)−c=m的两个不等实根,
即m,n是方程x2−cx+m+c=0的两个不等实根,
所以m+n=c,mn=m+c,得m=2m+n,所以(m−1)(n−2)=2.
又因为m,n∈N∗,m<n,
所以m−1=1n−2=2,解得m=2n=4,此时c=6符合①.
所以m=2,n=4.
(3)解:设f(x0)=0,则f(f(x0))=f(0)=a,所以a=0.
所以f(x)=bx2+cx=x(bx+c),
f(f(x))=x(bx+c)(b(bx2+cx)+c).
设g(x)=b2x2+bcx+c(b≠0),
因为非空集合{x∈R|f(x)=0}={x∈R|f(f(x))=0},
所以g(x)=0无实根或g(x)=0的解是f(x)=0的解.
若g(x)=0无实根,则Δ=b2c2−4b2c<0,c19.解:(1)因为−1+(−2)+(2−1)+(22+2)=22,−1×(−2)×(2−1)×(22+2)=22,
所以−1+(−2)+(2−1)+(22+2)=−1×(−2)×(2−1)×(22+2),
故集合
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