2024-2025学年广东省广州市广信中学高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市广信中学高三（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=A.{−2,−1,0,1} B.{0,1,2} C.{−2} D.{2}2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则(

)A.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题3.设a，b是向量，则“(a+b)⋅(a−b)=0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.鸢是鹰科的一种鸟，《诗经⋅大雅⋅旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1)，寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位：cm)，绘制对应散点图(图2)如下：

计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y=0.7501x+0.6105.根据以上信息，如下判断正确的为(

)A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系

B.花萼长度与花瓣长度负相关

C.花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm

D.若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.86425.若(2x−1)4=a4A.−40 B.40 C.41 D.826.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(

)A.12种 B.24种 C.36种 D.48种7.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)A.16 B.13 C.128.已知a=20.7，b=(13)0.7A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b9.有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，xA.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数

B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数

C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。10.甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则(

)A.事件B与事件C互斥 B.P(B)=38

C.事件A与事件B相互独立 D.记C的对立事件为C11.若函数f(x)=alnx+bx+cA.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=13.(1−yx)(x+y)8的展开式中x214.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=(2x2−5x+4)ex．

(1)求y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)16.(本小题12分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1−S2+S3=32，sinB=17.(本小题12分)

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位m)：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)18.(本小题12分)

已知函数f(x)=a(ex+a)−x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，19.(本小题12分)

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B−|A)与P(B|A−)P(B−|A−)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

(ⅰ)证明：R=P(A|B)P(P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.C

6.B

7.D

8.C

9.B

10.CD

11.BCD

12.0.14

13.−28

14.(−∞,−4)∪(0,+∞)

15.解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)=(2x2−x−1)ex，

所以f′(0)=−1，

又f(0)=4，

故y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−4=−(x−0)，即x+y−4=0．

(2)令f(x)=0，则2x2−x−1=0，

解得x1=−12，x=1，

所以当x<−12时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当−12<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，16.解：(1)S1=12a2sin60°=34a2，

S2=12b2sin60°=34b2，

S3=12c2sin60°=34c2，

∵S1−S2+S3=34a2−34b2+17.解：(1)已知甲以往的9次成绩中有4次获得优秀奖，

若用频率估计概率，

则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为49；

(2)若用频率估计概率，

则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为36=12，

丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为24=12，

易知X的所有可能取值为0，1，2，3，

则P(X=0)=59×12×12=536，P(X=1)=2×5918.解：(1)因为f(x)=a(ex+a)−x，定义域为R，f′(x)=aex−1，

当a≤0时，f′(x)=aex−1<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减；

当a>0时，令f′(x)=aex−1=0，解得x=−lna，

当x<−lna时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递减；

当x>−lna时，f′(x)>0，则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；

综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；

当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增．

证明：(2)由(1)得，f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，

要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，

令g