4.1.2数列的通项公式与递推公式（课件）高二数学课件（人教A版2019选择性）

(第2课时)数列的通项公式与递推公式数列的定义:(1)按一定次序排列的一列数叫做数列.(2)数列中的每一个数都叫做数列的项,(3)各项依次叫做这个数列的第1项(首项)常用符号a1表示,第2项用符号a2表示…,第n项,…(4)数列的一般形式可以写成有时简记为巩固复习{an}.数列的分类:(1)按项的多少来分:(2)按项数之间大小关系来分:巩固复习⑴一般表示法

a1,a2,a3,…an,…其中an

表示数列的第n项。有时我们把上面的数列简记为{an}.数列的三种表示方法⑵解析表示法通项公式表示.数列的图象表示法是一群孤立的点

通项公式：

如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

巩固复习1.不是每一个数列都能写出其通项公式2.数列的通项公式不唯一如-1，1，-1，1，-1，….可写成

和3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。注意数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。

无穷数列表示无限个孤立的点。4.实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。巩固复习13927考点1：利用归纳法求数列的通项公式例1图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的一个通项公式.解：换个角度观察图中的4个图形，可以发现，①a1=1,②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。这样，例4中的数列的前4项满足a1=1,a2

=3a1,a3

=3a2,a4

=3a3,由此猜测这个数列满足公式考点2：数列的递推公式递推公式:

如果已知数列的首项(或前几项)和递推公式，就能求出数列的每一项。例如像an=3an-1(n≥2),如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.例2：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出,写出这个数列的前5项。例题讲解考点2：数列的递推公式总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.递推9an－1

n

10引申1：已知数列{an}满足a1=1，an=an－1＋1(n≥2)，

写出这个数列的通项公式.解：（1）由递推式可得，a2－a1=1，a3－a2=1，…an－an－1=1把以上n-1

个式子相加,得an

－a1=n

－1

∴数列的通项为an=n（n∈N*）.

总结：一般递推关系为an+1=f(n)+an，即an+1-an=f(n)时，可用累加法求通项公式.又a1=1,满足上式考点2数列的递推公式an

=n(n≥2)

又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，】∴an＝

(n∈N*)引申2：已知数列{an}满足

写出这个数列的通项公式.解：由递推式可得∴数列的通项为.

n∈N*把以上n-1个式子相乘得又a1=1满足上式总结：一般递推关系为an+1=f(n)·an,即

时，可用累乘法求通项公式.考点2数列的递推公式思维提升我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即Sn=a1+a2+...+an如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.考点3：数列an的前n项和Sn问题4

数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？前n-1项之和Sn与an的关系式考点3：数列an的前n项和Sn例题讲解[例3]已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.解:(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1，当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5(n∈N*).[例3]已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.例题讲解例题感悟考点4：斐波那契数列《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔。如果不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？考点4：斐波那契数列斐波那契数列斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233……第一项和第二项是1，之后的每一项为之前两项的和。Fn＝Fn－1＋Fn－2(n>2)如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，则Fn，Fn－1，Fn－2(n>2)的关系为____________________．数列的周期性一般地，若数列{an}满足存在正整数T使得an+T=an,对一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列,T叫做数列{an}的周期，如数列{}：1,0，-1,0,1,0，-1,0，...的周期为4，数列的这种性质被称为周期性.这种数列叫做周期数列。划重点◎要判断一个数列是否具有周期性或求一个数列的周期，主要是通过递推公式求出数列的前若干项从而观察得到或由递推公式发现规律。创新拓展

一般地，对于以递推公式的形式给出的数列，求解时常需要转化为通项公式或得到一个特殊数列(如本题中的周期数列)来解决．(1)周期数列的一般形式周期数列的递推公式的一般形式为an＋k＝an(n∈N*，k∈N*，k≥2)，如